Elektromagnit impuls oqimining zichlik tenzori

Elektromagnit kuchlar zichligi

Elektromagnit maydon va zaryadlangan zarralar sistemasining umumiy impuls oʻzgarishi qonuni quyidagicha ifodalanadi:

$\frac{d}{dt}({\mathbf{\text{G}}}_m+{\mathbf{\text{G}}}_s)=\oint {\mathbf{\text{T}}}_{n}d\sigma ;(1)$

bu yerda:

${\mathbf{\text{T}}}_n=({\mathbf{\text{T}}}_x\mathbf{\text{n}})\mathbf{\text{i}}+({\mathbf{\text{T}}}_y\mathbf{\text{n}})\mathbf{\text{j}}+({\mathbf{\text{T}}}_z\mathbf{\text{n}})\mathbf{\text{k}};(2)$

boʻlib, normal orti n boʻlgan birlik yuzachaga taʼsir qiluvchi elektromagnit maydon kuchini ifodalaydi va sirtga taʼsir qiluvchi elektromagnit kuchlar zichligi deyiladi. Normalning yoʻnalishiga qarab T_n vektor ham turlicha boʻlishi mumkin. Normalning orti n sifatida, masalan, Ox oʻqining orti i olinsa, koʻramizki, T_x vektor shu oʻqqa perpendikulyar qoʻyilgan birlik yuzachaga taʼsir qiluvchi maydon kuchini ifodalaydi. Shuning kabi T_y va T_z vektorlar Oy va Oz oʻqlariga mos ravishda perpendikulyar boʻlgan birlik yuzachalarga taʼsir qiluvchi maydon kuchlarini ifodalaydi.

Elektromagnit kuchlar zichligi vektorining tashkil etuvchilari

Sirtga taʼsir qiluvchi elektromagnit kuchlar zichligi T_n vektorning aniqlanishi uchun (2) ga muvofiq T_x, T_y,T_z vektorlar maʼlum boʻlishi lozim: bu vektorlarning tashkil etuvchilarini quyidagicha yozamiz:

$T_{xx}=\frac{1}{4\pi }(E_x^2+H_x^2)-\frac{1}{8\pi }(E^2+H^2),$

$T_{xy}=\frac{1}{4\pi }(E_x{E}_y+H_x{H}_y),$

$T_{xz}=\frac{1}{4\pi }(E_x{E}_z+H_x{H}_z),$

$T_{yx}=\frac{1}{4\pi }(E_y{E}_x+H_y{H}_x),$

$T_{yy}=\frac{1}{4\pi }(E_y^2+H_y^2)-\frac{1}{8\pi }(E^2+H^2),$

$T_{yz}=\frac{1}{4\pi }(E_y{E}_z+H_y{H}_z),$

$T_{zx}=\frac{1}{4\pi }(E_z{E}_x+H_z{H}_x),$

$T_{zy}=\frac{1}{4\pi }(E_z{E}_y+H_z{H}_y),$

$T_{zz}=\frac{1}{4\pi }(E_z^2+H_z^2)-\frac{1}{8\pi }(E^2+H^2);(3)$;

Agar $x_1=x,x_2=y,x_3=z$ desak, koordinatalarning umumiy koʻrinishi $x_{\alpha }$ boʻladi, bu yerda $\alpha$ indeks 1, 2, 3, $\dots$ qiymatlarni qabul qiladi. U vaqtda (3) ifodani quyidagi koʻrinishda yozib koʻrsatish mumkin:

$T_{\alpha \beta }=\frac{1}{4\pi }(E_{\alpha }{E}_{\beta }+H_{\alpha }{H}_{\beta })-{\delta }_{\alpha \beta }\frac{1}{8\pi }(E^2+H^2);(4)$

bu yerda $\alpha ,\beta$ indekslar 1, 2, 3 qiymatlarga ega boʻlib, ${\delta }_{\alpha \beta }$ esa Kroneker belgisi deyiladi va quyidagicha taʼriflanadi:

${\delta }_{\alpha \beta }=\{\begin{array}{c}0,\text{agar}\alpha \ne \beta \\ 1,\text{agar}\alpha =\beta \end{array};(5)$

(4) — tenglamadan maʼlumki,

$T_{\alpha \beta }=T_{\beta \alpha };(6)$

Normal orti n bilan ixtiyoriy i${}_{\beta }$ orasidagi burchak kosinusini $C_{n\beta }$ orqali belgilasak:

$C_{n\beta }=\cos ({\mathbf{\text{n}}}^{\wedge }{\mathbf{\text{i}}}_{\beta })=\left(\mathbf{\text{n}}{\mathbf{\text{i}}}_{\beta }\right)(7)$

u holda

$\mathbf{\text{n}}=\sum C_{n\beta }{\mathbf{\text{i}}}_{\beta };(8)$

Endi bizni qiziqtirayotgan T_n vektor uchun berilgan (2) ifodani kiritilgan belgilashlar asosida yozamiz:

${\mathbf{\text{T}}}_n=\sum \left({\mathbf{\text{T}}}_{\alpha }\mathbf{\text{n}}\right){\mathbf{\text{i}}}_{\beta }$

yoki (8) ga muvofiq

${\mathbf{\text{T}}}_n=\sum \sum C_{n\beta }\left({\mathbf{\text{T}}}_{\alpha }{\mathbf{\text{i}}}_{\beta }\right){\mathbf{\text{i}}}_{\alpha }$

Skalyar koʻpaytma $({\mathbf{\text{T}}}_{\alpha }{\mathbf{\text{i}}}_{\beta })$ esa ${\mathbf{\text{T}}}_{\alpha }$ vektorning $i_{\beta }$ ort yoʻnalishidagi ${\mathbf{\text{T}}}_{\alpha \beta }$ tashkil etuvchisidir. Demak,

${\mathbf{\text{T}}}_n=\sum \sum C_{n\beta }{\mathbf{\text{T}}}_{\alpha \beta }{\mathbf{\text{i}}}_{\alpha }$

yoki (6) ga muvofiq,

${\mathbf{\text{T}}}_n=\sum \sum C_{n\beta }{\mathbf{\text{T}}}_{\beta \alpha }{\mathbf{\text{i}}}_{\alpha };(9)$

Berilgan ${\mathbf{\text{i}}}_{\beta }$ ortlar sistemasini koordinatalar boshi atrofida aylantirish natijasida kelib chiqqan yangi sistema ortlarini $\mathbf{\text{i}}{\text{'}}_l$ orqali belgilaylik, bu yerda $l=1,2,3$. Normal orti n ixtiyoriy boʻlganligidan, n oʻrniga i'_lolinishi mumkin. U vaqtda (9) ga muvofiq,

$\mathbf{\text{T}}{\text{'}}_l=\sum \sum C_{l\beta }{\mathbf{\text{T}}}_{\beta \alpha }{\mathbf{\text{i}}}_{\alpha }$

Bu tenglikning ikki tomonini i'_m ($m=1,2,3,\dots$) ortga skalyar ravishda koʻpaytirilsa,

$T{\text{'}}_{lm}\sum \sum C_{l\beta }{C}_{m\alpha }{\mathbf{\text{T}}}_{\beta \alpha }$

yokki $\alpha$ va $\beta$ oʻrinlarini almashtirilsa,

$T{\text{'}}_{lm}\sum \sum C_{l\alpha }{C}_{m\beta }{\mathbf{\text{T}}}_{\alpha \beta };(10)$

Mana shu almashtirish qonuniga boʻysungan $T_{\alpha \beta }$ miqdorlar toʻplami ikkinchi rangli tenzor deyiladi. (4) da ifodalangan toʻqqizta $T_{\alpha \beta }$ miqdorlar toʻplami elektromagnit impuls oqimi zichligining tenzori deb yuritiladi.

Yana qarang

• Zarraning elektromagnit massasi
• Zaryadlar sistemasining energiyasi
• Elektromagnit induksiya qonuni

Adabiyotlar

• R.X.Mallin, Klassik elektrodinamika, Oʻqituvchi, T., 1974