Bessel potensiali

Matematikada Bessel potentsiali Riesz potentsialiga oʻxshash potentsialdir (Fridrix Vilgelm Bessel nomi bilan atalgan), lekin cheksizlikda yaxshiroq parchalanish xususiyatlariga ega.

Agar s musbat haqiqiy qismga ega kompleks son boʻlsa, s tartibli Bessel potensiali operatori:

$(I-\mathrm{\Delta }{)}^{-s/2}$

bu yerda Δ – Laplas operatori va kasr quvvati Furye transformlari yordamida aniqlanadi.

Yukava potensiali Bessel potentsiallarining $s=2$ 3 oʻlchovli fazoda xususiy holatlaridir

Furye fazosida koʻrinishi

Bessel potentsiali Furye oʻzgarishlariga koʻpaytirish orqali taʼsir qiladi: har bir $\xi \in {ℝ}^d$uchun:

$ℱ((I-\mathrm{\Delta }{)}^{-s/2}u)(\xi )=\frac{ℱu(\xi )}{(1+4{\pi }^2|\xi {|}^2{)}^{s/2}}.$

Integral koʻrinishlari

$s>0$ boʻlganda, Bessel potensiali ${ℝ}^d$da quyidagicha ifodalanishi mumkin:

$(I-\mathrm{\Delta }{)}^{-s/2}u=G_s\ast u,$

bu yerda Bessel yadrosi $G_s$ $x\in {ℝ}^d\setminus \{0\}$ uchun integral formula boʻyicha ifodalanadi

$G_s(x)=\frac{1}{(4\pi {)}^{s/2}\mathrm{\Gamma }(s/2)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-\frac{\pi |x{|}^2}{y}-\frac{y}{4\pi }}}{y^{1+\frac{d-s}{2}}}\mathrm{d}y.$

Bu yerda $\mathrm{\Gamma }$ Gamma funksiyasini bildiradi. Bessel yadrosi orqali $x\in {ℝ}^d\setminus \{0\}$ ham ifodalanishi mumkin:

$G_s(x)=\frac{e^{-|x|}}{(2\pi {)}^{\frac{d-1}{2}}{2}^{\frac{s}{2}}\mathrm{\Gamma }(\frac{s}{2})\mathrm{\Gamma }(\frac{d-s+1}{2})}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-|x|t}(t+\frac{t^2}{2}{)}^{\frac{d-s-1}{2}}\mathrm{d}t.$

Ushbu oxirgi ifodani oʻzgartirilgan Bessel funksiyasi nuqtai nazaridan qisqaroq yozish mumkin, shu sababli potensial oʻz nomini oladi:

$G_s(x)=\frac{1}{2^{(s-2)/2}(2\pi {)}^{d/2}\mathrm{\Gamma }(\frac{s}{2})}{K}_{(d-s)/2}(|x|)|x{|}^{(s-d)/2}.$

Asimptotiklar

Kelib chiqishida birida $|x|\to 0$,

$G_s(x)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{d-s}{2})}{2^s{\pi }^{s/2}|x{|}^{d-s}}(1+o(1))\text{ if }0<s<d,$

$G_d(x)=\frac{1}{2^{d-1}{\pi }^{d/2}}\ln \frac{1}{|x|}(1+o(1)),$

$G_s(x)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{s-d}{2})}{2^s{\pi }^{s/2}}(1+o(1))\text{ if }s>d.$

Xususan, $0<s<d$ boʻlganda Bessel potensiali Riesz potensiali kabi asimptotik tarzda oʻzini tutadi.

Cheksizlikda, $|x|\to \mathrm{\infty }$,

$G_s(x)=\frac{e^{-|x|}}{2^{\frac{d+s-1}{2}}{\pi }^{\frac{d-1}{2}}\mathrm{\Gamma }(\frac{s}{2})|x{|}^{\frac{d+1-s}{2}}}(1+o(1)).$

Shuningdek qarang:

• Riesz potensiali
• Sobolev fazosi
• Shredinger kasr tenglamasi
• Yukava potensiali

Manbalar

• Andoza:Citation
• Andoza:Citation