G'ovak muhitlar tenglamasi

G'ovak muhitlar tenglamasi yoki nochiziqli issiqlik tenglamasi deb quyidagi nochiziqli xususiy hosilali differensial tenglamaga aytiladi

$$\frac{\partial u}{\partial t}=\mathrm{\Delta }\left(u^m\right),m>1$$bu yerda $\mathrm{\Delta }$ Laplas operatori. Shuningdek, yuqoridagi tenglamani quyidagicha, divergent ko'rinishda ham yozish mumkin$$\frac{\partial u}{\partial t}=\mathrm{\nabla }\cdot [D(u)\mathrm{\nabla }u]$$bu yerda $Du=m{u}^{m-1}$ diffuziya koeffitsienti va $\mathrm{\nabla }\cdot (\cdot )$ divergensiya operatori.

Yechimlar

Tenglama nochiziqli bo'lishiga qaramay o'zgaruvchilarni ajratish yoki avtomodel yechimlar metodlaridan foydalanib, analitik yechimlarni ham topish mumkin. Shuningdek, o'zgaruvchilari ajraladigan yechimlar chekli vaqtda chekizlik yoki "blow up" nomi bilan ma'lum.

Barenblat-Kompanets-Zeldovich avtomodel yechimi

G'ovak muhitlar tenglamasi uchun avtomodel yechimlar metodi Barenblat, Kompanets, Zeldovich va Pattle tomonlaridan yaratilgan. $x\in R^N,u(x,t)$ quyidagicha ko'rinishda qidiriladi$$u(t,x)=\frac{1}{t^{\alpha }}v\left(\frac{x}{t^{\beta }}\right),t>0$$$\alpha$ va $\beta$ larni topib, yechimni quyidagicha ko'rinishda yozish mumkin$$u(t,x)=\frac{1}{t^{\alpha }}{(b-\frac{m-1}{2m}\beta \frac{\Vert x{\Vert }^2}{t^{2\beta }})}_{+}^{\frac{1}{m-1}}$$bu yerda $||\cdot |{|}^2$ - ${\ell }^2$ norma, $(\cdot )=max(\cdot ,0)$ nomanfiy had va $\alpha$, $\beta$ koeffitsientlar $$\alpha =\frac{n}{n(m-1)+2},\beta =\frac{1}{n(m-1)+2}$$

Qo'llanilishi

G'ovak muhitlar tenglamasi gas oqimi, issiqlik tarqalishi, yer osti, sizot suvlari va boshqa ko'plab jarayonlarni tavsiflaydi.

Gaz oqimi

G'ovak muhitlar tenglamasi nomi bir jinsli muhitlarda ideal gas oqimini tavsiflashda qo'llanilishidan kelib chiqqan. Muhit zichligi $\rho$, muhit harakatlanish tezligi $v$, bosim $p$: massa saqlanishi uchun uzlukliksiz tenglamasi; g'ovak muhitlar tenglamasi Darsi qonuni va ideal gaz tenglamasi. Ushbu tenglamalar quyidagicha:$$\begin{array}{ccc}\epsilon \frac{\partial \rho }{\partial t}& =-\mathrm{\nabla }\cdot (\rho 𝐯)& (\text{Massaning saqlanish qonuni})\\ 𝐯& =-\frac{k}{\mu }\mathrm{\nabla }p& (\text{Darsi qonuni})\\ p& =p_0{\rho }^{\gamma }& (\text{Ideal gaz tenglamasi})\end{array}$$bu yerda $\epsilon$ g'ovaklilik, $k$ muhitning o'tkazuvchanligi, $\mu$ dinamik yopishqoqlik va $\gamma$ Opolitropik konstanta. 'zgarmas g'ovaklik, o'tkazuvchanlik va dinamik yopishqoqlikni hisobga olsak, zichlik differensial tenglamasi quyidagicha yozish mumikin:$$\frac{\partial \rho }{\partial t}=c\mathrm{\Delta }\left({\rho }^m\right)$$bu yerda $m=\gamma +1$ va $c=\gamma k{p}_0/(\gamma +1)\epsilon \mu$ .

Issiqlik tarqalishi

Fourierning issiqlik tarqalish qonuniga ko'rsa, issiqlik tarqalishi tenglamasi quyidagicha ko'rinishda bo'ladi:$$\rho c_p\frac{\partial T}{\partial t}=\mathrm{\nabla }\cdot (\kappa \mathrm{\nabla }T)$$bu yerda $\rho$ muhit zichligi, $c_p$ domiy bosim ostidagi issiqlik sig'imi va $\kappa$ issiqlik o'tkazuvchanlik koeffitsientlari. Agar issiqlik tarqalishi energiya qonuniga bog'liq bo'lsa:$$\kappa =\alpha T^n$$U holda issiqlik tarqalishini g'ovak muhitlar tenglamasi ko'rinishida yozish mumkin:$$\frac{\partial T}{\partial t}=\lambda \mathrm{\Delta }\left(T^m\right)$$bu yerda $m=n+1$ va $c=\gamma k{p}_0/(\gamma +1)\epsilon \mu$ .

Shuningdek

• Diffyuziya tenglamasi
• G'ovak muhit