Korteweg-de Friz tenglamasi

Korteweg-deAndoza:NbspFriz tenglamasi (KdF tenglamasi ; shuningdek, de imlo topilganAndoza:NbspFriza, deAndoza:NbspFriesa, deAndoza:NbspFrisa, DeAndoza:NbspFruse ;Andoza:Lang-en) — chiziqli boʻlmagan uchinchi tartibli qisman differentsial tenglama boʻlib, u asosan gidrodinamik kelib chiqadigan chiziqli boʻlmagan toʻlqinlar nazariyasida muhim rol oʻynaydi. U birinchi marta 1877-yilda Jozef Boussinesq tomonidan olingan, ammo batafsil tahlil allaqachon Diederik Korteweg va Gustav de tomonidan amalga oshirilgan edi. Va u 1895-yilda yozadi .

Tenglama quyidagicha koʻrinadi:

$\frac{\partial u}{\partial t}+6u\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x^3}=0$ .

Yechimlari

Korteweg-deAndoza:NbspFriez statsionar chiziqli boʻlmagan toʻlqinlar boʻlgan tenglamalar uchun juda koʻp aniq echimlarni topdi. Xususan, bu tenglama quyidagi shakldagi soliton tipidagi yechimlarga ega:

$u(x,t)=\frac{2{\kappa }^2}{{\cosh }^2\left[\kappa (x-4{\kappa }^{2}t-x_0)\right]}$ ,

qayerda $\kappa$ solitonning balandligi va kengligini, shuningdek uning tezligini aniqlaydigan erkin parametr hisoblanadi; $x_0$ — shuningdek, oʻqning kelib chiqishini tanlashga qarab, ixtiyoriy doimiy Andoza:Math sondir. Solitonlar uchun alohida ahamiyatga ega boʻlgan narsa shundaki, har qanday boshlangʻich tebranish eksponent ravishda cheksizgacha bolinadi, vaqt oʻtishi bilan fazoda bir-biridan uzoqlashgan cheklangan solitonlar toʻplamiga aylanadi. Ushbu echimlar uchun aniq qidiruv, teskari tarqalish usuli yordamida muntazam ravishda amalga oshirilishi mumkin.

Korteweg-de Friza tenglamasining davriy yechimlariAndoza:Nbsp elliptik integrallar bilan tavsiflangan Andoza:Tarjima qilinmagan 5 shakliga ega:

$x-ct-x_0=\int {(2E+c{u}^2-2u^3)}^{-\frac{1}{2}}du$

Bu yerda c, E — uning amplitudasi va davrini aniqlaydigan toʻlqin parametrlari hisoblanadi.

Shuningdek, Korteweg-de Friza tenglamasiAndoza:Nbsp oʻziga oʻxshash echimlarni tan oladi va ular umumiy holatda Backlund transformatsiyasi yordamida olinishi mumkin va Painlevé tenglamasining yechimlari bilan ifodalanadi .

Harakatning integrallari va laks tasviri

Korteweg-de Friz tenglamasiAndoza:Nbsp aniq echiladigan chiziqli boʻlmagan differentsial tenglamaning eng oddiy misollaridan biri sifatida integral tizimlar nazariyasi uchun juda muhimdir. Integrallik tenglamada cheksiz sonli harakat integrallarining mavjudligi bilan taʼminlanadi, quyidagi shaklga ega.

$I_n=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{P}_{2n-1}(u,{\partial }_{x}u,\underset{x}{\overset{2}{\partial }}u,\dots )\text{d}x$

qayerda $P_n$ nomaʼlum funktsiyadagi n-darajali koʻphadlar va uning fazoviy hosilalari boʻlib, rekursiv ravishda quyidagicha beriladi:

$\begin{array}{cc}{P}_1& =u,\\ P_n& =-\frac{d{P}_{n-1}}{dx}+\sum _{i=1}^{n-2}{P}_i{P}_{n-1-i},n\ge 2.\end{array}$

Ularni Laks tasviri yordamida olish mumkin

$\frac{dL}{dt}=[P,L]$

bir juft operator orqali shunday koʻrinishhda boʻladi

$\begin{array}{cc}L& =-\underset{x}{\overset{2}{\partial }}+u,\\ P& =-4\underset{x}{\overset{3}{\partial }}+6u{\partial }_x+3u_x.\end{array}$

Bundan tashqari, Korteweg-de Friz tenglamasiAndoza:Nbspikki Gamilton tuzilishiga ega ekanligini koʻrsatish mumkin.

Harakatning bir nechata birinchi integrallari:

• vazn $\int u\text{d}x,$
• impuls $\int u^2\text{d}x,$
• energiya $\int [2u^3-{\left({\partial }_{x}u\right)}^2]\text{d}x.$

Umumlashtirish

Agar tarqalish mavjud boʻlsa, Korteveg — de Friz tenglamasi quyidagi shaklga ega boʻlgan Burgers — Korteveg — de Friz tenglamasiga oʻtadi

$\frac{\partial u}{\partial t}+6u\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x^3}=\nu \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$

parametr $\nu$ tarqalish miqdorini xarakterlaydi.

Ikki oʻlchovli geometriyada Korteweg-de Friz umumlashtirishAndoza:Nbsp bu Kadomtsev-Petviashvili tenglamasi boʻlib, u quyidagi shaklga ega:

$\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial u}{\partial t}+6u\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x^3})=\pm \frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}$

Adabiyotlar

• Dubrovin B. A., Krichever, I. M., Novikov S. P. Integratsiyalashgan tizimlar. I. — Dinamik tizimlar — 4, Itogi nauki i techniki. — M. : VINITI, 1985. — T. 4. — S. 179-284. — (zamonaviy. prob. matematika. asosiy yoʻnalishlar).
• Andoza:Книга
• Kortevega — de Fries tenglamasi -
• Andoza:Книга
• Andoza:Книга

Andoza:Turkumsiz