Kvadrat tenglama

Kvadrat tenglama — matematikada koʻp hadli, bir oʻzgaruvchili va ikkinchi darajali tenglama. Umumiy koʻrinishi odatda quyidagicha ifodalanadi:

a x^{2} + b x + c = 0 .

Bu yerda $a, b, c$ — haqiqiy sonlar va $a \neq 0$ . Agar $a = 1$ boʻlsa, kvadrat tenglama keltirilgan tenglama, agar $a \neq 1$ boʻlsa, keltirilmagan tenglama deyiladi. $a$ , $b$ , $c$ sonlari quyidagicha ataladi:

$a$ — birinchi (bosh) koeffitsiyent;
$b$ — ikkinchi koeffitsiyent;
$c$ — ozod had.
D=b²-4ac

Kvadrat tenglamalarni yechish

I. $a x^{2} + b x + c = 0$ kvadrat tenglama ildizlari

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

formula boʻyicha topiladi.

II. $a x^{2} + b x + c = 0$ kvadrat tenglamani to'la kvadratga keltirish usuli bilan ham yechish mumkin.

Tenglamaning ikkala tarafini $a$ ga bo'lib yuborib, $x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$ ga erishish mumkin.
Tenglamaning ikkala tarafidan $\frac{c}{a}$ ayirib yuboriladi: $x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a}$
Tenglamaning ikkala tarafiga $\frac{b}{2 a}$ ning kvadrati qo'shib yuboriladi: $x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} = - \frac{c}{a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}$
Natijada: $(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a}$ ga erishiladi.
Tenglamaning ikkala tarafidan ildiz olgan holda, $x$ topiladi.

Misol:

$2 x^{2} + 7 x + 3 = 0$

$x^{2} + \frac{7}{2} x + \frac{3}{2} = 0$

$x^{2} + \frac{7}{2} x = - \frac{3}{2}$

$x^{2} + \frac{7}{2} x + \frac{49}{16} = - \frac{3}{2} + \frac{49}{16}$

$(x + \frac{7}{4})^{2} = \frac{25}{16}$

I. $x + \frac{7}{4} = \frac{5}{4} \Rightarrow x = - \frac{1}{2}$

II. $x + \frac{7}{4} = - \frac{5}{4} \Rightarrow x = - 3$

Kvadrat funksiyani ko'paytuvchilarga ajratish

$a x^{2} + b x + c = 0$ tenglama ildizlari $m$ va $n$ bo'lsa, kvadrat tenglamani $a (x - m) (x - n) = 0$ ko'rinishida yozish mumkin. Bu usul kvadrat funksiyani ko'paytuvchilarga ajratishda keng qo'llanilinadi

Diskriminant

D = b^{2} - 4 a c

kvadrat tenglamaning diskriminanti deyiladi.

Agar $D < 0$ boʻlsa, kvadrat tenglama ildizlarga ega boʻlmaydi.

Agar $D = 0$ boʻlsa, tenglama bitta ildizga ega boʻladi. $D = 0$ boʻlgan holda baʼzan kvadrat tenglama ikkita bir xil ildizga ega ham deyiladi.

Agar $D > 0$ boʻlsa, tenglama ikkita ildizga ega boʻladi.

D = b^{2} - 4 a c

belgilashdan foydalanib,

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

formulani

x = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}

koʻrinishda qayta yozish mumkin.

Chala kvadrat tenglamalar

Agar

a x^{2} + b x + c = 0

kvadrat tenglamada ikkinchi koeffitsiyent $b$ yoki ozod had $c$ nolga teng boʻlsa, tenglama chala kvadrat tenglama deyiladi. Chala kvadrat tenglamani ajratib koʻrsatishdan maqsad uning ildizini topishda kvadrat tenglama ildizlari formulasidan foydalanish shart emasligida — chala kvadrat tenglamani uning chap tomonini koʻpaytuvchilarga ajratib yechish qulaydir.

Yana qarang

Bikvadrat tenglama

Havolalar

Kvadrat tenglama

Mundarija

Kvadrat tenglamalarni yechish

Kvadrat funksiyani ko'paytuvchilarga ajratish

Diskriminant

Chala kvadrat tenglamalar

Yana qarang

Havolalar

Navigatsiya

Kvadrat tenglama

Kvadrat tenglamalarni yechish

Kvadrat funksiyani ko'paytuvchilarga ajratish

Diskriminant

Chala kvadrat tenglamalar

Yana qarang

Havolalar

Navigatsiya

Qidiruv