Dirixle alomati (testi)

Matematikada Dirixlet alomati (testi) qatorlarning yaqinlashuvchiligini tekshirish usuli hisoblanadi. U oʻz muallifi Peter Gustav Lejeune Dirixle sharafiga nomlangan va 1862-yilda Journal de Mathématiques Pures et Appliquées jurnalida muallifning vafotidan keyin nashr etilgan.

Sharti

Agar $\{a_n\}$ haqiqiy sonlar ketma- ketligi va $\{b_n\}$ kompleks sonlar ketma-ketligi

• $\{a_n\}$ monoton o'smovchi (monoton o'smaydigan)
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$
• $\left|\sum _{n=1}^N{b}_n\right|\le M$, barcha musbat butun N uchun

shartlarni qanoatlantirsa, u holda$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$$qator yaqinlashadi, bu yerda M qandaydir konstanta.

Isbot

$S_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k{b}_k$ va $B_n={\sum }_{k=1}^n{b}_k$ bo'lsin.

Qismlar bo'yicha yig'ish natijasida $S_n=a_n{B}_n+{\sum }_{k=1}^{n-1}{B}_k(a_k-a_{k+1})$ ni hosil qilamiz. $B_n$ ning M bilan chegaralanganligi va $a_n\to 0$ bo'lganligi uchun, bu hadlarning birinchisi $n\to \mathrm{\infty }$ da nolga yaqinlashadi, $a_n{B}_n\to 0$.

Har bir k uchun, $|B_k(a_k-a_{k+1})|\le M|a_k-a_{k+1}|$ munosabat o'rinli. Ammo, agar $\{a_n\}$ kamayuvchi bo'lsa,$$\sum _{k=1}^{n}M|a_k-a_{k+1}|=\sum _{k=1}^{n}M(a_k-a_{k+1})=M\sum _{k=1}^n(a_k-a_{k+1}),$$teleskopik yig'indi $M(a_1-a_{n+1})$ ga teng bo'ladi va shuning uchun $n\to \mathrm{\infty }$ da $M{a}_1$ ga yaqinlashadi. Shunday qilib, ${\sum }_{k=1}^{\mathrm{\infty }}M(a_k-a_{k+1})$ yaqinlashuvchi bo'ladi. Shuningdek, agar $\{a_n\}$ o'suvchi bo'lsa,$$\sum _{k=1}^{n}M|a_k-a_{k+1}|=-\sum _{k=1}^{n}M(a_k-a_{k+1})=-M\sum _{k=1}^n(a_k-a_{k+1}),$$teleskopik yig'indi $-M(a_1-a_{n+1})$ ga teng bo'lib, $n\to \mathrm{\infty }$ da $-M{a}_1$ ga yaqinlashadi. Shunday qilib, yana, ${\sum }_{k=1}^{\mathrm{\infty }}M(a_k-a_{k+1})$ yaqinlashuvchi bo'ladi.

Natijada, ${\sum }_{k=1}^{\mathrm{\infty }}|B_k(a_k-a_{k+1})|$ to'g'ridan- to'g'ri taqqoslash alomati natijasida yaqinlashuvchi bo'ladi. ${\sum }_{k=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_k(a_k-a_{k+1})$ qator esa absolyut yaqinlashish alomati natijasida yaqinlashadi. Shuning uchun $S_n$ yaqinlashuvchi bo'ladi.

Ilovalar

Dirixle alomatining xususiy holatlaridan biri bu amalda ko'proq qo'llaniladigan o'zgaruvchan qatorlarning yaqinlashish alomatidir$$b_n=(-1{)}^n⟹\left|\sum _{n=1}^N{b}_n\right|\le 1.$$Yana bir natija shuki, agar $\{a_n\}$ nolga yaqinlashadigan kamayuvchi ketma-ketlik bo'lsa, u holda ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\sin n$ qator yaqinlashuvchi bo'ladi.

Xosmas integrallar

Xosmas integrallarning o'xshash yaqinlashuvchilik sharti bo'laklab integrallash yordamida isbotlangan. Agar f funksiyaning integrali barcha oraliqlarda tekis chegaralangan bo'lsa va g monoton kamayuvchi manfiy bo'lmagan funksiya bo'lsa, fg ning integrali yaqinlashuvchi xosmas integral bo'ladi.

Manbalar

• Hardy, G. H., A Course of Pure Mathematics, Ninth edition, Cambridge University Press, 1946. (pp. 379–380).
• Voxman, William L., Advanced Calculus: An Introduction to Modern Analysis, Marcel Dekker, Inc., New York, 1981. (§8.B.13–15) Andoza:ISBN.

Havolalar

• Isbot PlanetMath.org saytida