Hannay burchagi

Klassik mexanikada Hannay burchagi aylanma geometrik fazaning (yoki Berry fazasining) mexanik analogidir. U Buyuk Britaniyaning Bristol universitetidan Jon Hannay sharafiga nomlangan. Xannay birinchi marta 1985 yilda burchakni tasvirlab, yaqinda rasmiylashtirilgan Berry bosqichi gʻoyalarini klassik mexanikaga kengaytirdi.

Klassik mexanikada Hannay burchagi

Hannay burchagi harakat-burchak koordinatalari kontekstida aniqlanadi. Dastlab vaqt oʻzgarmaydigan tizimda harakat oʻzgaruvchisi $I_{\alpha }$ doimiy hisoblanadi. Vaqti-vaqti bilan bezovtalanishni kiritgandan soʻng $\lambda (t)$, harakat oʻzgaruvchisi $I_{\alpha }$ adiabatik invariantga aylanadi va Hannay burchagi ${\theta }_{\alpha }^H$ uning mos burchak oʻzgaruvchisi uchun buzilish sodir boʻlgan evolyutsiyani ifodalovchi yoʻl integraliga koʻra hisoblanishi mumkin. $\lambda (t)$ asl qiymatiga qaytadi:

$${\theta }_{\alpha }^H=-\frac{\partial }{\partial I_{\alpha }}\oint 𝒑\cdot \frac{\partial 𝒒}{\partial \lambda }\mathrm{d}\lambda$$bu yerda $𝒑$ va $𝒒$ Gamiltonianning kanonik oʻzgaruvchilari .

Misol

Fuko mayatnik klassik mexanikaning namunasidir, u baʼzan Berri fazasini tasvirlash uchun ham ishlatiladi. Quyida biz harakat burchagi oʻzgaruvchilari yordamida Fuko mayatnikini oʻrganamiz. Oddiylik uchun biz umumiy protokolda qoʻllaniladigan Gamilton-Jakobi tenglamasidan foydalanmaymiz.

Biz chastotali tekislik mayatnikini koʻrib chiqamiz $\omega$ burchak tezligi boʻlgan Yerning aylanishi taʼsirida $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}=({\mathrm{\Omega }}_x,{\mathrm{\Omega }}_y,{\mathrm{\Omega }}_z)$ sifatida belgilangan amplituda bilan $\mathrm{\Omega }=|\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}|$ . Mana, $z$ yoʻnalishi Yerning markazidan mayatnikgacha. Mayatnik uchun Lagrangian:

$$L=\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)-\frac{1}{2}m{\omega }^2(x^2+y^2)+m{\mathrm{\Omega }}_z(x\dot{y}-y\dot{x})$$Tegishli harakat tenglamasi$$\ddot{x}+{\omega }^{2}x=2{\mathrm{\Omega }}_z\dot{y}$$$$\ddot{y}+{\omega }^{2}y=-2{\mathrm{\Omega }}_z\dot{x}$$Keyin yordamchi oʻzgaruvchini kiritamiz $\varpi =x+iy$ bu aslida burchak oʻzgaruvchisi. Endi biz uchun tenglama mavjud $\varpi$ : $$\ddot{\varpi }+{\omega }^2\varpi =-2i{\mathrm{\Omega }}_z\dot{\varpi }$$Uning xarakteristik tenglamasidan$${\lambda }^2+{\omega }^2=-2i{\mathrm{\Omega }}_z\lambda$$biz uning xarakterli ildizini olamiz (biz shuni taʼkidlaymiz $\mathrm{\Omega }\ll \omega$)$$\lambda =-i{\mathrm{\Omega }}_z\pm i\sqrt{{\mathrm{\Omega }}_z^2+{\omega }^2}\approx -i{\mathrm{\Omega }}_z\pm i\omega$$Yechim shundan keyin$$\varpi =e^{-i{\mathrm{\Omega }}_{z}t}(A{e}^{i\omega t}+B{e}^{-i\omega t})$$Yer bir toʻliq aylanishdan keyin, yaʼni $T=2\pi /\mathrm{\Omega }\approx 24h$, biz uchun faza oʻzgarishi bor $\varpi$$$\mathrm{\Delta }\phi =2\pi \frac{\omega }{\mathrm{\Omega }}+2\pi \frac{{\mathrm{\Omega }}_z}{\mathrm{\Omega }}$$Birinchi atama mayatnikning dinamik taʼsiriga bogʻliq boʻlib, dinamik faza deb ataladi, ikkinchisi esa Hannay burchagi boʻlgan geometrik fazani ifodalaydi. $${\theta }^H=2\pi \frac{{\mathrm{\Omega }}_z}{\mathrm{\Omega }}$$

Manbalar

• Hannay John H. 1985 Angle variable holonomy in adiabatic excursion of an integrable Hamiltonian J. Phys. A: Math. Gen. 18 221-30.
• Andoza:Cite book
• Andoza:Cite book
• Andoza:Cite book

Havolalar

• Professor John H. Hannay: Research Highlights. Department of Physics, University of Bristol.