Perpendikulyar o‘qlar teoremasi

Perpendikulyar oʻq teoremasi (yoki tekislik figurasi teoremasi) tekis qatlamning (yaʼni 2-D jismning) qatlam tekisligiga perpendikulyar oʻqga nisbatan inersiya momenti qatlamning inersiya momentlari yigʻindisiga teng ekanligini aytadi. bir-biriga toʻgʻri burchak ostida joylashgan ikkita oʻq haqida, oʻz tekisligida perpendikulyar oʻq oʻtadigan nuqtada bir-birini kesib oʻtadi.

Perpendikulyar oʻqlarni aniqlang $x$, $y$, va $z$ (kelib chiqishida uchrashadi $O$) jismning ichida yotishi uchun $xy$ samolyot va $z$ oʻqi tananing tekisligiga perpendikulyar. I_x, I_y va I_z mos ravishda x, y, z oʻqlariga nisbatan inersiya momentlari boʻlsin. Keyin perpendikulyar oʻq teoremasi shuni koʻrsatadiki,

$I_z=I_x+I_y$

Ushbu qoida parallel oʻq teoremasi va choʻzish qoidasi bilan turli shakllar uchun qutb inersiya momentlarini topish uchun qoʻllanishi mumkin.

Agar planar obyekt shunday aylanish simmetriyasiga ega boʻlsa $I_x$ va $I_y$ teng boʻlsa, perpendikulyar oʻqlar teoremasi foydali munosabatni beradi:

$I_z=2I_x=2I_y$

Chiqarish

Dekart koordinatalarida ishlaganda tekislik jismining inersiya momenti haqida $z$ oʻqi tomonidan berilgan:

$I_z=\int (x^2+y^2)dm=\int x^{2}dm+\int y^{2}dm=I_y+I_x$

Samolyotda, $z=0$, shuning uchun bu ikki atama ga nisbatan inersiya momentlaridir $x$ va $y$ mos ravishda oʻqlar, perpendikulyar oʻq teoremasini beradi. Bu teoremaning teskarisi ham xuddi shunday olingan.

Shu esta tutilsinki $\int x^{2}dm=I_y\ne I_x$ chunki ichida $\int r^{2}dm$, $r$ aylanish oʻqidan masofani oʻlchaydi, shuning uchun y oʻqining aylanishi uchun nuqtaning aylanish oʻqidan ogʻish masofasi uning x koordinatasiga teng.