Klassik ehtimollik zichligi

Klassik ehtimollik zichligi — bu klassik mexanik tizimdagi potentsial energiyaga tobe boʻlgan maʼlum bir joyning yaqinida zarrachani topish ehtimolini ifodalovchi ehtimollik zichligi funktsiyasi . Ushbu ehtimollik zichliklari yozishmalar printsipi haqida tushunchaga ega boʻlishda va oʻrganilayotgan kvant tizimi va klassik chegara oʻrtasida aloqa oʻrnatishda yordam beradi.

Matematik asos

Dastlab Andoza:Math amplitudali tinch holatda oddiy harmonik osilator misolini koʻrib chiqing. Aytaylik, bu tizim yorugʻlik oʻtkazmaydigan konteyner ichiga joylashtirilgan, shunda uni faqat kamera yordamida koʻrish mumkin, u faqat ichida sodir boʻlayotgan voqealarni suratga olishi mumkin. Har bir surat osilatorni uning traektoriyasi boʻylab har qanday mumkin boʻlgan Andoza:Math holatida koʻrish ehtimoli bor. Klassik ehtimollik zichligi qaysi pozitsiyalar ehtimoli koʻproq, qaysilari kamroq, tizimning oʻrtacha pozitsiyasi va hokazolarni qamrab oladi. Ushbu funktsiyani olish uchun, osilatorning eng koʻp topilishi mumkin boʻlgan pozitsiyalari osilator koʻp vaqtini oʻtkazadigan pozitsiyalar ekanligini hisobga oling. Darhaqiqat, maʼlum bir Andoza:Math qiymatida boʻlish ehtimoli ushbu Andoza:Math qiymatiga yaqin joyda oʻtkazgan vaqtga proportsionaldir. Agar osilator berilgan Andoza:Math -qiymatning Andoza:Math yaqinida cheksiz kichik Andoza:Math vaqt sarflasa, u holda bu yaqinlikda boʻlish ehtimoli Andoza:Math boʻladi.

$P(x)dx\propto dt.$

Osillatorga taʼsir etuvchi kuch konservativ boʻlgani uchun va harakat cheklangan sohada sodir boʻlgani sababli, harakat Andoza:Math bilan belgilanadigan maʼlum bir davr bilan tsiklik boʻladi. Osilatorning mumkin boʻlgan minimal mumkin boʻlgan Andoza:Math -qiymati va maksimal mumkin boʻlgan Andoza:Math -qiymati oʻrtasidagi har qanday holatda boʻlish ehtimoli 1 ga teng boʻlishi kerakligi sababli, normalizatsiya

$\underset{x_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}{\overset{x_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{\int }}P(x)dx=1=N\underset{t_i}{\overset{t_f}{\int }}dt$

ishlatiladi, bu yerda Andoza:Math — normalizatsiya konstantasi. Tebranish massasi oʻz davrining yarmida bu pozitsiyalar oraligʻini qamrab olganligi sababli (toʻliq davr Andoza:Math dan Andoza:Math ga, keyin esa Andoza:Math ga oʻtadi) Andoza:Math ustidagi integral Andoza:Math ga teng boʻlib, bu Andoza:Math Andoza:Math ga oʻrnatadi.

Zanjir qoidasidan foydalanib, shuning uchun bizning ehtimollik zichligimiz Andoza:Math boʻladi, deb taʼkidlab, massa choʻzilgan balandlik nuqtai nazaridan qoʻyish mumkin .

$P(x)dx=\frac{2}{T}\frac{dx}{dx/dt}=\frac{2}{T}\frac{dx}{v(x)},$

Bu yerda Andoza:Math — osilatorning tezligi, uning holatiga bogʻliq. (Eʼtibor bering, tezlik skalar boʻlgani uchun Andoza:Math har ikkala yarim davr uchun ham bir xil.) Bu vaqtda Andoza:Math ni olish uchun Andoza:Math funksiyasini taqdim etish kifoya. Konservativ kuchlar taʼsiri ostida boʻlgan tizimlar uchun bu tezlikni energiya bilan bogʻlash orqali amalga oshiriladi. Kinetik energiya Andoza:Math boʻlgani uchun

$v(x)=\sqrt{\frac{2K}{m}}=\sqrt{\frac{2}{m}[E-U(x)]}.$

Buni Andoza:Math ifodamizga kiritsak, hosil boʻladi

$P(x)=\frac{1}{T}\sqrt{\frac{2m}{E-U(x)}}.$

Bizning boshlangʻich misolimiz garmonik osilator boʻlgan boʻlsa-da, shu paytgacha barcha matematika konservativ kuchga boʻysunadigan zarracha uchun butunlay umumiy boʻlib kelgan. Ushbu formulani mos keladigan potentsial energiya funktsiyasini ulash orqali har qanday bir oʻlchovli jismoniy tizim uchun umumlashtirish mumkin. Bu bajarilgandan soʻng, har qanday ruxsat etilgan energiya Andoza:Math uchun Andoza:Math osongina olinadi.

Misollar

Oddiy garmonik osilator

Kvant garmonik osilatorining Andoza:Math holatining ehtimollik zichligi funksiyasi. Qattiq chizma kvant mexanik ehtimollik zichligini, nuqtali chiziq esa klassik ehtimollik zichligini ifodalaydi. Chiziqli vertikal chiziqlar tizimning klassik burilish nuqtalarini koʻrsatadi.

Yuqoridagi hosilada ishlatilgan misoldan boshlab, oddiy garmonik osillator potensial energiya funksiyasiga egaligini koʻrishimiz mumkin:

$U(x)=\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2,$

bu yerda Andoza:Math — osilatorning doimiysi va Andoza:Math — osilatorning tabiiy burchak chastotasi . Osilatorning umumiy energiyasi Andoza:Math burilish nuqtalarida Andoza:Math baholash orqali beriladi. Buni Andoza:Math ifodasiga ulash natijasida hosil boʻladi

$P(x)=\frac{1}{\pi }\frac{1}{\sqrt{A^2-x^2}}.$

Bu funksiya burilish nuqtalarida ikkita vertikal asimptotaga ega, bu jismoniy maʼnoga ega, chunki burilish nuqtalari osilatorning dam olish joyidir va shuning uchun katta ehtimollik bilan ushbu Andoza:Math qiymatlari yaqinida topiladi. Eʼtibor bering, ehtimollik zichligi funksiyasi cheksizlikka moyil boʻlsa ham, ehtimollikni ifodalovchi egri chiziqning oʻzi emas, balki egri chiziq ostidagi maydon tufayli ehtimol hali ham cheklangan.

Muvozanatlovchi toʻp

Andoza:Math uchun kvant (qizil) va klassik (qora) kvant sakrash toʻpining ehtimollik zichligi funktsiyalari. Bu yerda burilish nuqtasi Andoza:Math (bu boʻlim Andoza:Math deb nimani anglatadi) bilan belgilanadi.

Yoʻqotishsiz sakrab turgan toʻp uchun potensial energiya va umumiy energiya

$U(z)=mgz,$

$E=mgh,$

bu yerda Andoza:Math — toʻp erishgan maksimal balandlik. Bularni Andoza:Math ga ulash natijasida hosil boʻladi

$P(z)=\frac{1}{2\sqrt{h}}\frac{1}{\sqrt{h-z}},$

munosabatlar bu yerda $T=\sqrt{8h/g}$ oldingi omillarni soddalashtirish uchun ishlatilgan. Bu funksiyaning domeni $z\in [0,h]$ (toʻp Andoza:Math da poldan tushmaydi), shuning uchun taqsimot oddiy garmonik osilatordagi kabi nosimmetrik emas. Shunga qaramay, Andoza:Math burilish nuqtasida vertikal asimptota mavjud.

Impuls-kosmik taqsimot

Pozitsiya fazosida ehtimollik taqsimotini koʻrib chiqishdan tashqari, tizimni uning momentumiga qarab tavsiflash ham foydalidir. Yuqoridagi kabi argumentdan keyin natija

$P(p)=\frac{2}{T}\frac{1}{|F(x)|},$

Bu yerda Andoza:Math zarrachaga pozitsiya funktsiyasi sifatida taʼsir qiluvchi kuch. Amalda, bu funktsiyani oʻzgaruvchilarning oʻzgarishi bilan Andoza:Math impulsiga koʻra qoʻyish kerak.

Oddiy garmonik osilator

Yuqoridagi oddiy garmonik osilatorga misol qilib, potentsial energiya va kuchni quyidagicha yozish mumkin

$U(x)=\frac{1}{2}k{x}^2,$

$|F(x)|=|-kx|=\sqrt{2kU(x)}=\sqrt{\frac{k}{m}(2mE-p^2)}.$

Tizimning maksimal impulsi sifatida Andoza:Math aniqlash, buni soddalashtiradi.

$P(p)=\frac{1}{\pi }\frac{1}{\sqrt{p_0^2-p^2}}.$

Eʼtibor bering, bu joylashuv-boʻshliq ehtimoli taqsimoti bilan bir xil funktsional shaklga ega. Bu oddiy garmonik osilator muammosiga xos boʻlib, harakat tenglamalarida Andoza:Math va Andoza:Math oʻrtasidagi simmetriya tufayli yuzaga keladi.

Muvozanatlovchi toʻp

Saqlayotgan toʻp misoli aniqroq, chunki bu holda kuch doimiy,

$F(x)=mg,$

natijada ehtimollik zichligi funksiyasi

$P(p)=\frac{1}{m\sqrt{8gh}}=\frac{1}{2p_0}\text{ for }|p|<p_0,$

Bu yerda Andoza:Math — toʻpning maksimal impulsi. Bu tizimda barcha momentlar bir xil ehtimolga ega.

Adabiyotlar

• Bohm, D. (1989). Quantum Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-65969-0.
• Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1977). Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory. Vol. 3 (3rd ed.)