Garmonik elektromagnit toʻlqin

Garmonik elektromagnit toʻlqin — yassi elektromagnit to'lqinning xususiy holi boʻlib, fanda muhim ahamiyat kasb etadi. Maʼlumki, vektor-potensial ifodasi quyidagi koʻrinishga ega:

$\mathbf{\text{𝐀}}=\mathbf{\text{𝐀}}(t-\frac{z}{c});(1)$

Bu ifodadagi vektor-potensialni $t-\frac{z}{c}$ argumentning oddiy davriy funksiyasi, yaʼni garmonik funksiyasi deb hisoblansa, quyidagicha yozish mumkin boʻladi:

$\mathbf{\text{𝐀}}={\mathbf{\text{𝐀}}}_0{e}^{i\omega (t-\frac{z}{c})};(2)$

bu yerda ${\mathbf{\text{𝐀}}}_0$ — oʻzgarmas kompleks vektor boʻlib, toʻlqin tebranishining amplitudasi, $\omega$ — toʻlqin tebranishining siklik chastotasi deyiladi. Toʻlqin tarqalish yoʻnalishi z koordinata oʻqi boʻyicha boʻlmasa, u vaqtda

$z=(\mathbf{\text{𝐫}}\mathbf{\text{𝐧}});(3)$

bu yerda r toʻlqin tekisligi nuqtasining radius-vektoridir, n toʻlqin tarqalish yoʻnalishini aniqlovchi ortdir. Maʼlumki,

$i\omega (t-\frac{z}{c})=i\omega [t-\frac{1}{c}(\mathbf{\text{𝐫𝐧}})]=i[\omega t-\frac{\omega }{c}(\mathbf{\text{𝐫𝐧}})];(4)$

Toʻlqin soni

Quyidagi taʼrif orqali yangi k vektor kiritish mumkin:

$\mathbf{\text{𝐤}}=\frac{\omega }{c}\mathbf{\text{𝐧}};(5)$

U vaqtda $i\omega (t-\frac{z}{c})=i[(\omega t-\mathbf{\text{𝐤𝐫}})]$, demak,

$\mathbf{\text{𝐀}}={\mathbf{\text{𝐀}}}_0{e}^{i[\omega t-(kr)]};(6)$

Maʼlumki, koʻrsatkichli funksiya $e^{i\beta }$ ning qiymati $\beta$ funksiya har $2\pi$ ga oʻzgarishi bilan yana takrorlanadi. Masalan,

$e^{i\omega (t+T)}=e^{i(\omega t+2\pi )}$

demak,

$\omega =\frac{2\pi }{T};(7)$

bu yerda $T$ — toʻlqin tebranishining davri, $\nu =\frac{1}{T}$ toʻlqin tebranishining chastotasi deyiladi. Xuddi shuningdek,

$e^{-i\frac{\omega }{c}[(rn)+\lambda ]}=e^{-i[\frac{\omega }{c}(rn)+2\pi ]}$, demak, $\frac{\omega }{c}\lambda =2\pi$

yoki

$\lambda =\frac{2\pi c}{\omega };(8)$

bu yerda $\lambda$ — toʻlqin uzunligi deyiladi. Shuni nazarda tutib, (5) ga muvofiq yozish mumkin:

$\mathbf{\text{𝐤}}=\frac{2\pi }{\lambda }\mathbf{\text{𝐧}};(9)$

Yuqorida taʼriflangan k vektor toʻlqin vektori deb ataladi. Koʻrinib turibdiki, uning yoʻnalishi toʻlqin tarqalishi yoʻnalishidir, son qiymati esa $k=\frac{2\pi }{\lambda }$, yaʼni $2\pi$ sm uzunlikda joylashgan toʻlqinlar soniga teng. Shuning uchun k kattalik toʻlqin soni deyiladi.

Garmonik elektromagnit toʻlqin kuchlanganliklari

Garmonik elektromagnit toʻlqinlar uchun elektr maydon kuchlanganligi ifodasini quyidagicha yozish mumkin:

$\mathbf{\text{𝐄}}=-\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{\text{𝐀}}}{\partial t}=-\frac{1}{c}\mathbf{\text{𝐀}}i\omega =-i\frac{\omega }{c}{\mathbf{\text{𝐀}}}_0{e}^{i[\omega t-(\mathbf{\text{𝐤𝐫}})]}$

yoki

$\mathbf{\text{𝐄}}={\mathbf{\text{𝐄}}}_0{e}^{i[\omega t-(\mathbf{\text{𝐤𝐫}})]};(10)$

boʻladi. Bu yerda $E_0$ — oʻzgarmas kompleks vektor. Shuningdek,

$\mathbf{\text{𝐇}}={\mathbf{\text{𝐇}}}_0{e}^{i[\omega t-(\mathbf{\text{𝐤𝐫}})]};(11)$

Magnit maydon va elektr maydon har doim bir-biriga simmetrik ekanligini yoddan chiqarmaslik zarur!

Garmonik toʻlqin kuchlanganliklarining oʻzgarishi

Dastlab, (10) formuladagi kvadrat qavs ichida turgan ifodani $\psi$ orqali

$\psi =\omega t-(\mathbf{\text{𝐤𝐫}});(12)$

belgilab, soʻngra ${\mathbf{\text{𝐄}}}_0$ kompleks vektorni ikkita haqiqiy ${\mathbf{\text{𝐚}}}_1$ va kompleks ${\mathbf{\text{𝐚}}}_2$ vektorlar orqali ifodalash lozim: ${\mathbf{\text{𝐄}}}_0={\mathbf{\text{𝐚}}}_1+i{\mathbf{\text{𝐚}}}_2$.

U vaqtda (10) ga muvofiq,

$\mathbf{\text{𝐄}}=({\mathbf{\text{𝐚}}}_1+i{\mathbf{\text{𝐚}}}_2)e^{i\psi }=({\mathbf{\text{𝐚}}}_1+i{\mathbf{\text{𝐚}}}_2)(\cos \psi +i\sin \psi )={\mathbf{\text{𝐚}}}_1\cos \psi -{\mathbf{\text{𝐚}}}_2\sin \psi +i({\mathbf{\text{𝐚}}}_1\sin \psi +{\mathbf{\text{𝐚}}}_2\cos \psi )$

yoki haqiqiy qismini ajratib yozilsa,

$\mathbf{\text{𝐄}}={\mathbf{\text{𝐚}}}_1\cos \psi -{\mathbf{\text{𝐚}}}_2\sin \psi ;(13)$

Ikkita oʻzaro perendikulyar boʻlgan haqiqiy E₁ va E₂ vektorlar berilgan boʻlsin. Yaʼni,

$({\mathbf{\text{𝐄}}}_1{\mathbf{\text{𝐄}}}_2)=0;(14)$

Ularni a₁ va a₂ vektorlar boʻyicha quyidagi koʻrinishda ajratish mumkin:

${\mathbf{\text{𝐄}}}_1={\mathbf{\text{𝐚}}}_1\cos \gamma +{\mathbf{\text{𝐚}}}_2\sin \gamma ;(15)$

${\mathbf{\text{𝐄}}}_2={\mathbf{\text{𝐚}}}_1\sin \gamma -{\mathbf{\text{𝐚}}}_2\cos \gamma ;(16)$

bu yerda $\gamma$ burchak hozircha nomaʼlum.

Soʻnggi formulalardan koʻrinib turibdiki, ${\mathbf{\text{𝐚}}}_1={\mathbf{\text{𝐄}}}_1\cos \gamma +{\mathbf{\text{𝐄}}}_2\sin \gamma ,{\mathbf{\text{𝐚}}}_2={\mathbf{\text{𝐄}}}_1\sin \gamma -{\mathbf{\text{𝐄}}}_2\cos \gamma$. Shularga asosan, (13)-formuladan

$\mathbf{\text{𝐄}}={\mathbf{\text{𝐄}}}_1\cos (\psi +\gamma )+{\mathbf{\text{𝐄}}}_2\sin (\psi +\gamma );(17)$

(14)-formulaga muvofiq esa

$({\mathbf{\text{𝐄}}}_1{\mathbf{\text{𝐄}}}_2)=a_1^2\cos \gamma \sin \gamma -({\mathbf{\text{𝐚}}}_1{\mathbf{\text{𝐚}}}_2){\cos }^2\gamma +({\mathbf{\text{𝐚}}}_1{\mathbf{\text{𝐚}}}_2){\sin }^2\gamma -a_2^2\sin \gamma \cos \gamma =(a_1^2-a_2^2)\sin \gamma \cos \gamma +({\mathbf{\text{𝐚}}}_1{\mathbf{\text{𝐚}}}_2)({\sin }^2\gamma -{\cos }^2\gamma )\Rightarrow$

$\Rightarrow (a_1^2-a_2^2)\frac{\sin 2\gamma }{2}-({\mathbf{\text{𝐚}}}_1{\mathbf{\text{𝐚}}}_2)\cos 2\gamma =0$

bu yerdan

$\text{tg}2\gamma =\frac{2({\mathbf{\text{𝐚}}}_1{\mathbf{\text{𝐚}}}_2)}{a_1^2-a_2^2};(18)$

Toʻlqinning tarqalish yoʻnalishi z koordinata oʻqi yoʻnalishi bilan bir xil edi. Demak, ${\mathbf{\text{𝐄}}}_1$ va ${\mathbf{\text{𝐄}}}_2$ vektorlar XOY tekisligida yotadilar. ${\mathbf{\text{𝐄}}}_1$ vektor yoʻnalishini x koordinata yoʻnalishi desak, ${\mathbf{\text{𝐄}}}_2$ vektor y koordinata oʻqiga yo parallel, yoki antiparallel boʻlishi mumkin. Shunday qilib,

$E_x=E_1\cos (\psi +\gamma );(19)$

$E_y=\pm E_2\sin (\psi +\gamma );(20)$

bu yerda $\psi +\gamma$ — toʻlqinning fazasi, $E_1$ va $E_2$ esa amplitudalari deyiladi.

Kuchlanganlik vektorining maʼlum nuqtada vaqtga qarab yuqoridagi qonun boʻyicha oʻzgarishi toʻlqinning qutblanishi va bunday toʻlqin qutblangan to'lqin deyiladi.

Qutblanish turlari

Yuqoridagi berilgan tenglamalarni bir xil ishorali tebranishlar uchun quyidagicha yozish mumkin:

$E_x=E_1\cos (\psi +\gamma );(21)$

$E_y=E_2\sin (\psi +\gamma )=E_2\cos (\psi +\gamma -\frac{\pi }{2});(22)$

Qarama-qarshi ishorali tebranishlar uchun esa:

$E_x=E_1\cos (\psi +\gamma );(23)$

$E_y=-E_2\sin (\psi +\gamma )=E_2\cos (\psi +\gamma -\frac{3\pi }{2});(24)$

(19)-formulani $E_1$ ga hamda (20)-formulani $E_2$ ga koʻpaytirilsa, undan soʻng tengliklarning chap va oʻng tomonlarini kvadratga koʻtarib, yigʻindisi hisoblansa, $\frac{E_x^2}{E_1^2}+\frac{E_y^2}{E_2^2}=1$ boʻladi. Bu formula esa ellipsni ifodalaydi.

Koʻrinib turibdiki, elektr maydon kuchlanganligi vektorining oxiri fazoning har bir aniq oʻzgarmas nuqtasida toʻlqin tarqalishiga perpendikulyar tekislikdagi ellips boʻylab aylanadi. Bunday toʻlqin elliptik qutblangan to'lqin deyiladi.

Vaqt va fazoda E vektorning oʻzgarishini shunday tasavvur qilish mumkin: E vektorning oxiri toʻlqin tarqalishi yoʻnalishi atrofida oʻralgan spiral boʻylab aylanadi.

E vektor oxirining qaysi tomonga aylanishi (20)-formuladagi musbat yoki manfiy ishoraga bogʻliq. Toʻlqinning tarqalish yoʻnalishiga qarab turuvchiga nisbatan E vektorning oxiri soat strelkasining yurishi boʻyicha aylansa (yuqoridagi musbat ishoraga mos), yaʼni (21) bilan (22) ga binoan, toʻlqin musbat spirallikka ega deyiladi. Agar toʻlqinning tarqalish yoʻnalishiga qarab turuvchiga nisbatan E vektorning oxiri soat strelkasining yurishiga qarama-qarshi aylansa (yuqoridagi manfiy ishoraga mos), yaʼni (23) bilan (24) ga asosan, toʻlqin manfiy spirallikka ega deyiladi.

Agar $E_1=E_2$ boʻlsa, ellips doira shaklini oladi, toʻlqin esa doiraviy qutblanishga ega boʻladi.

Agar $E_1=0$ yoki $E_2=0$ boʻlsa, toʻlqin chiziqli qutblanishga ega boʻladi (rasmga qarang).

Qutblanganlik turlari: doiraviy, elliptik va chiziqli qutblanish

Chiziqli qutblanishga ega yassi elektromagnit toʻlqinning elektr maydon kuchlanganlik vektori, quyidagicha ifodalanadi:

$\mathbf{\text{𝐄}}={\mathbf{\text{𝐄}}}_0{e}^{i[\omega t-(\mathbf{\text{𝐤𝐫}})]};(25)$

va xuddiy shuningdek, bu toʻlqinning magnit maydon kuchlanganligi vektori

$\mathbf{\text{𝐇}}={\mathbf{\text{𝐇}}}_0{e}^{i[\omega t-(\mathbf{\text{𝐤𝐫}})]};(26)$

boʻladi. Bu yerda ${\mathbf{\text{𝐄}}}_0,{\mathbf{\text{𝐇}}}_0$ — oʻzgarmas haqiqiy vektorlar.

Tarixiy anʼanalarga muvofiq, magnit maydon kuchlanganligi vektorining yoʻnalishi qutblanish yoʻnalishi deyiladi. Shuningdek, magnit maydon kuchlanganligi vektori bilan toʻlqinning tarqalish yoʻnalishi yotgan tekislik qutblanish tekisligi deb yuritiladi.

Yana qarang

• Toʻlqin paket
• Kechikuvchi potensiallar
• Dipol nurlanishi

Adabiyotlar

• R.X.Mallin, Klassik elektrodinamika, Oʻqituvchi, T., 1974