Hosilaviy funksiyalar (fizika)

Fizikada, aniqrogʻi, Gamilton mexanikasida generatsiya qiluvchi funksiya erkin maʼnoda qisman hosilalari tizim dinamikasini aniqlaydigan differensial tenglamalarni hosil qiluvchi funksiyadir. Umumiy misollar — statistik mexanikaning boʻlinish funksiyasi, Gamiltonian va kanonik oʻzgarishlarni amalga oshirishda kanonik oʻzgaruvchilarning ikkita toʻplami oʻrtasida koʻprik vazifasini bajaradi.

Kanonik transformatsiyalarda

Quyidagi jadvalda umumlashtirilgan toʻrtta asosiy ishlab chiqaruvchi funksiya mavjud:

Natijaviy funksiya	Uning hosilalari
$F=F_1(q,Q,t)$	$p=\frac{\partial F_1}{\partial q}$ va $P=-\frac{\partial F_1}{\partial Q}$
$F=F_2(q,P,t)=F_1+QP$	$p=\frac{\partial F_2}{\partial q}$ va $Q=\frac{\partial F_2}{\partial P}$
$F=F_3(p,Q,t)=F_1-qp$	$q=-\frac{\partial F_3}{\partial p}$ va $P=-\frac{\partial F_3}{\partial Q}$
$F=F_4(p,P,t)=F_1-qp+QP$	$q=-\frac{\partial F_4}{\partial p}$ va $Q=\frac{\partial F_4}{\partial P}$

Misollar

Baʼzan berilgan Gamiltonian garmonik osilatorga oʻxshab ketadigan Gamiltonianga aylantirilishi mumkin:

$H=a{P}^2+b{Q}^2.$

Masalan, Gamiltonian bilan

$H=\frac{1}{2q^2}+\frac{p^2{q}^4}{2},$

Bu yerda p — umumlashtirilgan impuls va q — umumlashtirilgan koordinata, tanlash uchun yaxshi kanonik transformatsiya boʻladi.

$P=p{q}^2\text{ and }Q=\frac{-1}{q}.(1)$

Bu Gamiltonianni quyidagiga aylantiradi:

$H=\frac{Q^2}{2}+\frac{P^2}{2},$

Bu garmonik osilator Gamiltonian shaklida boʻladi.

Ushbu transformatsiya uchun F hosil qiluvchi funksiya uchinchi turdagi,

$F=F_3(p,Q).$

F ni aniq topish uchun yuqoridagi jadvaldagi hosila uchun tenglamadan foydalaning,

$P=-\frac{\partial F_3}{\partial Q},$

va (1) tenglamadagi P ifodasini p va Q bilan ifodalangan holda almashtiring:

$\frac{p}{Q^2}=-\frac{\partial F_3}{\partial Q}$

Buni Q ga nisbatan integrallash natijasida (1) tenglama bilan berilgan transformatsiyaning hosil qiluvchi funksiyasi tenglamasi olinadi:

$F_3(p,Q)=\frac{p}{Q}$

Bu toʻgʻri ishlab chiqarish funksiyasi ekanligini tasdiqlash uchun uning (1) mos kelishini tekshiring:

$q=-\frac{\partial F_3}{\partial p}=\frac{-1}{Q}$

Manbalar

• Goldstein, Herbert; Poole, C. P.; Safko, J. L. (2001). Classical Mechanics (3rd ed.)