Uchburchaklar yechimlari

Uchburchaklar yechimi (Andoza:Lang-la) uchburchakning xarakteristikalarini (tomonlarining burchaklari va uzunliklari) topish trigonometriyaning asoaiy muammosi boʻlib, ulardan baʼzilari nomaʼlum. Uchburchaklar tekislikda yoki sharda joylashgan boʻlishi mumkin. Uchburchak yechimlarini talab qiladigan yoʻnalishlar geodeziya, astronomiya, qurilish va navigatsiyani oʻz ichiga oladi.

Tekislikdagi uchburchaklarini yechish

Uchburchakni standart belgish

Umumiy shakldagi uchburchak oltita asosiy xususiyatga ega (rasmga qarang): uchta yon uzunliklari (yon uzunliklari Andoza:Math) va uchta burchaklari (Andoza:Math). Klassik tekislik trigonometriyasi muammosi oltita xususiyatdan uchtasini belgilash va qolgan uchtasini aniqlashdir. Quyidagilardan biri berilganda uchburchak shu usulda aniqlanishi mumkin:

• Uch tomon (SSS)
• Ikki tomon va kiritilgan burchak (SAS)
• Ikki tomon va ular orasidagi burchak (SSA), agar burchakka yopishgan tomon uzunligi boshqa tomon uzunligidan qisqaroq boʻlsa.
• Yon va unga yopishgan ikki burchak (ASA)
• Bir tomon, unga qarama-qarshi burchak va unga qoʻshni boʻlgan burchak (AAS).

Uchburdagi barcha holatlar uchun kamida bitta tomon uzunligi koʻrsatilishi kerak. Agar faqat burchaklar berilgan boʻlsa ham, tomonlarning uzunliklarini aniqlab boʻlmaydi, chunki har qanday oʻxshash uchburchak yechimli hisoblanadi.

Trigonomik munosabatlar

Tekislikdagi uchburchaklarni yechishda qoʻllanadigan muayyan qadamlar va asboblar haqida umumiy maʼlumot

Muammoni hal qilishning standart usuli — fundamental munosabatlardan foydalanish usulidir.

Kosinuslar qonuni

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$

Sinuslar qonuni

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }$

Burchaklar yigʻindisi

$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$

Tangenslar qonuni

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan [\frac{1}{2}(\alpha -\beta )]}{\tan [\frac{1}{2}(\alpha +\beta )]}.$

Boshqa (baʼzan amaliy jihatdan ha juda foydali) universal munosabatlar mavjud: kotangentlar qonuni va Molveyd formulasi .

Eslatma

Togʻning balandligini qanday oʻlchash mumkin

1. Nomaʼlum burchakni topish uchun kosinuslar qonun va sinuslar qonunidan foydalanish qulayroq. Buning sababi shundaki, uchburchakning burchagi uchun sinusning qiymati bu burchakni yagona qiymatini aniqlamaydi. Misol uchun, agar Andoza:Math boʻlsa, Andoza:Math burchak 30 ° yoki 150 ° ga teng boʻlishi mumkin. Kosinuslar qonunidan foydalanish bu muammoning oldini oladi: 0 ° dan 180 ° gacha boʻlgan oraliqda kosinus qiymati uning burchagini aniq belgilaydi. Boshqa tomondan, agar burchak kichik (yoki 180 ° ga yaqin) boʻlsa, uni kosinusdan koʻra sinusdan aniqlash ishonchliroq boʻladi, chunki yoy-kosinus funktsiyasi 1 (yoki −1) da turlicha hosilaga ega boʻladi.
2. Belgilangan xususiyatlarning nisbiy pozitsiyasi maʼlum deb faraz qilamiz. Agar shunday boʻlmasa, uchburchakning koʻzgudagi aksi ham yechim boʻladi. Misol uchun, uch tomonning uzunligi uchburchakni yoki uning aksini aniq belgilaydi.

Uchta tomon berilgan (SSS)

Uchta tomon berilgan

Uch tomon uzunligi Andoza:Math koʻrsatilsin. Andoza:Math burchaklarni topish uchun kosinuslar qonunidan foydalanish mumkin boʻladi:

$\begin{array}{cc}\alpha & =\arccos \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\ \beta & =\arccos \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}.\end{array}$

Keyingi burchak:Andoza:Math .

Baʼzi manbalar sinuslar qonunidan Andoza:Math burchakni topishni tavsiya qiladi, lekin (yuqoridagi 1-izohda aytilganidek) oʻtkir burchak qiymatini oʻtmas burchak qiymati bilan chalkashtirib yuborish xavfi mavjud.

Maʼlum tomonlardan burchaklarni hisoblashning yana bir usuli kotangenslar qonunini qoʻllashdir usulidir.

Ikki tomon va ular orasidagi burchak (SAS)

Ikki tomon va ular orasidagi burchak

Bu yerda Andoza:Math tomonlarning uzunliklari va bu tomonlar orasidagi Andoza:Math burchak maʼlum. Uchinchi tomonni kosinuslar qonunidan aniqlash mumkin boʻladi:

$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos \gamma }.$

Endi ikkinchi burchakni topish uchun ham kosinuslar qonunidan foydalansak boʻladi:

$\alpha =\arccos \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.$

Nihoyat, Andoza:Math .

Ikki tomon va ular orasida boʻmagan burchak berilgan (SSA)

Ikki tomon va ular orasida boʻmagan burchak berilgan

Uchburchak uchun ikkinchi yechim

Bu ish hamma hollarda ham toʻgʻri boʻlmaydi; Agar burchakka ulashgan tomon uzunligi boshqa tomon uzunligidan qisqaroq boʻlsa, yechim yagona boʻladi. Faraz qilaylik, ikki tomon Andoza:Math va Andoza:Math burchak maʼlum. Andoza:Math burchak uchun tenglama sinuslar qonunidan nazarda tutilishi mumkin:

$\sin \gamma =\frac{c}{b}\sin \beta .$

Keyingi Andoza:Math ni belgilaymiz(Andoza:Mathtenglamaning oʻng tomoni). Toʻrtta holat boʻlishi mumkin:

1. Agar Andoza:Math boʻlsa, bunday uchburchak mavjud boʻlmaydi, chunki Andoza:Math tomoni Andoza:Math chizigʻiga yetib bormaydi. Xuddi shu sababga koʻra, agar burchak Andoza:Math va Andoza:Math boʻlsa ham yechim mavjud boʻlmaydi.
2. Agar Andoza:Math boʻlsa, yagona yechim mavjud: Andoza:Math, yaʼni toʻgʻri burchakli uchburchak boʻladi.
3. Agar Andoza:Math boʻlsa, ikkita variant mumkin.
   1. Agar Andoza:Math boʻlsa, u holda Andoza:Math (katta tomon katta burchak qarshisida boʻladi). Hech bir uchburchakda ikkita oʻtmas burchak boʻlishi mumkin emasligi sababli, Andoza:Math oʻtkir burchak va yechim Andoza:Math yagona yechim hisoblanadi.
   2. Agar Andoza:Math boʻlsa, Andoza:Math burchak oʻtkir boʻlishi mumkin: Andoza:Math yoki oʻtmas: Andoza:Math . Oʻngdagi rasmda birinchi yechim sifatida Andoza:Math nuqta, Andoza:Math tomon va Andoza:Math burchak, ikkinchi yechim sifatida esa Andoza:Math nuqta, Andoza:Math tomon va Andoza:Math burchak koʻrsatilgan, uchinchi burchak Andoza:Math ga teng .

Uchinchi tomonni sinuslar qonunidan topish mumkin boʻladi:

$a=b\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }$

yoki kosinuslar qonunidan ham topsa boʻladi:

$a=c\cos \beta \pm \sqrt{b^2-c^2{\sin }^2\beta }$

Birta tomon va ikkita qoʻshni burchak berilgan (ASA)

Bir tomon va ikkita qoʻshni burchak berilgan

Maʼlum uchburchakning Andoza:Math tomoni va Andoza:Math burchaklari berilgan. Uchinchi burchak esa Andoza:Math teng boʻladi.

Sinuslar qonunidan ikkita nomaʼlum tomonni topish mumkin:

$a=c\frac{\sin \alpha }{\sin \gamma };b=c\frac{\sin \beta }{\sin \gamma }.$

yoki

$a=c\frac{\sin \alpha }{\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha }$

$b=c\frac{\sin \beta }{\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha }$

Bitta tomon, bitta qoʻshni burchak va qarama-qarshi burchak berilgan (AAS)

AAS uchburchagini yechish tartibi ASA uchburchagi bilan bir xil: Birinchidan, uchburchakning burchak yigʻindisi xususiyatidan foydalanib uchinchi burchakni topiladi, soʻngra sinuslar qonunidan foydalanib qolgan ikki tomoni ham topiladi.

Boshqa berilgan uzunliklar

Koʻp hollarda uchburchaklar uchta maʼlumotni hisobga olgan holda echilishi mumkin, ulardan baʼzilari uchburchakning medianalari, balandliklari yoki burchak bissektrisalarining uzunligi bilan hisoblanadi. Posamentier va Lemann 95 ta alohida holatlarning har biri uchun kvadrat ildizlardan yuqori boʻlmagan (yaʼni, konstruktivlik) yordamida yechish qobiliyatiga oid savolning yechimlarini sanab oʻtadilar; Ulardan 63 tasidan uchburchak yasash mumkin.

Sferik uchburchaklarni yechish

Sferik uchburchak

Ikki tomon va kiritilmagan burchak berilgan. Umumiy sferik uchburchakning oltita xususiyatidan uchtasi (3 ta tomon va 3 ta burchak) bilan toʻliq aniqlanadi. Sferik uchburchakning Andoza:Math tomonlari uzunligi ularning markaziy burchaklari boʻlib, chiziqli birliklarga ega emas, balki burchaklari birliklarda oʻlchanadi. (Birlik sharda burchak (radianlarda) va shar atrofidagi uzunlik son jihatdan bir xil boʻladi. Boshqa sohalarda burchak (radianlarda) radiusga boʻlingan shar atrofidagi uzunlikka teng.)

Sferik geometriya planar Evklid geometriyasidan farq qiladi, shuning uchun sferik uchburchaklar yechimi turli qoidalarga asoslanadi. Masalan, Andoza:Math uchta burchakning yigʻindisi uchburchakning kattaligiga bogʻliq boʻladi. Bundan tashqari, oʻxshash uchburchaklar teng boʻlishi mumkin emas, shuning uchun belgilangan uchta burchakli uchburchakni qurish oʻziga xos yechimga ega. Muammoni hal qilish uchun ishlatiladigan asosiy munosabatlar tekislik holatiga oʻxshaydi: qarang: Kosinuslarning sferik qonuni va Sinuslarning sferik qonuni berilgan.

Foydali boʻlishi mumkin boʻlgan munosabatlar orasida yarim tomon formulasi va Napierning oʻxshashligi ham bor:

• $\tan \frac{c}{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}=\tan \frac{a+b}{2}\cos \frac{\alpha +\beta }{2}$
• $\tan \frac{c}{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}=\tan \frac{a-b}{2}\sin \frac{\alpha +\beta }{2}$
• $\cot \frac{\gamma }{2}\cos \frac{a-b}{2}=\tan \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{a+b}{2}$
• $\cot \frac{\gamma }{2}\sin \frac{a-b}{2}=\tan \frac{\alpha -\beta }{2}\sin \frac{a+b}{2}.$

Uch tomon berilgan

Uch tomon berilgan (sferik SSS)

Maʼlum: tomonlar Andoza:Math (burchak birliklarida). Uchburchakning burchaklari kosinuslarning sferik qonuni yordamida hisoblash mumkin:

$\alpha =\arccos \left(\frac{\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}\right),$

$\beta =\arccos \left(\frac{\cos b-\cos c\cos a}{\sin c\sin a}\right),$

$\gamma =\arccos \left(\frac{\cos c-\cos a\cos b}{\sin a\sin b}\right).$

Ikki tomon va burchak berilgan

Ikki tomon va burchak berilgan (sferik SAS)

Bizga maʼlum: Andoza:Math tomonlari va ular orasidagi Andoza:Math burchak. Andoza:Math tomonini kosinuslarning sferik qonunidan topishimiz mumkin:

$c=\arccos (\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma ).$

Andoza:Math burchaklarni yuqoridagi kabi yoki Napier analogiyalari yordamida hisoblash mumkin:

$\alpha =\arctan \frac{2\sin a}{\tan (\frac{\gamma }{2})\sin (b+a)+\cot (\frac{\gamma }{2})\sin (b-a)},$

$\beta =\arctan \frac{2\sin b}{\tan (\frac{\gamma }{2})\sin (a+b)+\cot (\frac{\gamma }{2})\sin (a-b)}.$

Bu muammo yerning kenglik va uzunliklari bilan belgilangan ikki nuqta orasidagi katta doirani topishning navigatsiya muammosini hal qilishda yordam beradi; ushbu ilovada yaxlitlash xatolariga moyil boʻlmagan formulalardan foydalanish muhimdir. Buning uchun quyidagi formulalardan (vektor algebrasi yordamida olinishi ham mumkin) foydalanish mumkin:

$\begin{array}{cc}c& =\arctan \frac{\sqrt{(\sin a\cos b-\cos a\sin b\cos \gamma {)}^2+(\sin b\sin \gamma {)}^2}}{\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma },\\ \alpha & =\arctan \frac{\sin a\sin \gamma }{\sin b\cos a-\cos b\sin a\cos \gamma },\\ \beta & =\arctan \frac{\sin b\sin \gamma }{\sin a\cos b-\cos a\sin b\cos \gamma },\end{array}$

bu iboralardagi sanoq va maxrajlarning belgilaridan arktangensning kvadrantini aniqlash uchun foydalanish mumkin.

Ikki tomon va kiritilmagan burchak berilgan (sferik SSA)

Ikki tomon va kiritilmagan burchak berilgan (sferik SSA)

Bu muammoni hamma hollarda ham hal qilib boʻlmaydi; Agar burchakka yopishgan tomon uzunligi boshqa tomon uzunligidan qisqaroq boʻlsa, yechim yagona boʻladi. Bizga maʼlum: tomonlar Andoza:Math va ular orasidagi boʻlmagan Andoza:Math burchak. Agar quyidagi shart bajarilsa, yechim mavjud boʻladi:

$b>\arcsin (\sin c\sin \beta ).$

Andoza:Math burchakni sinuslarning sferik qonunidan topish mumkin boʻladi:

$\gamma =\arcsin \left(\frac{\sin c\sin \beta }{\sin b}\right).$

uchburchak holatiga kelsak, agar Andoza:Math boʻlsa, u holda ikkita yechim mavjud boʻladi: Andoza:Math va Andoza:Math .

Napier analogiyalaridan foydalanib, biz boshqa xususiyatlarni ham topishimiz mumkin:

$\begin{array}{cc}a& =2\arctan [\tan (\frac{1}{2}(b-c))\frac{\sin (\frac{1}{2}(\beta +\gamma ))}{\sin (\frac{1}{2}(\beta -\gamma ))}],\\ \alpha & =2\mathrm{arccot}[\tan (\frac{1}{2}(\beta -\gamma ))\frac{\sin (\frac{1}{2}(b+c))}{\sin (\frac{1}{2}(b-c))}].\end{array}$

Bitta tomon va ikkita qoʻshni burchaklar berilgan

Bitta tomon va ikkita qoʻshni burchaklar berilgan (sferik ASA)

Maʼlum: Andoza:Math tomoni va burchaklar Andoza:Math . Avval kosinuslarning sferik qonuni yordamida Andoza:Math burchakni topib olamiz:

$\gamma =\arccos (\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta ).$

Kosinuslarning sferik qonunidan ikkita nomaʼlum tomonni topishimiz mumkin (hisoblangan Andoza:Math burchak yordamida) boʻladi:

$a=\arccos \left(\frac{\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }\right),$

$b=\arccos \left(\frac{\cos \beta +\cos \alpha \cos \gamma }{\sin \alpha \sin \gamma }\right),$

yoki Napierning analogiyalaridan foydalangan holda quyidagi tenglik hosil boʻladi:

$\begin{array}{cc}a& =\arctan \left[\frac{2\sin \alpha }{\cot (\frac{c}{2})\sin (\beta +\alpha )+\tan (\frac{c}{2})\sin (\beta -\alpha )}\right],\\ b& =\arctan \left[\frac{2\sin \beta }{\cot (\frac{c}{2})\sin (\alpha +\beta )+\tan (\frac{c}{2})\sin (\alpha -\beta )}\right].\end{array}$

Bir tomon, bitta qoʻshni burchak va qarama-qarshi burchak berilgan

Bir tomon, bitta qoʻshni burchak va qarama-qarshi burchak berilgan (sferik AAS)

Bizga maʼlum: Andoza:Math tomon va burchaklar Andoza:Math . Andoza:Math tomonini sinuslarning sferik qonunidan topish mumkin boʻladi:

$b=\arcsin \left(\frac{\sin a\sin \beta }{\sin \alpha }\right).$

Agar a tomon Andoza:Math burchak oʻtkir va Andoza:Math boʻlsa, boshqa yechim ham mavjud:

$b=\pi -\arcsin \left(\frac{\sin a\sin \beta }{\sin \alpha }\right).$

Napier analogiyalaridan foydalanib, biz boshqa xususiyatlarni ham topishimiz mumkin:

$\begin{array}{cc}c& =2\arctan [\tan (\frac{1}{2}(a-b))\frac{\sin (\frac{1}{2}(\alpha +\beta ))}{\sin (\frac{1}{2}(\alpha -\beta ))}],\\ \gamma & =2\mathrm{arccot}[\tan (\frac{1}{2}(\alpha -\beta ))\frac{\sin (\frac{1}{2}(a+b))}{\sin (\frac{1}{2}(a-b))}].\end{array}$

Berilgan uchta burchak

Berilgan uchta burchak (sferik AAA)

Bizga maʼlum: burchaklar Andoza:Math . Kosinuslarning sferik qonunidan quyidagi xulosaga kelamiz:

$a=\arccos \left(\frac{\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }\right),$

$b=\arccos \left(\frac{\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }\right),$

$c=\arccos \left(\frac{\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }\right).$

Toʻgʻri burchakli sferik uchburchaklarni yechish

Agar uchburchakning burchaklaridan biri (masalan, Andoza:Math burchagi) toʻgʻri burchak boʻlsa, yuqoridagi algoritmlar ancha soddalashadi. Bunday sferik uchburchak uning ikkita elementi bilan toʻliq aniqlanadi va qolgan uchtasini Nepierning Pentagoni yoki quyidagi munosabatlar yordamida hisoblash mumkin boʻladi.

$\sin a=\sin c\cdot \sin A$ (sinuslarning sferik qonunidan)

$\tan a=\sin b\cdot \tan A$

$\cos c=\cos a\cdot \cos b$ (kosinuslarning sferik qonunidan)

$\tan b=\tan c\cdot \cos A$

$\cos A=\cos a\cdot \sin B$ (kosinuslarning sferik qonunidan )

$\cos c=\cot A\cdot \cot B$

Baʼzi ilovalar

Triangulyatsiya orqali masofani oʻlchash

Agar qirgʻoqdan uzoq kemagacha boʻlgan masofani Andoza:Math triangulyatsiya orqali oʻlchamoqchi boʻlsangiz, qirgʻoqda ular orasidagi maʼlum masofa Andoza:Math boʻlgan ikkita nuqtani belgilaymiz (tayanch chiziq). Asosiy chiziq bilan kemaga yo‘nalish orasidagi burchaklar Andoza:Math bo‘lsin.

Yuqoridagi formulalardan (ASA holati, planar geometriyani nazarda tutgan holda) masofani uchburchak balandligi sifatida hisoblash mumkin boʻladi:

$d=\frac{\sin \alpha \sin \beta }{\sin (\alpha +\beta )}\ell =\frac{\tan \alpha \tan \beta }{\tan \alpha +\tan \beta }\ell .$

Sferik holat uchun birinchi navbatda ASA formulasi orqali Andoza:Math nuqtadan kemagacha boʻlgan tomonning uzunligini (yaʼni Andoza:Math ga qarama-qarshi tomon) hisoblash mumkin boʻladi.

$\tan b=\frac{2\sin \beta }{\cot (l/2)\sin (\alpha +\beta )+\tan (l/2)\sin (\alpha -\beta )},$

va buni Andoza:Math burchak va Andoza:Math va Andoza:Math tomonlarini oʻz ichiga olgan toʻgʻri burchakli uchburchak uchun AAS formulasiga kiritamiz:

$\sin d=\sin b\sin \alpha =\frac{\tan b}{\sqrt{1+{\tan }^{2}b}}\sin \alpha .$

(Tezlik formulasi aslida Andoza:Math darajasida sharsimon sferaning Andoza:Mvar ning Teylor kengayishining birinchi hadidir.)

Bu usul kabotajda juda keng qoʻllanadi. Andoza:Math burchaklari kemadan tanish belgilarni kuzatish orqali aniqlanadi.

Togʻning balandligini oʻlchash

Yana bir misol sifatida, togʻning yoki baland binoning Andoza:Math balandligini oʻlchamoqchi boʻlsa, ikkita yer nuqtasidan tepagacha boʻlgan Andoza:Math burchaklari koʻrsatilgan boʻlsin. Bu nuqtalar orasidagi masofa Andoza:Math boʻlsin. Xuddi shu ASA holatlari formulalaridan biz quyidagi natijalarni olamiz:

$h=\frac{\sin \alpha \sin \beta }{\sin (\beta -\alpha )}\ell =\frac{\tan \alpha \tan \beta }{\tan \beta -\tan \alpha }\ell .$

Yer sharidagi ikki nuqta orasidagi masofa

Yer sharidagi ikki nuqta orasidagi masofani hisoblash uchun,

A nuqta: kenglik Andoza:Math, uzunlik Andoza:Math va

B nuqtasi: kenglik Andoza:Math, uzunlik Andoza:Math

Andoza:Math sferik uchburchakni koʻrib chiqamiz Andoza:Math, bu yerda Andoza:Math — Shimoliy qutb. Baʼzi xususiyatlar quyidagilardir:

$a=90^{\mathrm{o}}-{\lambda }_{\mathrm{B}},$

$b=90^{\mathrm{o}}-{\lambda }_{\mathrm{A}},$

$\gamma =L_{\mathrm{A}}-L_{\mathrm{B}}.$

Agar ikki tomon va kiritilgan burchak berilgan boʻlsa, biz quyidagi formulalarni olamiz:

$\mathrm{A}\mathrm{B}=R\arccos [\sin {\lambda }_{\mathrm{A}}\sin {\lambda }_{\mathrm{B}}+\cos {\lambda }_{\mathrm{A}}\cos {\lambda }_{\mathrm{B}}\cos (L_{\mathrm{A}}-L_{\mathrm{B}})].$

Bu yerda Andoza:Math — Yerning radiusi .

Shunga oʻxshash

• Muvofiqlik
• Hansen muammosi
• Menteşe teoremasi
• Lénárt shari
• Snellius-Pothenot muammosi

Tashqi havolalar

• Andoza:Kitob manbasi
• Trigonometrik lazzatlar, Eli Maor tomonidan, Prinston universiteti nashriyoti, 1998 yil. Elektron kitob versiyasi, PDF formatida, toʻliq matn taqdim etilgan.
• Alfred Monro Kenyon va Lui Ingold tomonidan trigonometriya, Makmillan kompaniyasi, 1914 yil. Tasvirlarda toʻliq matn taqdim etilgan. Google kitob.
• Matematik olamida sferik trigonometriya .
• Sferik trigga kirish. Napier doirasi va Napier qoidalarini muhokama qilishni oʻz ichiga oladi
• Sferik trigonometriya — kollej va maktablarda foydalanish uchun I. Todhunter, MA, FRS tarixiy matematika monografiyasi Cornell universiteti kutubxonasi tomonidan chop etilgan.
• Triangulator – uchburchakni hal qiluvchi. Har qanday tekis uchburchak masalasini minimal kirish maʼlumotlari bilan hal qiling. Yechilgan uchburchakni chizish.
• TriSph – Sferik uchburchaklarni echish uchun bepul dastur, turli amaliy ilovalar uchun sozlanishi va gnomonic uchun sozlangan.
• Sferik uchburchak kalkulyatori – Sferik uchburchaklarni hal qiladi.
• TrianCal – Iso S. tomonidan uchburchaklarni hal qiluvchi.