Statsionar tokning magnit maydoni

Bio-Savar-Laplas qonuni

Elektrodinamika kursidan maʼlumki,

$\mathbf{\text{𝐇}}=\text{rot}\mathbf{\text{𝐀}}$

va

$\mathbf{\text{𝐀}}=\frac{1}{c}\int \frac{\mathbf{\text{𝐣}}d{V}^{\prime }}{\mathbf{\text{𝐑}}}$

Yuqoridagi formulalarga asosan, statsionar tokning magnit maydon kuchlanganligini aniqlash mumkin. Koordinatalar boʻyicha differensiallashning kuzatish nuqtasiga tegishli ekanligi nazarga olinsa,

$\mathbf{\text{𝐇}}=\frac{1}{c}\text{rot}\int \frac{\mathbf{\text{𝐣}}d{V}^{\prime }}{\mathbf{\text{𝐑}}}=\frac{1}{c}\int \text{rot}\frac{\mathbf{\text{𝐣}}}{\mathbf{\text{𝐑}}}d{V}^{\prime }$

hamda

$\text{rot}\frac{\mathbf{\text{𝐣}}}{\mathbf{\text{𝐑}}}=[\mathrm{\nabla },\frac{\mathbf{\text{𝐣}}}{\mathbf{\text{𝐑}}}]=[\mathrm{\nabla }\frac{1}{\mathbf{\text{𝐑}}},\mathbf{\text{𝐣}}]+\frac{1}{\mathbf{\text{𝐑}}}[\mathrm{\nabla },\mathbf{\text{𝐣}}]$

$\mathrm{\nabla }\frac{1}{\mathbf{\text{𝐑}}}=-\frac{\mathbf{\text{𝐑}}}{r^3},$

$[\mathrm{\nabla },\mathbf{\text{𝐣}}]=0,$

$\text{rot}\frac{\mathbf{\text{𝐣}}}{R}=\left[\mathbf{\text{𝐣}}\frac{\mathbf{\text{𝐑}}}{R^3}\right]$

Shunday qilib,

$\mathbf{\text{𝐇}}=\frac{1}{c}\int \left[\mathbf{\text{𝐣}}\frac{\mathbf{\text{𝐑}}}{R^3}\right]d{V}^{\prime };(1)$

Bu ifoda Bio-Savar-Laplas qonuni deb ataladi. Maydonning superpozitsiya prinsipiga asosan, biror hajmdagi tokning hosil qilgan magnit maydoni oʻsha hajmning elementlarida joylashgan toklar hosil qilgan magnit maydonlari yigʻindisidan iboratdir. Shunday qilib, elementar hajmda joylashgan tok hosil qilgan magnit maydon kuchlanganligi

$d\mathbf{\text{𝐇}}=\frac{1}{c}\left[\mathbf{\text{𝐣}}d{V}^{\prime }\frac{\mathbf{\text{𝐑}}}{R^3}\right];(2)$

formula yordamida topiladi.

Statsionar tok uchun (1) ga muvofiq, zaryadning saqlanish qonuni quyidagi shaklni oladi:

$\text{div}\mathbf{\text{𝐣}}=0;(3)$

Chunki, vektor uyurmasining divergensiyasi nolga teng. Gauss-Ostrogradskiy teoremasiga binoan, (3) dan koʻrish mumkinki,

$\oint \left(\mathbf{\text{𝐣}}d\sigma \right)=0;(4)$

demak,

Statsionar tokning ixtiyoriy yopiq sirt orqali olingan oqimi nolga teng

Yopiq sirtning bir qismi tekis sirt shaklida statsionar tok joylashgan sohaning ichida ekan, u tekshirilayotgan sohaning kesimini hosil qiladi. Yopiq sirtning boshqa qismlarida tok boʻlmaganligidan (4) integral faqat shu kesim boʻyichagina olinadi, yaʼni

$\int \left(\mathbf{\text{𝐣}}d\sigma \right)=0;(5)$

Bundan shunday xulosa qilish mumkin:

Statsionar tokning ixtiyoriy kesim orqali umumiy oqimi nolga teng

(3) ifodaga binoan, statsionar tok zichligi j uyurmaviy xarakterga ega, yaʼni tok hosil qiluvchi zaryadlarning trayektoriyalari yopiq chiziqlardan iborat. Mana shunday trayektoriyalarning birini qurshab olgan ingichka naycha shaklida tasavvur qilish mumkin. Bu naychaning uzunlik elementi $dl$ va koʻndalang kesimi $d\sigma$ boʻlsin. Uzunlik elementining yoʻnalishini tok zichligi vektorining yoʻnalishida olinsa, quyidagi ifoda oʻrinli boʻladi:

$\mathbf{\text{𝐣}}d{V}^{\prime }=\mathbf{\text{𝐣}}d\sigma dl=Id\mathbf{\text{𝐥}};(6)$

bu yerda $I$ — naychadagi tok kuchi.

Agarda tok naychasining biror qismini kesgan qandaydir yopiq sirt tasavvur qilinsa, (4) ga asosan koʻrish mumkinki, shu yopiq sirt ichiga kiruvchi va undan chiquvchi zaryad oqimi (tok kuchi) bir xil, yaʼni naychaning hamma kesimida tok kuchi bir xil. Kontur boʻyicha olingan integral $\oint d\mathbf{\text{𝐥}}=0$ ekanligi sababli (6) ga muvofiq

$\int \mathbf{\text{𝐣}}d{V}^{\prime }=0;(7)$

Statsionar tok sohasini ixtiyoriy tekislik, masalan, Z oʻqqa perpendikulyar boʻlgan tekislik bilan kesilsa, (7) ga asosan

$\int j_{z}dxdy=0;(8)$

statsionar tokning ixtiyoriy kesim orqali boʻlgan umumiy oqimi nolga teng, yaʼni (5) formula toʻgʻri ekanligi yana bir marta tasdiqlanadi.

Chiziqli tok uchun Bio-Savar-Laplas qonuni

(6) formulaga boʻysungan tok chiziqli tok deb ataladi. Bio-Savar-Laplas qonunini chiziqli tok uchun yozish mumkin. (6) ga asosan, (1) va (2) formulalar quyidagi shaklni oladi:

$\mathbf{\text{𝐇}}=\frac{1}{c}\oint [Id\mathbf{\text{𝐥}},\frac{\mathbf{\text{𝐑}}}{R^3}];(9)$

$d\mathbf{\text{𝐇}}=\frac{1}{c}[Id\mathbf{\text{𝐥}},\frac{\mathbf{\text{𝐑}}}{R^3}];(10)$

Birinchi formula chiziqli tok hosil qilgan magnit maydoni kuchlanganligini, ikkinchi formula esa chiziqli tok elementining hosil qilgan magnit maydon kuchlanganligini ifodalaydi (rasmga qarang).

Statsionar tok hosil qilgan maydon yoʻnalishi oʻng parma qoidasi bilan aniqlanadi.

Soʻnggi formuladagi magnit maydon kuchlanganligi vektorining moduli quyidagiga teng:

$|d\mathbf{\text{𝐇}}|=\frac{1}{c}\frac{Id\mathbf{\text{𝐥}}\sin \left(d{\mathbf{\text{𝐥}}}^{\wedge }\mathbf{\text{𝐑}}\right)}{R^2};(11)$

Shunday qilib, chiziqli tok elementining hosil qilgan magnit maydon kuchlanganligi tok kuchiga, tok yoʻlining elementiga, tok yoʻnalishi bilan kuzatish nuqtasining radius-vektori orasidagi burchak sinusiga toʻgʻri, tok elementi bilan kuzatish nuqtasi orasidagi masofa kvadratiga esa teskari proporsionaldir. Magnit maydon kuchlanganligining yoʻnalishi esa (10) ga asosan, o'ng parma qoidasi bilan aniqlanadi. Bio-Savar-Laplas qonunining odatdagicha ifodalanishi ana shulardan iboratdir.

Chiziqli tok magnit maydonining vektor potensiali (6) ga asosan,

$\mathbf{\text{𝐀}}=\frac{1}{c}\oint \frac{d\mathbf{\text{𝐥}}}{R};(12)$

boʻladi.

Stoks teoremasiga binoan koʻrish mumkinki,

$\oint \left(\mathbf{\text{𝐇}}d\mathbf{\text{𝐥}}\right)=\frac{4\pi }{c}\int (\mathbf{\text{𝐣}}d\mathbf{\text{𝐒}})$

yaʼni chiziqli tok uchun

$\oint (\mathbf{\text{𝐇}}d\mathbf{\text{𝐥}})=\frac{4\pi }{c}I;(13)$

Yana qarang

• Sistema zaryadlarining statsionar harakati
• Zarraning elektromagnit massasi
• Zaryadlar sistemasining uzoq masofalardagi maydoni

Adabiyotlar

• R.X.Mallin, Klassik elektrodinamika, Oʻqituvchi, T., 1974