Korteweg-de Friz tenglamasi sahifasining manbasini koʻrish

'''Korteweg-de{{Nbsp}}Friz tenglamasi''' ('''KdF tenglamasi''' ; shuningdek, '''de''' imlo topilgan'''{{Nbsp}}Friza''', '''de{{Nbsp}}Friesa''', '''de{{Nbsp}}Frisa''', '''De{{Nbsp}}Fruse''' ;{{Lang-en|Korteweg–de{{nbsp}}Vries equation}}) — [[Chiziqli funksiya|chiziqli boʻlmagan]] uchinchi [[Differensial tenglama|tartibli]] [[Xususiy hosilali differensial tenglama|qisman differentsial tenglama]] boʻlib, u asosan [[Gidrodinamika|gidrodinamik]] kelib chiqadigan chiziqli boʻlmagan toʻlqinlar nazariyasida muhim rol oʻynaydi. U birinchi marta 1877-yilda Jozef Boussinesq tomonidan olingan<ref>{{Книга|автор=[[Буссинеск, Жозеф Валантен|Boussinesq{{nbsp}}J.]]|zaglavie=Essai sur la theorie des eaux courantes|ssilka=|mesto=|izdatelstvo=|god=1877|stranitsi=360|stranits=680}}</ref>, ammo batafsil tahlil allaqachon Diederik Korteweg va Gustav de tomonidan amalga oshirilgan edi. Va u 1895-yilda yozadi .

Tenglama quyidagicha koʻrinadi:

: <math>\frac{\partial u}{\partial t} + 6u\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^3u}{\partial x^3} = 0</math> .

== Yechimlari ==
Korteweg-de{{Nbsp}}Friez statsionar chiziqli boʻlmagan toʻlqinlar boʻlgan tenglamalar uchun juda koʻp aniq echimlarni topdi. Xususan, bu tenglama quyidagi shakldagi soliton tipidagi yechimlarga ega:

: <math>u \left( x,t \right) = \frac{2\kappa^2}{\cosh^2 \left[ \kappa \left( x-4\kappa^2t-x_0 \right)\right]}</math> ,

qayerda <math>\kappa</math> solitonning balandligi va kengligini, shuningdek uning tezligini aniqlaydigan erkin parametr hisoblanadi; <math>x_0</math> — shuningdek, oʻqning kelib chiqishini tanlashga qarab, ixtiyoriy doimiy {{Math|<var>x</var>}} sondir. Solitonlar uchun alohida ahamiyatga ega boʻlgan narsa shundaki, har qanday boshlangʻich tebranish eksponent ravishda cheksizgacha bolinadi, vaqt oʻtishi bilan fazoda bir-biridan uzoqlashgan cheklangan solitonlar toʻplamiga aylanadi. Ushbu echimlar uchun aniq qidiruv, teskari tarqalish usuli yordamida muntazam ravishda amalga oshirilishi mumkin.

Korteweg-de Friza tenglamasining davriy yechimlari{{Nbsp}} elliptik integrallar bilan tavsiflangan {{Tarjima qilinmagan 5|Кноидальные волны|кноидальных волн||Cnoidal wave}} shakliga ega:

: <math>x-ct-x_0 = \int \left( 2E + cu^2 - 2u^3 \right)^{-\frac{1}{2}}du</math>

Bu yerda ''c'', ''E'' — uning [[amplituda]]si va davrini aniqlaydigan toʻlqin parametrlari hisoblanadi.

Shuningdek, Korteweg-de Friza tenglamasi{{Nbsp}} oʻziga oʻxshash echimlarni tan oladi va ular umumiy holatda Backlund transformatsiyasi yordamida olinishi mumkin va Painlevé tenglamasining yechimlari bilan ifodalanadi .

== Harakatning integrallari va laks tasviri ==
Korteweg-de Friz tenglamasi{{Nbsp}} aniq echiladigan chiziqli boʻlmagan differentsial tenglamaning eng oddiy misollaridan biri sifatida integral tizimlar nazariyasi uchun juda muhimdir. Integrallik tenglamada cheksiz sonli harakat integrallarining mavjudligi bilan taʼminlanadi, quyidagi shaklga ega.

: <math>I_n = \int_{-\infty}^{+\infty} P_{2n-1}(u,\, \partial_x u,\, \partial_x^2 u,\, \ldots)\, \text{d}x\,</math>

qayerda <math>P_n</math> nomaʼlum funktsiyadagi n-darajali [[koʻphad]]lar va uning fazoviy hosilalari boʻlib, rekursiv ravishda quyidagicha beriladi:

: <math>
\begin{align}
 P_1&=u,
 \\
 P_n &= -\frac{dP_{n-1}}{dx} + \sum_{i=1}^{n-2}\, P_i\, P_{n-1-i},
 \quad n \ge 2.
 \end{align}
</math>

Ularni Laks tasviri yordamida olish mumkin

: <math>\frac{dL}{dt}=[P,L]</math>

bir juft operator orqali shunday koʻrinishhda boʻladi

: <math>
\begin{align}
 L &= -\partial_{x}^2+u,
 \\
 P &= -4\partial_{x}^3+6u\partial_{x}+3u_x.
\end{align}
</math>

Bundan tashqari, Korteweg-de Friz tenglamasi{{Nbsp}}ikki Gamilton tuzilishiga ega ekanligini koʻrsatish mumkin.

Harakatning bir nechata birinchi integrallari:

* vazn <math>\int u\, \text{d}x,</math>
* impuls <math>\int u^2\, \text{d}x,</math>
* energiya <math>\int \left[ 2 u^3 - \left( \partial_x u \right)^2 \right] \, \text{d}x.</math>

== Umumlashtirish ==
Agar tarqalish mavjud boʻlsa, Korteveg — de Friz tenglamasi quyidagi shaklga ega boʻlgan Burgers — Korteveg — de Friz tenglamasiga oʻtadi

: <math>\frac{\partial u}{\partial t} + 6u\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^3u}{\partial x^3} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math>

parametr <math>\nu</math> tarqalish miqdorini xarakterlaydi.

Ikki oʻlchovli geometriyada Korteweg-de Friz umumlashtirish{{Nbsp}} bu Kadomtsev-Petviashvili tenglamasi boʻlib, u quyidagi shaklga ega:

: <math>\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial t} + 6u\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^3u}{\partial x^3}\right) = \pm \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}</math>

== Manbalar ==
{{Manbalar}}

== Adabiyotlar ==

* ''Dubrovin B.'' ''A., Krichever, I.'' ''M., Novikov S.'' ''P.'' [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=intf&paperid=37&option_lang=rus Integratsiyalashgan tizimlar.] [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=intf&paperid=37&option_lang=rus I.] — Dinamik tizimlar — 4, Itogi nauki i techniki. — M. : VINITI, 1985. — T. 4. — S. 179-284. — (zamonaviy. prob. matematika. asosiy yoʻnalishlar).
* {{Книга|автор=Захаров{{nbsp}}V.{{nbsp}}Ye., Manakov{{nbsp}}S.{{nbsp}}V., Novikov{{nbsp}}S.{{nbsp}}P., Pitaevskiy{{nbsp}}L.{{nbsp}}P.|zaglavie=Teoriya solitonov: metod obratnoy zadachi|god=1980|stranits=319}}
* Kortevega — de Fries tenglamasi -
* {{Книга|автор=Дж.{{nbsp}}Uizem|chast=13.11. Uravnenie Kortevega — de{{nbsp}}Friza i Bussineska|zaglavie=Lineynie i nelineynie volni|ssilka=https://books.google.ru/books?id=F54-PgAACAAJ|izdatelstvo=Mir|god=1977|stranitsi=443—448|stranits=622}}
* {{Книга|автор=Ньюэлл{{nbsp}}A.|zaglavie=Solitoni v matematike i fizike|god=1989|stranits=326}}

 {{Turkumsiz|date=Aprel 2024}}