Skleronom

Mexanik tizim skleronom hisoblanadi, agar cheklovlar tenglamalari aniq oʻzgaruvchi sifatida vaqtni oʻz ichiga olmasa va cheklovlar tenglamasini umumlashtirilgan koordinatalar bilan tasvirlash mumkin boʻlsa. Bunday cheklovlar skleronomik cheklovlar deb ataladi. Skleronomning qarama-qarshi tomoni reonomdir.

Ilova

3 oʻlchamli fazoda massaga ega zarracha $m$, tezlik $𝐯$ kinetik energiyaga ega $T$

$T=\frac{1}{2}m{v}^2.$

Tezlik pozitsiyaning hosilasidir $r$ vaqtga nisbatan $t$ . Bir nechta oʻzgaruvchilar uchun zanjir qoidasidan foydalaning:

$𝐯=\frac{d𝐫}{dt}=\sum _i\frac{\partial 𝐫}{\partial q_i}{\dot{q}}_i+\frac{\partial 𝐫}{\partial t}.$

bu yerda $q_i$ umumlashtirilgan koordinatalardir .

Shuning uchun,

$T=\frac{1}{2}m{(\sum _i\frac{\partial 𝐫}{\partial q_i}{\dot{q}}_i+\frac{\partial 𝐫}{\partial t})}^2.$

Shartlarni diqqat bilan qayta tartibga solishdan quyidagi kelib chiqadi,

$T=T_0+T_1+T_2:$

$T_0=\frac{1}{2}m{\left(\frac{\partial 𝐫}{\partial t}\right)}^2,$

$T_1=\sum _{i}m\frac{\partial 𝐫}{\partial t}\cdot \frac{\partial 𝐫}{\partial q_i}{\dot{q}}_i,$

$T_2=\sum _{i,j}\frac{1}{2}m\frac{\partial 𝐫}{\partial q_i}\cdot \frac{\partial 𝐫}{\partial q_j}{\dot{q}}_i{\dot{q}}_j,$

bu yerda $T_0$, $T_1$, $T_2$ umumlashtirilgan tezliklarda mos ravishda 0, 1 va 2 darajali bir jinsli funksiyalardir . Agar bu tizim skleronomik boʻlsa, u holda pozitsiya aniq vaqtga bogʻliq emas:

$\frac{\partial 𝐫}{\partial t}=0.$

Shuning uchun, faqat muddat $T_2$ yoʻqolmaydi:

$T=T_2.$

Kinetik energiya umumlashtirilgan tezliklarda 2-darajali bir xil funksiyadir.

Misol: mayatnik

Oddiy mayatnik

Oʻng tomonda koʻrsatilganidek, oddiy mayatnik ogʻirlik va ipdan tashkil topgan tizimdir. Ip yuqori uchida burilishga, pastki uchida esa ogʻirlikga biriktiriladi. Uzayib boʻlmaydigan boʻlib, ipning uzunligi doimiydir. Shuning uchun bu tizim skleronomdir; u skleronomik cheklovga boʻysunadi:

$\sqrt{x^2+y^2}-L=0,$

bu yerda $(x,y)$ ogʻirlikning holati va $L$ satr uzunligi.

Tebranish nuqtasiga ega oddiy mayatnik

Murakkabroq misol keltiring. Oʻngdagi keyingi rasmga qarang: Ipning yuqori uchi oddiy garmonik harakatga ega boʻlgan aylanish nuqtasiga biriktirilgan deb faraz qiling.

$x_t=x_0\cos \omega t,$

bu yerda $x_0$ amplituda, $\omega$ burchak chastotasi, va $t$ vaqt hisoblanadi.

Ipning yuqori uchi mahkamlanmagan boʻlsa-da, bu uzaytirilmaydigan ipning uzunligi hali ham doimiydir. Yuqori uchi va ogʻirlik orasidagi masofa bir xil boʻlishi kerak. Shuning uchun, bu tizim reonomdir, chunki u aniq vaqtga bogʻliq boʻlgan cheklovlarga boʻysunadi

$\sqrt{(x-x_0\cos \omega t{)}^2+y^2}-L=0.$