Yassi toʻlqin

Yassi toʻlqin to'lqin frontining uch oʻlchamli fazodagi tasviri va fazaviy tezlik vektorining yoʻnalishi

Yassi elektromagnit toʻlqin — elektromagnit toʻlqinni xarakterlovchi toʻlqin funksiyasi faqat bitta koordinataga, masalan $z$ ga va vaqtga bogʻliq boʻlgan toʻlqin.

Yassi elektromagnit toʻlqin uchun toʻlqin tenglamasi va Lorentz sharti quyidagi koʻrinishda boʻladi:

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}-\frac{1}{c}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t};(1)$

$\frac{\partial A_z}{\partial z}+\frac{1}{c}\frac{\partial \phi }{\partial t}=0;(2)$

Toʻlqin tenglamasining yechimi

(1) tenglamaning yechimini topish uchun yangi $\xi$ va $\eta$ oʻzgaruvchilar kiritiladi:

$\xi =z+ct;(3)$

$\eta =z-ct;(4)$

Endi (1) tenglama quyidagi koʻrinishni oladi:

$(\frac{\partial }{\partial z}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t})(\frac{\partial }{\partial z}-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t})f=0;(5)$

(3) va (4) dan koʻrinib turibdiki,

$\frac{\partial }{\partial z}=\frac{\partial }{\partial \xi }\frac{\partial \xi }{\partial z}+\frac{\partial }{\partial \eta }\frac{\partial \eta }{\partial z}=\frac{\partial }{\partial \xi }+\frac{\partial }{\partial \eta }$

$\frac{\partial }{\partial t}=\frac{\partial }{\partial \xi }\frac{\partial \xi }{\partial t}+\frac{\partial }{\partial \xi }\frac{\partial \xi }{\partial t}=c\frac{\partial }{\partial \xi }-c\frac{\partial }{\partial \eta }=c(\frac{\partial }{\partial \xi }-\frac{\partial }{\partial \eta })$

Demak,

$\frac{\partial }{\partial \xi }+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}=2\frac{\partial }{\partial \xi }$

$\frac{\partial }{\partial \xi }-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}=2\frac{\partial }{\partial \eta }$

U holda toʻlqin tenglama (5) ga muvofiq

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial \xi \partial \eta }=0;(6)$

Bu toʻlqin tenglamani avval $\xi$ boʻyicha integrallanadi: $\frac{\partial f}{\partial \eta }=C_1(\eta )$, keyin esa $\eta$ boʻyicha integrallanadi: $f=\int C_1(\eta )d\eta +C_2(\xi )$, yaʼni

$f=f_1(\xi )+f_2(\eta );(7)$

yoki (3) bilan (4) ga binoan,

$f=f_1(z+ct)+f_2(z-ct);(8)$

boʻladi. Bu yerda $f_1$ va $f_2$ ixtiyoriy funksiyalardir.

Toʻlqin tenglamaning mohiyati

Bu funksiyalarning maʼnosini aniqlash mumkin. Agar $z-ct=const$ boʻlsa,

$f=f_2(z-ct);(9)$

Yassi toʻlqin harakati

boʻladi. Agar $z-ct=const$ boʻlsa, $f_2=const$ boʻladi. Boshlangʻich vaqt momenti $t=0$ ga mos koordinata $z_0$ desak, $z-ct=z_0$ boʻladi. Bu formula esa $z$ koordinata oʻqiga perpendikulyar boʻlgan va shu oʻq boʻylab $c$ oʻzgarmas tezlik bilan harakatlanuvchi tekislikni ifodalaydi. Koʻrinib turibdiki, boshlangʻich vaqt momenti $t=0$ va boshlangʻich koordinata $z=z_0$ nuqtada funksiya qanday qiymatga ega boʻlsa, $t$ vaqt oʻtgandan keyin $z=z_0+ct$ koordinatali nuqtada yana oʻsha qiymatiga ega, yaʼni $f_2(z_0)=f_2(z-ct)$ boʻladi. Shunday qilib, elektromagnit maydonni xarakterlovchi funksiya qiymati $z$ oʻqi boʻylab $c$ texlik bilan tarqaladi. Tekshirilayotgan $f_2(z-ct)$ funksiya yuguruvchi yassi toʻlqinni ifodalaydi.

Aytilganlardan ayonki, $f_1(z+ct)$ funksiya esa $z$ koordinata oʻqiga qarama-qarshi yoʻnalishda yuguruvchi yassi toʻlqinni ifodalaydi.

Yassi elektromagnit toʻlqin

Fazoda tarqalayotgan elektromagnit toʻlqin tenglamasini aniqlash uchun toʻlqin tenglamasidan foydalanamiz. Yassi toʻlqinlar masalasini koʻrib chiqayotganimiz uchun faqatgina $z$ oʻqi boʻyicha yuguruvchi toʻlqin bilangina cheklanamiz. Shunday qilib, skalyar potensial va vektor potensial uchun (9) ga asosan quyidagicha yozish mumkin:

$\phi =\phi (z-ct);(10)$

$\mathbf{\text{A}}=\mathbf{\text{A}}(z-ct);(11)$

Potensiallarning kalibrovka sharti quyidagi koʻrinishda edi:

${\phi }^{\prime }=\phi -\frac{1}{c}\frac{\partial \psi }{\partial t};(12)$

yoki (10) ga muvofiq:

${\phi }^{\prime }(z-ct)=\phi (z-ct)-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\psi (z-ct)$

Ammo (4) ga asosan,

$\frac{\partial }{\partial t}\psi (z-ct)=-\dot{\psi }(z-ct)$

bu yerda argument $\eta =z-ct$ boʻyicha differensiallash nuqta bilan belgilandi. Shunday qilib,

${\phi }^{\prime }(z-ct)=\phi (z-ct)+\dot{\psi }(z-ct)$

boʻladi. $\psi (z-ct)$ funksiya ixtiyoriy boʻlganligidanm uni quyidagi koʻrinishda tanlash mumkin: ${\phi }^{\prime }(z-ct)=\dot{\psi }(z-ct)$. Demak, natijada $\phi (z-ct)=0$ boʻladi. U vaqtda Lorentz sharti (2) ga asosan,

$\frac{\partial A_z}{\partial z}=0,A_z=const;(13)$

Bu oʻzgarmas sonni nolga teng deb hisoblash mumkin.

Haqiqatdan ham, potensiallar orqali kuchlanganliklarni ifodalovchi formulalar:

$\mathbf{\text{E}}=-\text{grad}\phi -\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{\text{A}}}{\partial t}$

$\mathbf{\text{H}}=\text{rot}\mathbf{\text{A}}$

yoki $\phi (z-ct)=0$ ekanligi hisobga olinsa,

$\mathbf{\text{E}}=-\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{\text{A}}}{\partial t};(14)$

$\mathbf{\text{H}}=\text{rot}\mathbf{\text{A}};(15)$

(13) va (14) dan koʻrinib turibdiki, $E_z=0$, yaʼni elektr maydon kuchlanganligi $\mathbf{\text{E}}$ vektor toʻlqinning tarqalish yoʻnalishiga perpendikulyardir. Shuning uchun, vektor potensialning toʻlqin tarqalishi yoʻnalishidagi tashkil etuvchisi nolga teng deb olish mumkin, yaʼni $A_z=0$.

Endi esa (4) va (11) ni hisobga olib, (14) va (15) ga muvofiq quyidagini yozamiz:

$\mathbf{\text{E}}=-\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{\text{A}}}{\partial t}=-\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{\text{A}}}{\partial \eta }\partial \eta \partial t=\dot{\mathbf{\text{A}}}$

$\mathbf{\text{H}}=\text{rot}\mathbf{\text{A}}=[\mathrm{\nabla }\mathbf{\text{A}}]=[\mathrm{\nabla }(z-ct),\mathbf{\text{A}}]=[{\mathrm{\nabla }}_z,\dot{\mathbf{\text{A}}}]=[{\mathrm{\nabla }}_z,\mathbf{\text{E}}]$

Elektr va magnit maydon kuchlanganlik vektorlarining yoʻnalishi toʻlqin tarqalish yoʻnalishiga perpendikulyar boʻladi

Toʻlqin tarqalishi yoʻnalishining ortini n bilan belgilasak, $\mathbf{\text{n}}={\mathrm{\nabla }}_z$ boʻladi. Demak,

$\mathbf{\text{H}}=[\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{E}}];(16)$

Koʻrinib turibdiki, magnit maydon kuchlanganligi $\mathbf{\text{H}}$ vektor ham elektr maydon kuchlanganligi $\mathbf{\text{E}}$ vektor singari, toʻlqinning tarqalish yoʻnalishiga perpendikulyardir. Shunday qilib, elektromagnit toʻlqin — koʻndalang toʻlqin hamda $\mathbf{\text{H}}$ va $\mathbf{\text{E}}$ vektorlar oʻzaro perpendikulyar vektorlar ekan. $\mathbf{\text{n}}$, $\mathbf{\text{E}}$, $\mathbf{\text{H}}$ vektorlarning yoʻnalishlari rasmda tasvirlangan.

Umov-Poynting vektori

(16) tenglamadan koʻrinib turibdiki,

$H=E;(17)$

yaʼni elektr maydon va magnit maydon kuchlanganliklarining son qiymatlari birxil, demak, toʻlqinning elektr maydon va magnit maydon energiya zichliklari bir xil. U vaqtda toʻlqining energiya zichligi

$w=\frac{E^2}{8\pi }+\frac{H^2}{8\pi }=\frac{E^2}{4\pi }=\frac{H^2}{4\pi };(18)$

Toʻlqinning energiya oqimini xarakterlovchi Umov-Poynting vektori uchun

$\mathbf{\text{S}}=\frac{c}{4\pi }\left[\mathbf{\text{E}}\mathbf{\text{H}}\right]=\frac{c}{4\pi }[\mathbf{\text{E}}[\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{E}}]]=\frac{c}{4\pi }[\mathbf{\text{n}}{\mathbf{\text{E}}}^2-\mathbf{\text{E}}(\mathbf{\text{nE}})]=\frac{E^2}{4\pi }c\mathbf{\text{n}}$

yoki (18) ga muvofiq,

$\mathbf{\text{S}}=wc\mathbf{\text{n}};(19)$

demak, energiya oqimi toʻlqinning tarqalish yoʻnalishi boʻyicha yoʻnalgan. To'lqin elektromagnit impulsining zichligi uchun

${\mathbf{\text{g}}}_S=\frac{\mathbf{\text{S}}}{c^2}=\frac{w}{c}\mathbf{\text{n}};(20)$

Shuningdek qarang:

• Garmonik elektromagnit to'lqin
• To'lqin paket
• To'lqin paket uchun aniqsizlik munosabatlari

Adabiyotlar

• R.X.Mallin, Klassik elektrodinamika, Oʻqituvchi, T., 1974