Eynshteyn koeffitsiyentlari

Kvant mexanikasi atomdagi elektron orbitasi haqidagi tassavurni inkor etgani bilan atomning energetik sathi haqidagi klassik tassavurni saqlab qoldi. Kvant mexanikasi ham vodorod va vodorodga oʻxshagan ionlar uchun energetik sathlarning kvantlanishida Bor nazariyasidagidek bir xil natijaga keladi. Lekin, kvant mexanikasi bu masalaga maʼlum aniqliklar kiritdi. Kvant mexanikasidagi noaniqliklar munosabatlari faqat zarra koordinatasi bilan impulsining koordinata oʻqlaridagi proeksiyasini bogʻlab qolmasdan, u zarraning energiyasi bilan uning shu energiyali holatda boʻlish vaqtini ham bir-biriga bogʻlaydi.

Zarraning maʼlum holatda boʻlish vaqtining noaniqligi $\mathrm{\Delta }t$, zarra energiyasining noaniqligi $\mathrm{\Delta }E$ bilan quyidagicha bogʻlangan:

$\mathrm{\Delta }E\cdot \mathrm{\Delta }t\approx \frac{h}{2}$

Bu munosabatni atomdagi elektronga qoʻllaylik. Bizga maʼlumki, atomning statsionar va uygʻongan holatlari mavjud. Tabiiyki, atom asosiy statsionar holatda istagancha uzoq vaqt boʻlishi mumkin. Lekin „qoʻzgʻalgan holda atom qancha vaqt boʻlishi mumkin?“ degan savol tugʻiladi. Atomning qoʻzgʻalgan holatda boʻlish vaqti juda qisqa ($10^{-8}÷10^{-9}$s). Atomning turli energetik sathlariga mos keluvchi har xil qoʻzgʻalgan holatlarda boʻlish vaqti ham bir-biridan farq qiladi.

Uygʻongan (yoki qoʻzgʻalgan) holatdagi atom oʻz-oʻzidan (spontan holda) quyiroq energetik holatga oʻtishi mumkin. Qoʻzgʻalgan holatdagi atomlar soni $e$ marta kamayishi uchun ketgan vaqt, atomning qoʻzgʻalgan holatda yashash vaqti deyiladi. Lekin atomda, shunday metastabil holatlar boʻlishi mumkinki, bu holatda uning yashash vaqti ancha katta, sekundning oʻndan bir ulishlarida boʻlishi mumkin. Kvant mexanikasida atomning oʻrtacha yashash vaqti haqida gapiriladi. Maʼlum bir atomning qoʻzgʻalgan holatda qancha vaqt boʻlishini kvant mexanikasi aytib bera olmaydi. Atomning qoʻzgʻalgan holatdan statsionar holatga oʻtishi tasodifan sodir boʻladi. Demak, atomni qoʻzgʻalgan holatda boʻlish vaqtida $\mathrm{\Delta }t$ noaniqlik diomo boʻladi. Shu vaqtning noaniqligi energiyaning noaniqligi bilan bogʻlangan, yaʼni

$\mathrm{\Delta }E=\frac{h}{\mathrm{\Delta }t}$

Agar atomning qoʻzgʻalgan holatda oʻrtacha yashash vaqti $\mathrm{\Delta }t=10^{-8}s$ ekanini hisobga olsak, energiyaning noaniqligi uchun quyidagi natijani olamiz:

$\mathrm{\Delta }E=\frac{h}{10^{-8}}\approx 10^{-7}\text{eV}$

$\mathrm{\Delta }E$ ning bu qiymati energetik sathlar farqiga nisbatan juda kichik son.

Atomning har bir energetik sathni (chizigʻi) oʻrtacha $\mathrm{\Delta }E=10^{-7}\text{eV}$ oraliqda tasodifiy oʻzgarishi mumkin. Bu energetik sathning enliroq boʻlishga olib keladi. Atomning qoʻzgʻalish energiyasi ortishi bilan uni oʻrtacha yashash vaqti qisqarib boradi. Natijada yuqori energetik sathlarning kengligi $\mathrm{\Delta }E$ ortib boradi. $\mathrm{\Delta }E=10^{-7}\text{eV}$ qiymat energetik sathning tabiiy kengligi hisoblanadi.

Energetik sathni kengayib ketishi atom spektral chizigʻini ham maʼlum miqdorda yoyilishiga olib keladi. Yaʼni:

$\mathrm{\Delta }\nu =\frac{\mathrm{\Delta }E}{h}=10^8\text{Hz}$

Bundan atomdan chiqarilayotgan nurlanishning Bor nazariyasi koʻrsatgandek qatʼiy monoxromatik emasligi kelib chiqadi. Spektral chiziq maʼlum kenglikka ega boʻlib, spektrda maʼlum sohani egallaydi. Olingan $\mathrm{\Delta }\nu$ qiymat spektral chiziqning tabiiy kengligi deb qabul qilingan. Spektroskopiyada $\mathrm{\Delta }\nu =10^8$ Hz qiymat juda kichik hisoblanadi.

Spektral chiziqlar kengayishining boshqa sabablari ham bor. Bunga misol qilib spektral chiziqning doppler kengayishini olish mumkin. Doppler kengayishi nurlanayotgan atomlarning issiqlik tezligi bilan bogʻliqdir. Nurlanayotgan atom spektrometrga yaqinlashayotgan boʻlsa, uni chastotasi (Dopler effektiga koʻra) ortadi, agar u, spektrometrdan uzoqlashayotgan boʻlsa, chastotasi kamayadi. Natijada spektrometr qayd qilayotgan spektral chiziq ikki tomonga kengayadi. Umuman olganda harakatlanayotgan atomning nurlanish chastotasi tinch turgan atomnikidan farq qiladi. Spektral chiziqning Dopler effekti tufayli kengayishi uni biz yuqorida aytib oʻtgan tabiiy kengayishidan ancha katta. Shunday qilib, kvant mexanikasi atomlar monoxromatik boʻlmagan nurlanish spektri hosil qiladi, degan xulosaga keladi.

Valent elektronlar atomlar spektrlarining yuzaga kelishida asosiy ahamiyat kasb etadi. Ikkita energetik holat orasidagi oʻtishlarda muayyan toʻlqin uzunligiga ega boʻlgan spektral chiziq yuzaga keladi. Atom yutgan energiyasini chiqarayotganda hosil boʻladigan bu spektral chiziq atomning asosiy xarakteristikasi boʻlib, u muayyan atomni sifat jihatdan topishga imkon beradi. Har qanday atom muayyan ichki energiyaga ega. U qoʻzgʻatilgan holatda faqat shunga mos boʻlgan energiyani yutishi va, demak, chiqarishi mumkin. Shuning uchun ham atomlarning spektrlari chiziq shaklida boʻladi. Analitik ahamiyatga molik spektral chiziqlarni olish uchun quyidagi tanlash qoidalari bajarilishi kerak:

1. Bosh kvant son istalgan qiymatga oʻzgarishi ($\mathrm{\Delta }n$ — istalgan son) mumkin.
2. Elektron oʻtishlari faqat orbital kvant soni birga teng boʻlgan orbitallar orasida boʻlishi kerak, yaʼni $\mathrm{\Delta }l=\pm 1$. Boshqacha qilib aytganda, $s$ orbitaldan $d$ orbitallarga, $p$ orbitallardan $f$ orbitallarga va hokazo oʻtishlar taʼqiqlangan, $s$ orbitaldan $p$ orbitalga, $p$ orbitallardan $d$ orbitallarga va hokazo oʻtishlarga ruxsat etilgan[1].
3. Bittadan ortiq elektron qoʻzgʻatiladigan oʻtishlar taʼqiqlangan.
4. Elektron bir pogʻonadan boshqasiga oʻtganda uning spini oʻzgarmasligi kerak, yaʼni spin oʻzgarishlari bilan boʻladigan oʻtishlar taʼqiqlangan

Elektron oʻtishlarda bosh kvant son istalgan qiymatga oʻzgarishi mumkinligi uchun istalgan $p$ holatdan elektron $2s$ holatga oʻtishiga ruxsat etiladi. Mazkur oʻtishlar natijasida hosil boʻladigan chiziqlar toʻplamiga bosh toʻplam deyiladi. Uning chastotasi $\omega =2s-mp$ ($m=2,3,4,..$), yaʼni $\omega$ chastota elektronning $mp$ ($m=2,3,4,..$) holatlardan oʻtishi natijasida nurlanadi. Litiy atomining spektrida, shuningdek, birinchi qoʻshimcha yoki kemtik (diffuz) chiziq boʻlib, uning chastotasi $\omega =2p-md$ ($m=3,4,5,..$). Ikkinchi qoʻshimcha (keskin) toʻplam ancha keskin ifodalanib, uning chastotasi $\omega =2p-ms$ ($m=3,4,5,..$).

Boltsman taqsimotiga koʻra koʻp sonli atomlar energiyasi eng kam holatda boʻladi. Litiy atomida nurlanish chiqaradigan elektron $2s$ sathda joylashgan boʻlib, uning eng yaqin qoʻzgʻatilgan holati $2p$ sathga toʻgʻri keladi.

Spontan nurlanishda elektronning uygʻongan holatdan asosiy holatga oʻtishi natijasida oʻz oʻzidan nurlanish roʻy beradi.

Spontan nurlanish energiyasi quyidagi formuladan topiladi:

$h{\nu }_{ik}=E_i-E_k:$

Bu formula $i$-sathdan $k$-sathga oʻtgan elektronning chiqargan elektromagnit nurlanishi energiyasini ifodalaydi.

Agar $E_i$ energetik sathdagi zarralar soni $N_i$ boʻlsa, spontan nurlanish quvvati quyidagiga teng boʻladi:

$I=N_i\cdot A_{ik}\cdot h{\nu }_{ik}$

bu yerda $A_{ik}$ — $i$-sathdan $k$- sathga oʻtish ehtimolligi. Uni Eynshteyn koeffitsiyenti deb ham ataladi.

Nurlanish koeffitsiyenti:

$\epsilon =\frac{h\nu }{4\pi }{n}_2{A}_{21}$

Yutilish koeffitsiyenti:

${\varkappa }^{\prime }=\frac{h\nu }{4\pi }(n_1{B}_{12}-n_2{B}_{21}$

bu yerda $B_{12}$ va $B_{21}$ mos holda yutilish va majburiy nurlanish uchun Eynshteyn koeffitsiyentlari deb ataladi. Bir jinsli muhitda spontan nurlanish ehtimolligi quyidagi formula orqali topiladi:

$\mathrm{\Gamma }=2\pi {\mathrm{\Omega }}_{ef}^2\frac{{\rho }_0(\omega )}{3}=\frac{{\omega }^3}{3\pi \hslash c^3}\frac{|D_{ef}{|}^2}{{\epsilon }_0}$

bu yerda ${\epsilon }_0$ — muhitning dielektrik singdiruvchanligi, $V$ — fazoning nurlanish tarqalayotgan sohasini hajmi, $D_{ef}$ — elektr dipolining matritsa elementi.

Majburiy nurlanish uchun Eynshteyn nazariyasiga koʻra $\omega$ chastotali elektromagnit maydon taʼsirida atom:

1. $E_1$ quyi energetik holatdan $E_2$ yuqori energetik holatga oʻtishi mumkin
2. $E_2$ yuqori energetik holatdan $E_1$ quyi energetik holatga, energiyasi $\hslash \omega =E_2-E_1$ boʻlgan foton chiqargan holda oʻtishi mumkin
3. Tashqi maydon boʻlmagan holdagi kabi, yuqori energetik holatdan quyi energetik holatga oʻz-oʻzidan oʻtishi mumkin.

Yuqorida keltirilgan jarayonlarning birinchisi — yutilish, ikkinchisi — majburiy nurlanish va oxirgisi — spontan nurlanish hodisalariga toʻgʻri keladi.

Nurlanish yutilishi bilan amalga oshadigan oʻtishlar soni quyidagicha aniqlanadi:

$\mathrm{d}{n}_1=B_{12}u\cdot n_1\mathrm{d}t,(1)$

Nurlanish chiqarish bilan amalga oshadigan oʻtishlar soni esa:

$\mathrm{d}{n}_2=(A_{21}+B_{21}u)\cdot n_2\mathrm{d}t,(2)\mathrm{d},(2)$

Shuningdek qarang

Kvant o'tishlar

Atom nurlanish spektri

Geyzenberg noaniqliklari