Haqiqiy va kompleks sonlar massivini hisoblash

An Andoza:Math matritsa: Andoza:Math satrlari gorizontal va Andoza:Math ustunlari vertikal. Matritsaning har bir elementi ko'pincha ikkita pastki yozuv bilan o'zgaruvchi bilan belgilanadi. Masalan, Andoza:Math matritsaning ikkinchi qatori va birinchi ustunidagi elementni ifodalaydi.

matematikada matritsa (Andoza:Ko'plik shakl: matritsalar) to'rtburchaklar massiv yoki sonlar jadvalidir. , belgilar yoki ifodalar, elementlar yoki yozuvlar qatorida tartiblangan qatorlar va ustunlar, ular matematik obyekt yoki bunday obyektning xususiyatini ifodalash uchun ishlatiladi.

Masalan, $$\left[\begin{array}{ccc}1& 9& -13\\ 20& 5& -6\end{array}\right]$$ ikki qator va uchta ustunli matritsadir. Bu ko'pincha "ikki-uch matritsa", "$2\times 3$ matritsasi" yoki $2\times 3$ o'lchovli matritsa deb ataladi.

Matritsalar odatda chiziqli algebra bilan bog'liq. E'tiborga molik istisnolar grafik nazariyasida insidlanish matritsalari va qo'shnilik matritsalarini o'z ichiga oladi. Ushbu maqola chiziqli algebra bilan bog'liq matritsalarga qaratilgan va agar boshqacha ko'rsatilmagan bo'lsa, barcha matritsalar chiziqli xaritalarni ifodalaydi yoki shunday ko'rinishi mumkin.

Kvadrat matritsalar, qator va ustunlar soni bir xil bo'lgan matritsalar matritsalar nazariyasida katta rol o'ynaydi. Berilgan o'lchamdagi kvadrat matritsalar kommutativ bo'lmagan halqa ni tashkil qiladi, bu esa o'zgarmas halqaning eng keng tarqalgan misollaridan biridir. Kvadrat matritsaning determinanti matritsa bilan bog'langan son bo'lib, u kvadrat matritsani o'rganish uchun asosiy hisoblanadi; masalan, kvadrat matritsa invertible bo‘ladi, agar u nolga teng bo‘lmagan aniqlovchiga ega bo‘lsa va kvadrat matritsaning o‘z qiymatilari ko‘pnomli determinantning ildizlari bo‘lsa.

geometriyada matritsalar geometrik oʻzgartirishlarni (masalan, aylanishlar) va koordinata oʻzgarishilarni belgilash va ifodalash uchun keng qoʻllaniladi. sonli tahlilda koʻpgina hisoblash masalalari ularni matritsali hisoblashga qisqartirish yoʻli bilan hal qilinadi va bu koʻpincha katta oʻlchamdagi matritsalar bilan hisoblashni oʻz ichiga oladi. Matritsalar to'g'ridan-to'g'ri yoki geometriya va raqamli tahlilda foydalanish orqali matematika va ilmiy sohalarning aksariyat sohalarida qo'llaniladi.

Matritsalar nazariyasi - matematikaning bo'limi matritsalarni o'rganishga qaratilgan. U dastlab chiziqli algebraning kichik tarmogʻi boʻlgan, lekin tez orada grafik nazariya, algebra, kombinatorika va statistika bilan bogʻliq fanlarni oʻz ichiga olgan.

Ta'rifi

matritsa sonlardan (yoki boshqa matematik obyektlardan) iborat to'rtburchaklar massiv bo'lib, matritsaning yozuvlari deb ataladi. Matritsalar standart operatsiyalarga bo'ysunadi, masalan, qo'shish va ko'paytirish. Odatda, maydon F - F ning elementlari to'rtburchaklar massivi. haqiqiy matritsa va kompleks matritsa yozuvlari mos ravishda haqiqiy son yoki kompleks son bo'lgan matritsalardir. Yozuvlarning umumiy turlari quyida muhokama qilinadi. Masalan, bu haqiqiy matritsa:

$𝐀=\left[\begin{array}{c}-1,3va0,6\\ 20,4va5,5\\ 9,7va-6,2\end{array}\right].$

Matritsadagi raqamlar, belgilar yoki iboralar uning “yozuvlari” yoki “elementlari” deb ataladi. Matritsadagi yozuvlarning gorizontal va vertikal chiziqlari mos ravishda “satrlar” va “ustunlar” deb ataladi.

Hajmi

Matritsaning o'lchami uning tarkibidagi qatorlar va ustunlar soni bilan belgilanadi. Matritsa (odatiy ma'noda) musbat butun sonlar bo'lsa, bo'lishi mumkin bo'lgan satrlar va ustunlar soniga hech qanday cheklov yo'q . $m$ qatorlari va $n$ ustunlari boʻlgan matritsa $m\times n$ matritsasi yoki $mdebataladi.$-by-$n$ matritsasi, bu yerda $m$ va $n$ uning deyiladi. o'lchamlar. Masalan, yuqoridagi $𝐀$ matritsasi $3\times 2$ matritsasidir.

Bitta qatorli matritsalar satr vektoris, bitta ustunlilari esa ustun vektorlari deyiladi. Satrlar va ustunlar soni bir xil bo'lgan matritsa kvadrat matritsa deyiladi. Cheksiz qatorlar yoki ustunlar (yoki ikkalasi) bo'lgan matritsa cheksiz deb ataladi. matritsa . Ba'zi kontekstlarda, masalan, kompyuter algebrasi dasturlari, empty matritsa deb ataladigan qatorlar yoki ustunlarsiz matritsani ko'rib chiqish foydali bo'ladi.

Matrisa o‘lchamining umumiy ko‘rinishi

Ism	Hajmi	Misol	Tavsif	Belgilash
Qator vektor	1Andoza:Nbsp×Andoza:Nbspn	$\left[\begin{array}{c}3,7va2\end{array}\right]$	Bir qatorli matritsa, ba'zan vektorni ifodalash uchun ishlatiladi	$a_i$
Ustun vektor	nAndoza:Nbsp×Andoza:Nbsp1	$\left[\begin{array}{c}4\\ 1\\ 8\end{array}\right]$	Bir ustunli matritsa, ba'zan vektorni ifodalash uchun ishlatiladi	$a_j$
Kvadrat matritsa	nAndoza:Nbsp×Andoza:Nbspn	$\left[\begin{array}{c}9,13va5\\ 1,11va7\\ 2,6va3\end{array}\right]$	Bir xil qator va ustunlar soniga ega matritsa, baʼzan vektor fazodan oʻziga chiziqli oʻzgarishlarni ifodalash uchun ishlatiladi, masalan, aks ettirish, aylanish yoki qirqish.	$𝐀$

Izoh

Ramziy matritsa belgilarining o'ziga xos xususiyatlari ba'zi bir ustunlik tendentsiyalari bilan juda xilma-xildir. Matritsalar odatda kvadrat qavslar yoki qavslar ichida yoziladi, shuning uchun $m\times n$ matritsasi $𝐀$ quyidagicha ifodalanadi. $$𝐀=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right).$$ Buni faqat bitta umumiy atamani, ehtimol indekslar bilan birga yozish orqali qisqartirish mumkin. Failed to parse (unknown function "\o"): \mathbf{A} = \left(a_{ij}\o'ng), \quad \left[ a_{ij}\right], \quad \text{yoki} \quad \left(a_{ij}\right)_ {1\leq i\leq m, \; 1\leq j\leq n} yoki $n=m$ bo‘lgan holatda $𝐀=(a_{i,j}{)}_{1\le i,j\le n}$.

Matritsalar odatda katta harflar yordamida (masalan, yuqoridagi misollarda $𝐀$), mos keladigan kichik-kichik harflar ikkitadan iborat. pastki indeks indekslari (masalan, $a_{11}$ yoki $a_{1,1}$), yozuvlarni ifodalaydi. Matritsalarni ramziy qilish uchun katta harflardan foydalanish bilan bir qatorda, koʻpgina mualliflar matritsalarni boshqa matematik obʼyektlardan ajratib koʻrsatish uchun maxsus tipografik uslub, odatda qalin rim (kursiv boʻlmagan) dan foydalanadilar. Muqobil yozuv, $\underset{\_}{\underset{\_}{A}}$ da boʻlgani kabi, oʻzgaruvchi nomi bilan, qalin harflar bilan yoki boʻlmasdan, qoʻsh chiziqdan foydalanishni oʻz ichiga oladi.

Andoza:Matematika matritsaning Andoza:Math-chi qator va Andoza:Math-chi ustunidagi yozuv ba'zan matritsaning $i,j$ yoki $(i,j)$ yozuvi deb ataladi va odatda quyidagicha belgilanadi. $a_{i,j}$ yoki $a_{ij}$. Ushbu yozuv uchun muqobil belgilar $𝐀[i,j]$ va ${𝐀}_{i,j}$ hisoblanadi. Masalan, quyidagi $𝐀$ matritsasining $(1,3)$ yozuvi Andoza:Math (shuningdek, $a_{debhambelgilanadi)13}$, $a_{1,3}$, $𝐀[1,3]$ yoki ${𝐀}_{1,3}$):

Failed to parse (unknown function "\begin{bmatrix}"): {\displaystyle \mathbf{A}=\begin{bmatrix} 4 & -7 & \ rang {qizil {5} & 0 \\ -2, 0, 11, 8 \\ 19 va 1 va -3 va 12 \end{bmatrix}}

Ba'zan matritsaning yozuvlari $a_{i,j}=f(i,j)$ kabi formulalar bilan aniqlanishi mumkin. Masalan, quyidagi $𝐀$ matritsasining har bir yozuvi $a_{ij}=ij$ formulasi bilan aniqlanadi.

$𝐀=\left[\begin{array}{cccc}0& -1& -2& -3\\ 1& 0& -1& -2\\ 2& 1& 0& -1\end{array}\right]$

Bunday holda, matritsaning o'zi ba'zan kvadrat qavslar yoki qo'sh qavslar ichida ushbu formula bilan aniqlanadi. Masalan, yuqoridagi matritsa $𝐀=[ij]$ yoki $𝐀=((ij))$ sifatida aniqlanadi. Agar matritsa hajmi $m\times n$ boʻlsa, yuqorida qayd etilgan $f(i,j)$ formulasi har qanday $i=1,\dots ,m<uchunamalqiladi./math>vaharqanday<math>j=1,\dots ,n$. Bu alohida belgilanishi yoki pastki belgisi sifatida $m\times n$ yordamida koʻrsatilishi mumkin. Masalan, yuqoridagi $𝐀$ matritsasi $3\times 4$ ga teng va uni $𝐀=[ij](i=1,2,3;j=1,\dots ,4)$ yoki $𝐀=[ij{]}_{3\times 4}$.

Ba'zi dasturlash tillari Andoza:Math-by-Andoza:Math matritsasini ifodalash uchun ikki barobar obunali massivlardan (yoki massivlar massivlaridan) foydalanadi. Ba'zi dasturlash tillari massiv indekslarini raqamlashni noldan boshlaydi, bu holda Andoza:Math-by-Andoza:Math matritsaning yozuvlari $0\le i\le m-1$ va $0\le j\le n-1$. Ushbu maqolada sanab o'tish Andoza:Math dan boshlanadigan matematik yozishda keng tarqalgan qoidaga amal qilinadi.

Barcha Andoza:Math-by-Andoza:Math haqiqiy matritsalarning to'plami ko'pincha $ℳ𝒷𝒾𝓁𝒶𝓃𝒷ℯ𝓁ℊ𝒾𝓁𝒶𝓃𝒶𝒹𝒾\mathcal{.}(m,n),$ yoki ${ℳ}_{m\times n}(ℝ).$ Hammasi toʻplami Andoza:Matematik-by-Andoza:Matematik matritsalar boshqa maydon yoki halqasi ustidan Andoza:Math, xuddi shunday belgilanadi: $ℳ(m,n,R),$ yoki ${ℳ}_{m\times n}(R).$ Agar Andoza:Math bo'lsa, masalan [ [kvadrat matritsalar]] oʻlchami takrorlanmaydi: $ℳ(n,R),$ yoki Andoza:Nowrap Ko'pincha o'z o'rnida $M$ yoki $\mathrm{Mat}$ ishlatiladi. $ℳ.$

Asosiy operatsiyalar

Matritsalarga bir nechta asosiy amallarni qo'llash mumkin. Ba'zilari, masalan, transpozitsiya va submatritsa yozuvlarning tabiatiga bog'liq emas. Boshqalar, masalan, matritsalarni qo'shish, skalyar ko'paytirish, matritsalarni ko'paytirish va satr operatsiyalari matritsa yozuvlari bo'yicha operatsiyalarni o'z ichiga oladi va shuning uchun matritsa yozuvlari raqamlar bo'lishini yoki [ga tegishli bo'lishini talab qiladi. [maydon (matematika)|maydon]] yoki ring.

Ushbu bo'limda matritsa yozuvlari odatda raqamlar maydoni bo'lgan sobit halqaga tegishli deb taxmin qilinadi.

Qo'shish, skalyar ko'paytirish, ayirish va transpozitsiya

Qo'shimcha

Ikkita Andoza:Matematik matritsaning yig'indisi Andoza:Matematik Andoza:Matematika va Andoza:Matematika kiritma bo'yicha hisoblanadi: $(𝐀+𝐁{)}_{i,j}={𝐀}_{i,j}+{𝐁}_{i,j},1\le i\le m,1\le j\le n.$ Masalan,

<matematika>

\begin{bmatrix} 1, 3 va 1 \\ 1 va 0 va 0 \end{bmatritsa} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7, 5 va 0 \end{bmatritsa} = \begin{bmatrix} 1+0 va 3+0 va 1+5 \\ 1+7 va 0+5 va 0+0 \end{bmatritsa} = \begin{bmatrix} 1, 3 va 6 \\ 8, 5 va 0 \end{bmatritsa} </math>

Skalyar ko'paytirish

Andoza:Mvar sonining Andoza:Matematik ko'paytmasi (shuningdek, bu kontekstda skalar deb ham ataladi) va Andoza:Matematik matritsasi Andoza:Matematik ning har bir yozuvini Andoza:Mvar ga ko'paytirish yo'li bilan hisoblanadi: $$(c𝐀{)}_{i,j}=c\cdot {𝐀}_{i,j}$$ Bu amal skalyar ko'paytirish deb ataladi, lekin uning natijasi chalkashmaslik uchun "skalar ko'paytma" deb nomlanmagan, chunki "skalar ko'paytma" ko'pincha "ichki mahsulot" ning sinonimi sifatida ishlatiladi. Masalan:

Failed to parse (unknown function "\begin{bmatrix}"): {\displaystyle 2\cdot \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 va -2 va 5 \end{bmatritsa} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 1 va 2\cdot 8 va 2\cdot -3 \\ 2\cdot 4 va 2\cdot -2 va 2\cdot 5 \end{bmatritsa} = \begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 va -4 va 10 \end{bmatritsa} }

ayirish

Ikkita Andoza:Math matritsalarni ayirish matritsani skaler ko'paytirish bilan Andoza:Math ga qo'shish orqali aniqlanadi:

$𝐀-𝐁=𝐀+(-1)\cdot 𝐁$

Transpozitsiya

Andoza:Matematik matritsaning ko'chirilishi Andoza:Matematik Andoza:Matematik matritsa Andoza:Matematika (shuningdek belgilanadi) Andoza:Matematik yoki Andoza:Matematik) satrlarni ustunlar va o'rinbosarlarga aylantirish orqali hosil qilingan aksincha: $${\left({𝐀}^{\mathrm{T}}\right)}_{i,j}={𝐀}_{j,i}.$$ Masalan:

<matematika>

\begin{bmatrix} 1, 2 va 3 \\ 0 & -6 va 7 \end{bmatrix}^\mathrm{T} = \begin{bmatrix} 1 va 0 \\ 2 va -6 \\ 3 va 7 \end{bmatritsa} </math>

Sonlarning tanish xossalari matritsalar ustidagi bu amallarga taalluqli: masalan, qo‘shish kommutativ, ya’ni matritsa yig‘indisi yig‘indilarning tartibiga bog‘liq emas: Andoza:Math. Transpoze qoʻshish va skaler koʻpaytirish bilan mos keladi, bu bilan ifodalangan Andoza:Math va Andoza:Matematik. Nihoyat, Andoza:Math.

Matritsani ko'paytirish

Ikkita matritsaning Andoza:Matematik matritsa mahsulotining sxematik tasviri Andoza:Matematik va Andoza:Matematik

Ikki matritsaning ko'paytirilishi, agar chap matritsaning ustunlari soni o'ng matritsaning satrlari soni bilan bir xil bo'lsagina aniqlanadi. Agar Andoza:Matematik Andoza:Matematik matritsa va Andoza:Matematik bo'lsa Andoza:Matematik matritsa, keyin ularning matritsa mahsuloti Andoza:Matematik Andoza:Matematik matritsa, uning yozuvlari tegishli Andoza:Matematik qatorining nuqta ko'paytmasi va mos keladigan Andoza:Matematika ustuni:

$[𝐀𝐁{]}_{i,j}=a_{i,1}{b}_{1,j}+a_{i,2}{b}_{2,j}+\cdots +a_{i,n}{b}_{n,j}=\sum _{r=1}^n{a}_{i,r}{b}_{r,j},$

bu yerda Andoza:Matematik va Andoza:Math. Masalan, mahsulotdagi tagiga chizilgan 2340 yozuvi Andoza:Matematika sifatida hisoblanadi.

<matematika>

\begin{align} \begin{bmatrix} \pastiga chizing{2} & \pastiga 3-chizing va \tastiga chizing 4\\ 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatritsa}

\begin{bmatrix} 0 va \ ostiga{1000} \\ 1 va \pastini chizish{100} \\ 0 va \ostiga chizilgan{10} \\ \end{bmatritsa} &= \begin{bmatrix} 3 va \tagini chizish{2340} \\ 0 va 1000 \\ \end{bmatritsa}. \end{tekislash} </math>

Matritsani koʻpaytirish qoidalariga javob beradi Andoza:Matematika (assotsiativlik ) va Andoza:Math, shuningdek Andoza:Math (chap va o'ng taqsimlanish), matritsalarning o'lchami har xil mahsulotlar aniqlanganda. Andoza:Matematik mahsuloti Andoza:Matematik aniqlanadi, agar Andoza:Matematik va Andoza:Matematik bo'lsa Andoza:Math va Andoza:Math matritsalar va Andoza:Math Ikkala mahsulot ham aniqlangan bo'lsa ham, ular odatda teng bo'lishi shart emas, ya'ni: $$𝐀𝐁\ne 𝐁𝐀.$$

Boshqacha qilib aytganda, koʻpaytmasi tartibdan mustaqil boʻlgan (ratsional, haqiqiy yoki murakkab) raqamlardan farqli oʻlaroq, matritsani koʻpaytirish kommutativ emas, omillarning. Ikki matritsaning bir-biri bilan almashmasligiga misol:

Failed to parse (unknown function "\begin{bmatrix}"): {\displaystyle \begin{bmatrix} 1 va 2\\ 3 va 4\\ \end{bmatritsa} \begin{bmatrix} 0 va 1\\ 0 va 0\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 va 1\\ 0 va 3\\ \end{bmatrix}, }

holbuki

Failed to parse (unknown function "\begin{bmatrix}"): {\displaystyle \begin{bmatrix} 0 va 1\\ 0 va 0\\ \end{bmatritsa} \begin{bmatrix} 1 va 2\\ 3 va 4\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3 va 4\\ 0 va 0\\ \end{bmatritsa}. }

Yuqorida tavsiflangan oddiy matritsalarni ko'paytirishdan tashqari, ko'paytirish shakllari deb hisoblanishi mumkin bo'lgan matritsalar ustida kamroq qo'llaniladigan amallar ham mavjud, masalan, Hadamard mahsuloti va Kroneker mahsuloti.< ref>Andoza:Garvard iqtiboslari</ref> Ular Silvester tenglamasi kabi matritsali tenglamalarni yechishda yuzaga keladi.

Qator operatsiyalari

Andoza:Asosiy Satr operatsiyalarining uch turi mavjud:

1. qator qo'shish, ya'ni qatorni boshqasiga qo'shish.
2. qatorni ko'paytirish, ya'ni qatorning barcha yozuvlarini nolga teng bo'lmagan doimiyga ko'paytirish;
3. qatorni almashtirish, ya'ni matritsaning ikki qatorini almashtirish;

Bu amallar chiziqli tenglamalarni yechish va matritsaga teskarilarni topish kabi bir qancha usullarda qoʻllaniladi.

Andoza:Langar Submatritsa

Matritsaning submatritsasi har qanday qatorlar va/yoki ustunlar to'plamini o'chirish orqali olingan matritsadir. Masalan, quyidagi 3 ga 4 matritsadan 3 va 3 qatorni olib tashlash orqali 2 ga 3 kichik matritsa qurishimiz mumkin. 2-ustun:

Failed to parse (unknown function "\begin{bmatrix}"): {\displaystyle \mathbf{A}=\begin{bmatrix} 1 & \rang{qizil}{2} & 3 & 4 \\ 5 & \color{red}{6} & 7 & 8 \\ \color{red}{9} & \color{red}{10} & \color{red}{11} & \color{12} \end{bmatritsa} \o'ngga strelka \begin{bmatritsa} 1, 3 va 4 \\ 5, 7 va 8 \end{bmatritsa}. }

Matritsaning kichik va kofaktorlari ma'lum submatritsalarning determinant larini hisoblash yo'li bilan topiladi.

'Asosiy submatritsa - bu ma'lum qatorlar va ustunlarni olib tashlash orqali olingan kvadrat submatritsa. Ta'rif muallifdan muallifga farq qiladi. Ba'zi mualliflarning fikriga ko'ra, asosiy submatritsa - bu qolgan qator indekslari to'plami qolgan ustun indekslari to'plami bilan bir xil bo'lgan pastki matritsadir. Boshqa mualliflar asosiy submatritsani birinchi Andoza:Mvar qator va ustunlardan iborat boʻlgan maʼlum bir son sifatida aniqlang. Andoza:Mvar, qolganlar; bu tur submatritsaning "" yetakchisi deb ham atalgan submatritsa.

Chiziqli tenglamalar

Andoza:Asosiy Matritsalar ixcham yozish va bir nechta chiziqli tenglamalar, ya'ni chiziqli tenglamalar tizimlari bilan ishlash uchun ishlatilishi mumkin. Masalan, agar Andoza:Math Andoza:Matematik matritsa bo'lsa, Andoza:Matematik.

spektral teorema boʻyicha haqiqiy simmetrik matritsalar va murakkab Germit matritsalari oʻziga xos asosga ega; ya'ni har bir vektor xos vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanadi. Ikkala holatda ham barcha xos qiymatlar haqiqiydir. Bu teoremani umumlashtirish mumkin. cheksiz ko'p satr va ustunli matritsalar bilan bog'liq cheksiz o'lchovli vaziyatlarga qarang pastda.

Invertible matritsa va uning teskarisi

Andoza:Matematik kvadrat matritsa invertible yoki matritsa mavjud bo'lsa, nosingular deyiladi Andoza:Matematik shundayki $$𝐀𝐁=𝐁𝐀={𝐈}_n,$$ bu yerda Andoza:Matematik Andoza:Matematik identifikatsiya matritsasi asosiy diagonalda 1lar va boshqa joylarda 0lar bilan. Agar Andoza:Math mavjud bo'lsa, u yagona bo'lib, teskari matritsa Andoza:Matematik deb ataladi. , belgilangan Andoza:Matematik.

Aniq matritsa

Ijobiy aniq matritsa	Noaniq matritsa
$\left[\begin{array}{c}\frac{1}{4}va0\\ 0va1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}\frac{1}{4}va0\\ 0va-\frac{1}{4}\end{array}\right]$
$Q(x,y)=\frac{1}{4}{x}^2+y^2$	$Q(x,y)=\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{4}{y}^2$
Fayl:Yarim o'qli labelled.svg koordinata tizimidagi ellips Shunday nuqtalar: $Q(x,y)=1$ ([ [ellips]])	$Q(x,y)=1$ (Giperbola) boʻladigan nuqtalar

Simmetrik haqiqiy matritsa Andoza:Matematika, agar bog'langan kvadrat shakl bo'lsa, musbat-aniq deyiladi. $$f(𝐱)={𝐱}^{\mathrm{T}}𝐀𝐱$$ har bir nolga teng boʻlmagan vektor uchun musbat qiymatga ega Andoza:Math Andoza:Tmath Agar Andoza:Math faqat manfiy qiymatlarni beradi, keyin Andoza:Matematik [[matritsaning aniqligi#Salbiy] aniq|salbiy-aniqli]]; agar Andoza:Mvar ham manfiy, ham ijobiy qiymatlarni hosil qilsa, Andoza:Matematika noaniq bo'ladi. Agar kvadratik shakl Andoza:Mvar faqat manfiy bo'lmagan qiymatlarni (musbat yoki nol) beradi, simmetrik matritsa musbat-yarim aniq (yoki faqat ijobiy bo'lmagan qiymatlar bo'lsa, u holda manfiy-yarim aniq) deb ataladi; demak, matritsa na musbat-yarim-aniqli, na manfiy-yarim-aniq bo'lmaganda aniq noaniq bo'ladi.

Simmetrik matritsa musbat-aniqli, agar uning barcha xos qiymatlari musbat bo‘lsa, ya’ni matritsa musbat-yarim aniq va teskari bo‘lsa. O'ngdagi jadval ko'rsatilgan 2 ga 2 matritsalar uchun ikkita imkoniyat.

Ikki xil vektorga kirishga ruxsat berilsa, Andoza:Math bilan bog'langan bilinear shakl hosil bo'ladi: $$B_{𝐀}(𝐱,𝐲)={𝐱}^{\mathrm{T}}𝐀𝐲.$$

Murakkab matritsalar bo'lsa, xuddi shunday atama va natija simmetrik matritsa, kvadrat shakl, bilinear shakl va transpoze Andoza:Matematik mos ravishda Germitian matritsasi, Germitian shakli, sesquilinear bilan almashtirildi. shakl va konjugat transpose Andoza:Matematik.

Ortogonal matritsa

Andoza:Asosiy Ortogonal matritsa ustunlari va satrlari ortogonal birlik vektors (ya'ni, ortonormal vektorlar bo'lgan haqiqiy yozuvli kvadrat matritsadir. ). Ekvivalent tarzda, Andoza:Math matritsa ortogonal bo'ladi, agar uning ko'chirish teskari ga teng bo'lsa:

${𝐀}^{\mathrm{T}}={𝐀}^{-1},$

o'z ichiga oladi

${𝐀}^{\mathrm{T}}𝐀=𝐀{𝐀}^{\mathrm{T}}={𝐈}_n,$

bu yerda Andoza:Matematik Andoza:Mvar o'lchamdagi identifikatsiya matritsasi.

Ortogonal matritsa Andoza:Matematika shartli ravishda invertible (teskari {{math|1=AAndoza:Sup), unitar (Andoza:Math) va normal (Andoza:Matematik). Har qanday ortogonal matritsaning determinanti Andoza:Math yoki Andoza:Math boʻladi. maxsus ortogonal matritsa determinant +1 bo'lgan ortogonal matritsadir. chiziqli transformatsiya sifatida, Andoza:Math determinantli har bir ortogonal matritsa aks ettirilmasdan sof aylanish hisoblanadi, yaʼni transformatsiya oʻzgartirilgan strukturaning yoʻnalishini saqlaydi, Andoza:Math determinantli har bir ortogonal matritsa orientatsiyani o'zgartiradi, ya'ni sof matritsaning kompozitsiyasidir. fikrlash va (ehtimol null) aylanish. Identifikatsiya matritsalari Andoza:Math determinantga ega va ular nol burchak bilan sof aylanishlardir.

Ortogonal matritsaning kompleks analogi unitar matritsadir.

Asosiy operatsiyalar

Iz

Kvadrat matritsaning Andoza:Math iz, Andoza:Math uning yig'indisidir. diagonal yozuvlar. Matritsalarni ko'paytirish yuqorida aytib o'tilganidek kommutativ bo'lmasa-da, ikkita matritsa ko'paytmasining izi omillar tartibiga bog'liq emas:

$\mathrm{tr}(𝐀𝐁)=\mathrm{tr}(𝐁𝐀).$

Bu matritsalarni ko'paytirishning ta'rifidan darhol:

$\mathrm{tr}(𝐀𝐁)=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{ji}=\mathrm{tr}(𝐁𝐀).$

Bundan kelib chiqadiki, ikkitadan ortiq matritsalar koʻpaytmasining izi matritsalarning siklik almashtirish lariga bogʻliq emas, lekin bu umuman ixtiyoriy almashtirishlarga taalluqli emas (masalan , Andoza:Math, umuman). Shuningdek, matritsaning izi uning transpozitsiyasiga teng, ya'ni $$\mathrm{tr}(𝐀)=\mathrm{tr}({𝐀}^{\mathrm{T}}).$$

Aniqlovchi

Ko'rsatilgan matritsa tomonidan berilgan Andoza:Tmath bo'yicha chiziqli o'zgartirish. Bu matritsaning determinanti −1 ga teng, chunki o‘ngdagi yashil parallelogrammning maydoni 1 ga teng, lekin xarita orientatsiyani teskari qiladi, chunki u vektorlarning soat miliga teskari yo‘nalishini soat miliga aylantiradi. bir.

Kvadrat matritsaning determinanti Andoza:Matematik (belgilangan Andoza:Math yoki Andoza:Matematik) - matritsaning ma'lum xususiyatlarini kodlovchi raqam. Matritsa teskari bo'ladi faqat va agar uning determinanti nolga teng bo'lmasa. Uning mutlaq qiymati birlik kvadrat (yoki kub) tasvirining maydoniga (Andoza:Tmath) yoki hajmiga (Andoza:Tmath da) tengdir, uning belgisi esa mos chiziqli xaritaning yo'nalishiga mos keladi: determinant faqat va faqat yo'nalish saqlanib qolganda ijobiy bo'ladi.

2 ga 2 matritsalarning determinanti bilan berilgan

$\det \left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=ad-bc.$

3 ga 3 matritsalarning determinanti 6 ta haddan iborat (Sarrus qoidasi). Uzunroq Leybnits formulasi bu ikki formulani barcha o'lchamlarga umumlashtiradi.

Kvadrat matritsalar mahsulotining determinanti ularning determinantlarining mahsulotiga teng: $$\det (𝐀𝐁)=\det (𝐀)\cdot \det (𝐁),$$ yoki muqobil yozuvdan foydalanish: $$|𝐀𝐁|=|𝐀|\cdot |𝐁|.$$ Boshqa qatorga istalgan satrning karrali yoki boshqa ustunga har qanday ustunning karrali qo‘shilishi determinantni o‘zgartirmaydi. Ikki qator yoki ikkita ustunni almashtirish determinantni −1 ga ko'paytirish orqali ta'sir qiladi. Bulardan foydalanish operatsiyalarda har qanday matritsa pastki (yoki yuqori) uchburchak matritsaga aylantirilishi mumkin va bunday matritsalar uchun determinant asosiy diagonaldagi yozuvlar mahsulotiga teng; bu har qanday matritsaning determinantini hisoblash usulini beradi. Nihoyat, Laplas kengayishi determinantni kichiklar, yaʼni kichikroq matritsalarning determinantlari bilan ifodalaydi. Ushbu kengaytma rekursiv ta'rif uchun ishlatilishi mumkin determinantlar (boshlang'ich holat sifatida 1 ga 1 matritsaning determinanti, ya'ni uning yagona kirishi yoki hatto 0 ga 0 matritsaning determinanti, ya'ni 1) ekvivalent deb ko'rish mumkin Leybnits formulasi. Determinantlardan chiziqli tizimlarni Kramer qoidasi yordamida yechish uchun foydalanish mumkin, bunda ikkita bogʻliq kvadrat matritsalar determinantlarining boʻlinishi tizimning har bir oʻzgaruvchisi qiymatiga teng boʻladi.

Xususiy qiymatlar va xos vektorlar

Andoza:Asosiy $\lambda$ va nolga teng bo'lmagan vektor Andoza:Math qanoatlantiruvchi

$𝐀𝐯=\lambda 𝐯$

mos ravishda Andoza:Math ning o'ziga xos qiymat va o'zvektori deb ataladi. Andoza:Mvar soni Andoza:Matematik-matritsa Andoza:Math agar va faqat agar Andoza:Matematik teskari emas, bu ekvivalent

$\det (𝐀-\lambda 𝐈)=0.$

ni baholash orqali berilgan noaniq Andoza:Math polinomi. determinant Andoza:Math Andoza:Matematik ning xarakteristik polinomi deb ataladi. U daraja Andoza:Mvar monik polinom. Shuning uchun Andoza:Math polinom tenglamasi ko'pi bilan Andoza:Mvar xil yechimga ega, ya'ni , matritsaning xos qiymatlari. Ular Andoza:Math yozuvlari haqiqiy bo'lsa ham murakkab bo'lishi mumkin. Keyli–Gamilton teoremasiga koʻra, Andoza:Math, ya'ni matritsaning o'zini o'ziga xos ko'phadga qo'yish natijasida nol matritsa hosil bo'ladi.

Hisoblash aspektlari

Matritsalarni hisoblash ko'pincha turli xil texnikalar bilan amalga oshirilishi mumkin. Ko'pgina muammolarni to'g'ridan-to'g'ri algoritmlar va iterativ yondashuvlar bilan hal qilish mumkin. Masalan, kvadrat matritsaning xos vektorlarini vektorlarning ketma-ketligi {{matematik|xAndoza:Sub} topib olish mumkin. } konversiya xos vektorga Andoza:Mvar moyil boʻlganda infinity.

Har bir aniq muammo uchun eng mos algoritmni tanlash uchun barcha mavjud algoritmlarning samaradorligi va aniqligini aniqlash muhimdir. Ushbu masalalarni o'rganadigan domen sonli chiziqli algebra deb ataladi. Boshqa raqamli vaziyatlarda bo'lgani kabi , ikkita asosiy jihat algoritmlarning murakkabligi va ularning [[raqamliligi] barqarorlik]].

Algoritmning murakkabligini aniqlash yuqori chegaralarni topish yoki ba'zi bir algoritmni bajarish uchun skalerlarni qo'shish va ko'paytirish kabi qancha elementar amallar zarurligini taxmin qilishni anglatadi, masalan, matritsalarni ko'paytirish . Yuqorida berilgan ta'rifdan foydalanib, ikkita Andoza:Mvar-Andoza:Mvar matritsaning matritsa mahsulotini hisoblash uchun Andoza:Math ko'paytirish kerak, chunki mahsulotning har qanday Andoza:Math yozuvlari uchun Andoza:Mvar ko'paytirish kerak. Strassen algoritmi bu "sodda" algoritmdan ustundir; unga faqat Andoza:Matematik ko'paytirish kerak. Takomillashtirilgan yondashuv hisoblash qurilmalarining o'ziga xos xususiyatlarini ham o'z ichiga oladi.

Ko'pgina amaliy vaziyatlarda matritsalar haqida qo'shimcha ma'lumotlar ma'lum. Muhim holat bu siyrak matritsalar, yaʼni koʻpchilik yozuvlari nolga teng boʻlgan matritsalardir. Aytaylik, chiziqli tizimlarni echish uchun maxsus moslashtirilgan algoritmlar mavjud Andoza:Math siyrak matritsalar uchun {{matematik|A} }, masalan, konjugat gradient usuli.

Agar kirish qiymatlaridagi kichik og'ishlar natijada katta og'ishlarga olib kelmasa, algoritm, qo'pol qilib aytganda, raqamli barqaror hisoblanadi. Masalan, Laplas kengaytmasi orqali matritsaning teskarisini hisoblash (Andoza:Math Andoza:Math va komponentning chiqish kuchlanishi bilan Andoza:Mvar 2 o‘lchovli vektor bo‘lsin. Andoza:Math va uning elementlari sifatida joriy Andoza:Math chiqaring. Keyin elektron komponentning harakatini Andoza:Math bilan tavsiflash mumkin, bu yerda Andoza:Mvar 2 x 2 bir empedans element (Andoza:Mvar), bitta ruxsat elementni o'z ichiga olgan matritsa (Andoza:Mvar) va ikkita o'lchovsiz element ({{math|hAndoza:Sub} } va Andoza:Matematika). Sxemani hisoblash endi matritsalarni ko'paytirishga kamayadi.

Tarix

Matritsalar chiziqli tenglamalarni yechishda uzoq vaqtdan beri qoʻllanish tarixiga ega, ammo ular 1800-yillargacha massivlar sifatida tanilgan. Miloddan avvalgi 10–2-asrlarda yozilgan Xitoycha matn Matematika sanʼati boʻyicha toʻqqiz bob [[chiziqli matematika tizimi] yechishda massiv usullaridan foydalanishning birinchi namunasidir. tenglamalar|bir vaqtda tenglamalar]], determinantlar tushunchasini oʻz ichiga oladi. 1545 yilda italyan matematigi Gerolamo Kardano Ars Magna asarini nashr qilganda Yevropaga bu usulni joriy qilgan. Yapon matematigi Seki 1683-yilda bir vaqtda tenglamalarni yechish uchun bir xil massiv usullaridan foydalangan. Gollandiyalik matematik Yan de Vitt o'zining 1659-yilda chop etilgan Elements of Curves kitobida massivlar yordamida transformatsiyalarni ifodalagan. ' (1659). 1700-1710 yillarda Gotfrid Vilgelm Leybnits axborot yoki yechimlarni yozib olish uchun massivlardan foydalanishni eʼlon qildi va 50 dan ortiq turli massivlar tizimi bilan tajriba oʻtkazdi. Kramer uning qoidasi ni taqdim etdi 1750.

“Matrisa” (lotincha “bachadon”, “to‘g‘on” (ko‘paytirish uchun saqlanadigan odam bo‘lmagan urg‘ochi hayvon), “manba”, “kelib chiqishi”, “ro‘yxat” va “registr” atamasi mater—ona) 1850-yilda Jeyms Jozef Silvestr tomonidan yaratilgan, matritsani bugungi kunda kichik deb ataladigan bir nechta determinantlarni keltirib chiqaradigan obyekt deb tushunganlar, ya'ni dastlabkisidan kelib chiqadigan kichikroq matritsalarning determinantlari. ustunlar va qatorlarni olib tashlash orqali. 1851 yilgi maqolasida Silvestr shunday tushuntiradi:

Artur Kayli ilgari qilinganidek tekshirilayotgan koeffitsientlarning aylantirilmagan versiyalari bo'lmagan matritsalar yordamida geometrik o'zgarishlar haqida risolani nashr etdi. Buning o'rniga u qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish kabi amallarni ushbu matritsalarning o'zgarishi sifatida aniqladi va assotsiativ va taqsimlovchi xususiyatlarni ko'rsatdi. Keyli matritsalarni ko‘paytirishning o‘zgarmas xususiyatini hamda matritsalarni qo‘shishning kommutativ xususiyatini tadqiq qildi va ko‘rsatdi. Ilk matritsa nazariyasi massivlardan deyarli faqat determinantlar va Artur Keylining mavhum matritsasi bilan foydalanishini cheklab qo‘ygan edi. operatsiyalar inqilobiy edi. U tenglamalar tizimidan mustaqil matritsa kontseptsiyasini taklif qilishda muhim rol o'ynadi. 1858 yilda Keyli o'zining "Matritsalar nazariyasi bo'yicha xotiralar" asarini nashr etdi. Maqolalar II 475-496</ref> unda u Keyli-Gamilton teoremasini taklif qilgan va ko‘rsatgan.

Ingliz matematigi Kutbert Edmund Kullis 1913 yilda birinchi bo'lib matritsalar uchun zamonaviy qavs belgisini qo'llagan va u bir vaqtning o'zida Andoza:Math matritsani ifodalash uchun Andoza:Mvar Andoza:Mvar-chi qator va Andoza:Mvar-ustunni bildiradi.

Determinantlarni zamonaviy tadqiq qilish bir necha manbalardan kelib chiqqan. Raqam-nazariy muammolari [[Gauss]ga olib keldi. ]] kvadrat shakllarning koeffitsientlarini, yaʼni kabi ifodalarni bogʻlash. Andoza:Matematik va chiziqli xaritalar uch o'lchovli matritsalarga. Eyzenshteyn bu tushunchalarni yanada rivojlantirdi, jumladan, zamonaviy tilda aytganda, matritsa mahsulotilar kommutativ boʻlmagan degan fikrni ham oʻz ichiga oladi. Koshi matritsa determinantining ta'rifi sifatida foydalangan holda birinchi bo'lib determinantlar haqidagi umumiy fikrlarni isbotladi Andoza:Math quyidagi: vakolatlarni Andoza:Mvar bilan almashtiring Andoza:Mvar polinom ichida

$a_1{a}_2\cdots a_n\prod _{i<j}(a_j-a_i)$,

bu yerda $\prod$ ko'rsatilgan shartlarning mahsulot ni bildiradi. Shuningdek, u 1829 yilda simmetrik matritsalarning oʻz qiymatilari haqiqiy ekanligini koʻrsatdi. Jacobi "funktsional determinantlar" ni o'rgangan - keyinchalik [[Yakobi] deb nomlangan. matritsa va determinant|Yakobi determinanti Silvestr tomonidan — mahalliy (yoki cheksiz kichik) darajadagi geometrik oʻzgarishlarni tasvirlash uchun ishlatilishi mumkin, yuqoridagi ga qarang. Kronecker Vorlesungen über die Theorie der Determinanten va Weierstrass' Zur Determinantentheorie, ikkalasi ham 1903-yilda nashr etilgan boʻlib, birinchi boʻlib determinantlarga aksiomaatik munosabatda boʻldi, bu esa Koshi formulasi kabi oldingi aniqroq yondashuvlardan farqli oʻlaroq. O'sha paytda determinantlar mustahkam o'rnatildi.

Ko'pgina teoremalar dastlab faqat kichik matritsalar uchun o'rnatildi, masalan, Keyli-Gamilton teoremasi 2×2 matritsalar uchun Keyli tomonidan yuqorida qayd etilgan memuarda, Hamilton tomonidan 4× uchun isbotlangan. 4 ta matritsa. Frobenius bilinear shakllar ustida ish olib, teoremani barcha oʻlchamlarga umumlashtirdi (1898). Shuningdek, 19-asr oxirida Gauss-Iordaniyani bartaraf etish (hozirda Gaussni yoʻq qilish deb nomlanuvchi maxsus holatni umumlashtirish) Vilgelm Jordan tomonidan oʻrnatildi. 20-asr boshlarida matritsalar chiziqli algebrada markaziy oʻrinni egalladi. O'tgan asrdagi giperkompleks sonlar tizimlari.

matritsalar mexanikasining Geyzenberg, Born va Iordaniya tomonidan yaratilishi cheksiz koʻp qator va ustunli matritsalarni oʻrganishga olib keldi Keyinchalik fon Neyman kvant mexanikasining matematik formulasini funksional analitik kabi tushunchalarni yanada rivojlantirish orqali amalga oshirdi. Gilbert fazosi lardagi chiziqli operatorlar, juda qoʻpol qilib aytganda, Yevklid fazosi ga toʻgʻri keladi, lekin cheksiz mustaqil yo'nalishlar bilan.

Matematikada "matritsa" so'zining boshqa tarixiy qo'llanilishi

Bu so'z tarixiy ahamiyatga ega bo'lgan kamida ikkita muallif tomonidan g'ayrioddiy tarzda ishlatilgan.

Bertrand Russell va Alfred North Whitehead Principia Mathematica asarida (1910–1913) o'zlarining qaytariluvchanlik aksiomasi kontekstida "matritsa" so'zidan foydalanadilar. Ular bu aksiomani har qanday funktsiyani ketma-ket pastroq turga qisqartirish vositasi sifatida taklif qildilar, shunda "pastki" (0 tartib)da funktsiya uning [[kengaytma (predikat mantiqi)|kengaytma] bilan bir xil bo'ladi:

Masalan, Andoza:Mvar va Andoza:Mvar ikkita oʻzgaruvchidan iborat Andoza:Math funksiyani to'plamga qisqartirish mumkin. bitta o'zgaruvchining funktsiyalari, masalan, Andoza:Mvar, "individuallar" ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari uchun funktsiyani "ko'rib chiqish" orqali Andoza:Mvar oʻzgaruvchisi oʻrniga Andoza:Mvar almashtirildi. Va keyin bitta o'zgaruvchining Andoza:Mvar funktsiyalari to'plami, ya'ni Andoza:Math, funktsiyani "ko'rib chiqish" orqali qiymatlarning "matritsasi" ga keltirilishi mumkin Andoza:Mvar oʻzgaruvchisi oʻrniga almashtirilgan Andoza:Mvar "individuallar" ning barcha mumkin boʻlgan qiymatlari uchun: $$\mathrm{\forall }{b}_j\mathrm{\forall }{a}_i:\varphi (a_i,b_j).$$

Alfred Tarski oʻzining 1946-yilgi “Mantiqqa kirish” asarida “matritsa” soʻzini matematik mantiqda qoʻllanilgan haqiqat jadvali tushunchasi bilan sinonim sifatida ishlatgan.

Shuningdek qarang

• Nomlangan matritsalar roʻyxati
• Andoza:Izohli havola
• Andoza:Izohli havola
• Andoza:Izohlangan havola
• Irregular matritsa
• Andoza:Izohlangan havola
• Andoza:Izohlangan havola
• Matritsani ko'paytirish algoritmi
• Tensor — Istalgan sonli indekslar bilan matritsalarni umumlashtirish
• Andoza:Izohlangan havola
• Matritsalar toifasi — Matritsalar va ularni koʻpaytirish orqali hosil boʻlgan algebraik tuzilma

Ma'lumotnomalar

• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• {{Iqtibos |birinchi1=Jon B. |oxirgi1=Fraleigh |yil=1976 |isbn=0-201-01984-1 |nomi=Abstrakt algebra boʻyicha birinchi kurs |nashr=2-nashriyotchi=[[Addison-Uesli] ] |joy=Oʻqish}}
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos.
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Lang algebrasi
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• {{Iqtibos |last1=Oualline |first1=Stiv |title=Amaliy C++ dasturlash |nashriyotchi=O'Reilly |isbn=978-0-596-00419-4 |yil=2003} }
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• {{Iqtibos |last1=Šolin |first1=Pavel |title=Qisman differensial tenglamalar va sonli elementlar usuli |nashriyotchi=Wiley-Interscience |isbn=978-0-471-76409-0 |yil=2005} }
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos

Fizika ma'lumotnomalari

• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos

Tarixiy manbalar

• A. Kayli Matritsalar nazariyasi bo'yicha memuar. Fil. Trans. 148 1858 17–37; Matematika. Maqolalar II 475–496
• Andoza:Citation, 1907 yilgi asl nashrning qayta nashri
• Andoza:Iqtibos
• {{Iqtibos |tahrirlovchi1-oxirgi=Dieudonne |muharrir1-birinchi=Jan |muharrir1-havola=Jan Dieudonne |sarlavha=Abrége d'histoire des mathematiques 1700-1900 |nashriyotchi=Hermann,Fermann |joy=9=Paris=8 | }
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos

Qo'shimcha o'qish

• Andoza:SpringerEOM
• Andoza:Iqtibos
• Andoza:Iqtibos

Tashqi havolalar

• MacTutor: Matritsalar va determinantlar
• Matritsalar va chiziqli algebra eng dastlabki foydalanish sahifalarida
• Matritsalar va vektorlar uchun belgilarning eng qadimgi qo'llanilishi