Zaryad elektr maydonining asosiy qonuni

Biror hajmda taqsimlangan $e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}$ zaryadlar berilgan boʻlsin:

e_{i} = \int ρ_{i} d V, (i = 1, 2, 3, \dots, n); (1)

Zaryadning additivligi tufayli hajmdagi umumiy zaryad:

e = \sum e_{i} = \sum \int ρ_{i} d V = \int \sum ρ_{i} d V

yoki

e = \int ρ d V

bu yerda $ρ$ orqali belgilangan umumiy zaryad zichligi:

ρ = \sum ρ_{i}; (2)

Shunday qilib, bu formula zaryadning additivlik xususiyatini ifodalaydi: ayrim zaryadlarning biror nuqtadagi zichliklari yigʻindisi umumiy zaryadning oʻsha nuqtadagi zichligini hosil qiladi.

Zaryad oʻz atrofida elektr maydoni yaratadi. Tashqaridan kiritilgan har qanday boshqa zaryadga bu maydon biror yoʻnalish boʻyicha taʼsir qiladi. Demak, elektr maydoni biror vektor bilan aniqlanadi. Bu vektorni $E$ orqali belgilab, elektr maydon kuchlanganligi deb ataymiz. Turli vaqtlarda va turli nuqtalarda kuchlanganlik turlicha boʻlishi mumkin, yaʼni $E$ vektor nuqta va vaqt funksiyasidir.

Berilgan $e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}$ zaryadlar hosil qilgan elektr maydonlarning kuchlanganliklari mos ravishda $E_{1}, E_{2}, \dots . E_{n}$ boʻlsin. Natijaviy elektr maydon kuchlanganligi tajribalarga asosan

E = \sum E_{i}; (3)

boʻladi. Bu formula elektr maydonlarning superpozitsiya qonunini ifodalaydi: ayrim elektr maydonlarning biror nuqtadagi kuchlanganliklari yigʻindisi natijaviy elektr maydonining oʻsha nuqtadagi kuchlanganligini hosil qiladi.

Zaryad elektr maydon manbaidir. Biror yopiq sirt ichidagi $e_{i}$ zaryadning shu yopiq sirtdan tashqaridagi boshqa zaryadga taʼsiri yopiq sirt orqaligina boʻlishi mumkin.

Tajribalarga muvofiq, zaryadning katta-kichikligiga qarab, u hosil qilgan elektr maydon kuchlanganligining yopiq sirt orqali oqimi mos ravishda katta yoki kichik boʻladi, yaʼni zaryad va uning hosil qilgan elektr maydon kuchlanganligi oqimi bir-biriga proporsional. Proporsionallik koeffitsiyenti $a$ bilan belgilansa, demak,

\oint (E_{i} d σ) = a e_{i}

yoki Gauss-Ostrogradskiy formulasi va (1) ga muvofiq,

\int div E_{i} d V = a \int ρ_{i} d V

Integrallash hajmining ixtiyoriy ekanligidan koʻramizki,

div E_{i} = a ρ_{i}

Endi har bir zaryad uchun yuqoridagi tenglamaga muvofiq quyidagilarni yozish mumkin:

div E_{1} = a ρ_{1},

div E_{2} = a ρ_{2},

\dots

div E_{n} = a ρ_{n}

Bundan

div E_{1} + div E_{2} + \dots + div E_{n} = a (ρ_{1} + ρ_{2} + \dots + ρ_{n})

yoki

div (E_{1} + E_{2} + \dots + E_{n}) = a (ρ_{1} + ρ_{2} + \dots + ρ_{n})

boʻladi. Endi zaryad additivligi qonuni (4) va elektr maydonlari superpozitsiya qonuniga binoan quyidagicha boʻladi:

div E = a ρ

bu yerda $a$ — proporsionallik koeffitsiyenti, uning son qiymati va oʻlchamligi tenglamada ishtirok qiluvchi kattaliklarning oʻlchamliklari va oʻlchov birliklariga bogʻliq. Qanday oʻlchov birliklarini asosiy oʻlchov birliklari sifatida qabul qilish ixtiyoriydir. Nazariy hisoblarda qulay boʻlgan absolyut birliklar sistemasini eʼtiborga olib, biz $a$ koeffitsiyentni oʻlchamsiz va $4 π$ ga teng deb qabul qilamiz ( $a = 4 π$ ). Shunga qarab, zaryadning birligi va oʻlchamligi aniqlanadi.

Shunday qilib, koʻramizki,

div E = 4 π ρ

Bu formula elektrodinamikaning asosiy differensial tenglamalaridan biri hisoblanadi. Yuqoridagi tenglamaning chap va oʻng tomonlarini zaryad joylashgan hajm boʻyicha integrallasak, Gauss-Ostrogradskiy formulasi va (3) ga asosan quyidagicha yozish mumkin:

\oint (E d σ) = 4 π e

Bu ifodaga muvofiq, elektr maydon kuchlanganligining biror yopiq sirt orqali oʻtgan toʻliq oqimi shu sirt bilan chegaralangan hajm ichidagi zaryadning $4 π$ karra olingan qiymatiga tengdir. Shu aytilganlar, koʻpincha Gauss teoremasi nomi bilan yuritiladi.

Yana qarang

Adabiyotlar

Andoza:Manbalar

R.X.Mallin, Klassik elektrodinamika, Oʻqituvchi, T., 1974

Andoza:Turkumsiz

Zaryad elektr maydonining asosiy qonuni