Haqiqiy va kompleks sonlar massivini hisoblash sahifasining manbasini koʻrish

{{Qisqa tavsif|Raqamlar massivi}}
{{hatnota guruhi|
{{Qayta yo'naltirish|Matrisa nazariyasi|fizika mavzusi|Matrisa nazariyasi (fizika)}}
{{|Matrixning boshqa foydalanishlari}}
}}
{{Yaxshi maqola}}
[[File:MatrixLabelled.svg|alt=Har biri n-koʻp “a” harfli oʻzgaruvchilarni oʻz ichiga olgan m-koʻp qatorli ikkita uzun kvadrat qavs. Har bir 'a' harfiga uning pastki belgisi sifatida qator va ustun raqami beriladi.|thumb|An {{math|''m'' &times; ''n''}} matritsa: {{math|''m''}} satrlari gorizontal va {{math|''n''}} ustunlari vertikal. Matritsaning har bir elementi ko'pincha ikkita [[indeks belgisi|pastki yozuv]] bilan o'zgaruvchi bilan belgilanadi. Masalan, {{math|'' a''{{sub|2,1}}}} matritsaning ikkinchi qatori va birinchi ustunidagi elementni ifodalaydi.]]

[[matematika]]da '''matritsa''' ({{ko'plik shakl}}: '''matritsalar''') [[to'rtburchak|to'rtburchaklar]] massiv yoki [[son]]lar jadvalidir. , [[belgi (rasmiy)|belgi]]lar yoki [[ifoda (matematika)|ifoda]]lar, elementlar yoki yozuvlar qatorida tartiblangan qatorlar va ustunlar, ular [[matematik ob'ekt|matematik obyekt]] yoki bunday obyektning xususiyatini ifodalash uchun ishlatiladi.

Masalan,
<math display="block">\begin{bmatrix}1 & 9 & -13 \\20 & 5 & -6 \end{bmatrix}</math>
ikki qator va uchta ustunli matritsadir. Bu ko'pincha "ikki-uch matritsa", "<math>2\times 3</math> matritsasi" yoki <math>2\times 3</math> o'lchovli matritsa deb ataladi.

Matritsalar odatda [[chiziqli algebra]] bilan bog'liq. E'tiborga molik istisnolar [[grafik nazariyasi]]da [[qo'shnilik matritsasi|insidlanish matritsalari]] va [[qo'shnilik matritsasi|qo'shnilik matritsalari]]ni o'z ichiga oladi.<ref>Biroq, qo'shni matritsalarda [[matritsani ko'paytirish]] yoki uning varianti bir vaqtning o'zida istalgan ikkita cho'qqi orasidagi yo'llar sonini va eng qisqa uzunligini hisoblash imkonini beradi. ikki cho'qqi orasidagi yo'l.</ref> Ushbu maqola chiziqli algebra bilan bog'liq matritsalarga qaratilgan va agar boshqacha ko'rsatilmagan bo'lsa, barcha matritsalar [[chiziqli xarita]]larni ifodalaydi yoki shunday ko'rinishi mumkin.

''[[Kvadrat matritsalar]]'', qator va ustunlar soni bir xil bo'lgan matritsalar matritsalar nazariyasida katta rol o'ynaydi. Berilgan o'lchamdagi kvadrat matritsalar [[kommutativ bo'lmagan halqa]] ni tashkil qiladi, bu esa o'zgarmas halqaning eng keng tarqalgan misollaridan biridir. Kvadrat matritsaning [[determinanti]] matritsa bilan bog'langan son bo'lib, u kvadrat matritsani o'rganish uchun asosiy hisoblanadi; masalan, kvadrat matritsa [[invertible matritsa|invertible]] bo‘ladi, agar u nolga teng bo‘lmagan aniqlovchiga ega bo‘lsa va kvadrat matritsaning [[o‘z qiymati]]lari [[ko‘pnomli]] determinantning ildizlari bo‘lsa.

[[geometriya]]da matritsalar [[geometrik oʻzgartirish]]larni (masalan, [[aylanish (matematika)|aylanish]]lar) va [[koordinata oʻzgarishi]]larni belgilash va ifodalash uchun keng qoʻllaniladi. [[sonli tahlil]]da koʻpgina hisoblash masalalari ularni matritsali hisoblashga qisqartirish yoʻli bilan hal qilinadi va bu koʻpincha katta oʻlchamdagi matritsalar bilan hisoblashni oʻz ichiga oladi. Matritsalar to'g'ridan-to'g'ri yoki geometriya va raqamli tahlilda foydalanish orqali matematika va ilmiy sohalarning aksariyat sohalarida qo'llaniladi.

''' Matritsalar nazariyasi ''' - [[matematikaning bo'limi]] matritsalarni o'rganishga qaratilgan. U dastlab [[chiziqli algebra]]ning kichik tarmogʻi boʻlgan, lekin tez orada [[grafik nazariya]], [[algebra]], [[kombinatorika]] va [[statistika]] bilan bogʻliq fanlarni oʻz ichiga olgan.

==Ta'rifi==
''matritsa'' [[son]]lardan (yoki boshqa matematik obyektlardan) iborat to'rtburchaklar massiv bo'lib, matritsaning '' yozuvlari'' deb ataladi. Matritsalar standart [[operatsiya (matematika)|operatsiyalar]]ga bo'ysunadi, masalan, [[#Basic amallar|qo'shish]] va [[#Matrisani ko'paytirish|ko'paytirish]].<ref>{{Garvard iqtiboslari |muallif=Lang |yil =2002 |nb=yes}}</ref> Odatda, [[maydon ustidagi matritsa (matematika)|maydon]] ''F'' - ''F'' ning [[element (matematika)|elementlari]] to'rtburchaklar massivi.<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=209}} </ref><ref>{{harvtxt|Nering|1970|p=37}}</ref> '''haqiqiy matritsa''' va '''kompleks matritsa''' yozuvlari mos ravishda [[haqiqiy son]] yoki [[kompleks son]] bo'lgan matritsalardir. Yozuvlarning umumiy turlari [[#Umumiy yozuvlar bilan|quyida]] muhokama qilinadi. Masalan, bu haqiqiy matritsa:
:<math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
-1,3 va 0,6 \\
20,4 va 5,5 \\
9,7 va -6,2
\end{bmatrix}.</math>

Matritsadagi raqamlar, belgilar yoki iboralar uning “yozuvlari” yoki “elementlari” deb ataladi. Matritsadagi yozuvlarning gorizontal va vertikal chiziqlari mos ravishda “satrlar” va “ustunlar” deb ataladi.

===Hajmi===
Matritsaning o'lchami uning tarkibidagi qatorlar va ustunlar soni bilan belgilanadi. Matritsa (odatiy ma'noda) musbat butun sonlar bo'lsa, bo'lishi mumkin bo'lgan satrlar va ustunlar soniga hech qanday cheklov yo'q . <math>{m}</math> qatorlari va <math>{n}</math> ustunlari boʻlgan matritsa <math>{m \times n}</math> matritsasi yoki <math>{m deb ataladi. }</math>-by-<math>{n}</math> matritsasi, bu yerda <math>{m}</math> va <math>{n}</math> uning deyiladi. '' o'lchamlar''. Masalan, yuqoridagi <math>{\mathbf{A}}</math> matritsasi <math>{3\times2}</math> matritsasidir.

Bitta qatorli matritsalar ''[[satr vektori]]s'', bitta ustunlilari esa ''[[ustun vektorlari]]'' deyiladi. Satrlar va ustunlar soni bir xil bo'lgan matritsa ''[[kvadrat matritsa]]'' deyiladi.<ref name=":4">{{Cite web|last=Weisstein|first=Erik W.|title=Matrix|url=https://mathworld.wolfram.com/Matrix.html|access-date=2020-08-19|website=mathworld.wolfram.com|til=en}}</ref> Cheksiz qatorlar yoki ustunlar (yoki ikkalasi) bo'lgan matritsa [[#Infinite matritsalar|'' cheksiz deb ataladi. matritsa '']]. Ba'zi kontekstlarda, masalan, [[Kompyuter algebra tizimi|kompyuter algebrasi dasturlari]], [[#Empty matrix|'' empty matritsa'']] deb ataladigan qatorlar yoki ustunlarsiz matritsani ko'rib chiqish foydali bo'ladi.

{| class = "wiki jadvali"
|+Matrisa o‘lchamining umumiy ko‘rinishi
|-
!scope="col"| Ism
!scope="col"| Hajmi
!scope="col"| Misol
!scope="col"| Tavsif
!scope="col"| Belgilash
|-
!scope="satr"| [[Qator vektor]]
| 1{{nbsp}}×{{nbsp}}''n'' || style="text-align:center;" | <math>\begin{bmatrix}3, 7 va 2 \end{bmatrix}</math>
| Bir qatorli matritsa, ba'zan vektorni ifodalash uchun ishlatiladi
| style="text-align:center;" | <math display="text-align:center;">{a_i}</math>
|-
!scope="col"| [[Ustun vektor]]
| ''n''{{nbsp}}×{{nbsp}}1 || style="text-align:center;" | <math>\begin{bmatrix}4 \\ 1 \\ 8 \end{bmatrix}</math>
| Bir ustunli matritsa, ba'zan vektorni ifodalash uchun ishlatiladi
| style="text-align:center;" | <math display="text-align:center;">{a_j}</math>
|-
!scope="col"| [[Kvadrat matritsa]]
| ''n''{{nbsp}}×{{nbsp}}''n'' || style="text-align:center;" | <math>\begin{bmatrix}
9, 13 va 5 \\
1, 11 va 7 \\
2, 6 va 3
\end{bmatrix}</math>
| Bir xil qator va ustunlar soniga ega matritsa, baʼzan vektor fazodan oʻziga [[#Chiziqli transformatsiyalar|chiziqli oʻzgarishlarni]] ifodalash uchun ishlatiladi, masalan, [[aks ettirish (matematika)|aks ettirish]], [[aylanish ( matematika)|aylanish]] yoki [[qirqish xaritasi|qirqish]].
| style="text-align:center;" | <math display="text-align:center;">{\mathbf{A}}</math>
|}

==Izoh==
Ramziy matritsa belgilarining o'ziga xos xususiyatlari ba'zi bir ustunlik tendentsiyalari bilan juda xilma-xildir. Matritsalar odatda [[kvadrat qavs]]lar yoki [[qavslar]] ichida yoziladi, shuning uchun <math>m \times n</math> matritsasi <math>\mathbf{A}</math> quyidagicha ifodalanadi.
<math display="block">\mathbf{A} =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix} =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}.
</math>
Buni faqat bitta umumiy atamani, ehtimol indekslar bilan birga yozish orqali qisqartirish mumkin.
<math display="blok">
\mathbf{A} = \left(a_{ij}\o'ng), \quad \left[ a_{ij}\right], \quad \text{yoki} \quad \left(a_{ij}\right)_ {1\leq i\leq m, \; 1\leq j\leq n}
</math>
yoki <math>n=m</math> bo‘lgan holatda <math>\mathbf{A}=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}</math>.

Matritsalar odatda [[katta]] harflar yordamida (masalan, yuqoridagi misollarda <math>{\mathbf{A}}</math>), mos keladigan [[kichik-kichik]] harflar ikkitadan iborat. pastki indeks indekslari (masalan, <math>{a_{11}}</math> yoki <math>{a_{1,1}}</math>), yozuvlarni ifodalaydi. Matritsalarni ramziy qilish uchun katta harflardan foydalanish bilan bir qatorda, koʻpgina mualliflar matritsalarni boshqa matematik obʼyektlardan ajratib koʻrsatish uchun maxsus [[emphasis (tipografiya)|tipografik uslub]], odatda qalin rim (kursiv boʻlmagan) dan foydalanadilar. Muqobil yozuv, <math>\underline{\underline{A}}</math> da boʻlgani kabi, oʻzgaruvchi nomi bilan, qalin harflar bilan yoki boʻlmasdan, qoʻsh chiziqdan foydalanishni oʻz ichiga oladi.

{{matematika|'''A'''}} matritsaning {{math|''i''}}-chi qator va {{math|''j''}}-chi ustunidagi yozuv ba'zan matritsaning <math>{i,j}</math> yoki <math>{(i,j)}</math> yozuvi deb ataladi va odatda quyidagicha belgilanadi. <math>{a_{i,j}}</math> yoki <math>{a_{ij}}</math>. Ushbu yozuv uchun muqobil belgilar <math>{\mathbf{A}[i,j]}</math> va <math>{\mathbf{A}_{i,j}}</math> hisoblanadi. Masalan, quyidagi <math>\mathbf{A}</math> matritsasining <math>(1,3)</math> yozuvi {{math|5}} (shuningdek, <math>{a_{ deb ham belgilanadi) 1 3}}</math>, <math>{a_{1,3}}</math>, <math>\mathbf{A}[1,3]</math> yoki <math>{{\mathbf{A}}_{1,3}}</math>):
:<math>\mathbf{A}=\begin{bmatrix}
4 & -7 & \ rang {qizil {5} & 0 \\
-2, 0, 11, 8 \\
19 va 1 va -3 va 12
\end{bmatrix}</math>

Ba'zan matritsaning yozuvlari <math>a_{i,j}=f(i,j)</math> kabi formulalar bilan aniqlanishi mumkin. Masalan, quyidagi <math>\mathbf{A}</math> matritsasining har bir yozuvi <math>a_{ij}=ij</math> formulasi bilan aniqlanadi.
:<math>\mathbf A = \begin{bmatrix}
0 & -1 & -2 & -3\\
1 & 0 & -1 & -2\\
2 & 1 & 0 & -1
\end{bmatrix}</math>
Bunday holda, matritsaning o'zi ba'zan kvadrat qavslar yoki qo'sh qavslar ichida ushbu formula bilan aniqlanadi. Masalan, yuqoridagi matritsa <math>{\mathbf{A}}=[ij]</math> yoki <math>{\mathbf{A}}=((ij))</math> sifatida aniqlanadi. Agar matritsa hajmi <math>m\times n</math> boʻlsa, yuqorida qayd etilgan <math>f(i,j)</math> formulasi har qanday <math>i=1,\dots,m< uchun amal qiladi. /math> va har qanday <math>j=1,\dots,n</math>. Bu alohida belgilanishi yoki pastki belgisi sifatida <math>m\times n</math> yordamida koʻrsatilishi mumkin. Masalan, yuqoridagi <math>\mathbf{A}</math> matritsasi <math>3\times4</math> ga teng va uni <math>{\mathbf{A}}=[ij] ( i=1,2,3; j=1,\dots,4)</math> yoki <math>{\mathbf{A}}=[ij]_{3\times4}</math>.

Ba'zi dasturlash tillari {{math|''m''}}-by-{{math|''n''}} matritsasini ifodalash uchun ikki barobar obunali massivlardan (yoki massivlar massivlaridan) foydalanadi. Ba'zi dasturlash tillari massiv indekslarini raqamlashni noldan boshlaydi, bu holda {{math|''m''}}-by-{{math|''n''}} matritsaning yozuvlari <math tomonidan indekslanadi. >0\leq i \leq m-1</math> va <math>0\leq j \leq n-1</math>.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Oualline |yil=2003 |loc=Ch. 5 |nb=yes}}</ref> Ushbu maqolada sanab o'tish {{math|1}} dan boshlanadigan matematik yozishda keng tarqalgan qoidaga amal qilinadi.

Barcha {{math|''m''}}-by-{{math|''n''}} haqiqiy matritsalarning [[to'plam (matematika)|to'plami]] ko'pincha <math>\mathcal{M bilan belgilanadi. }(m, n),</math> yoki <math>\mathcal{M}_{m \times n}(\R).</math> Hammasi toʻplami {{matematik|''m''}}-by-{{matematik|''n''}} matritsalar boshqa [[maydon (matematika)|maydon]] yoki [[halqa (matematika)|halqasi ustidan ]] {{math|R}}, xuddi shunday belgilanadi: <math>\mathcal{M}(m, n, R),</math> yoki <math>\mathcal{M}_{m \times n}(R).</math> Agar {{math|''m''{{nbsp}}{{=}}{{nbsp}}''n''}} bo'lsa, masalan [ [kvadrat matritsalar]] oʻlchami takrorlanmaydi: <math>\mathcal{M}(n, R),</math> yoki {{nowrap|<math>\mathcal{M}_n(R).</math><ref name="Pop-Furdui">{{cite book|last1=Pop|so'nggi2=Furdui|yil=2017|sarlavha= 2-tartibning kvadrat matritsalari|nashriyotchi=Springer International Publishing|isbn=978-3-319-54938-5}}</ref>}} Ko'pincha o'z o'rnida <math>M</math> yoki <math>\operatorname{Mat}</math> ishlatiladi. <math>\mathcal M.</math>

==Asosiy operatsiyalar==
Matritsalarga bir nechta asosiy amallarni qo'llash mumkin. Ba'zilari, masalan, ''transpozitsiya'' va ''submatritsa'' yozuvlarning tabiatiga bog'liq emas. Boshqalar, masalan, ''matritsalarni qo'shish'', ''skalyar ko'paytirish'', ''matritsalarni ko'paytirish'' va ''satr operatsiyalari'' matritsa yozuvlari bo'yicha operatsiyalarni o'z ichiga oladi va shuning uchun matritsa yozuvlari raqamlar bo'lishini yoki [ga tegishli bo'lishini talab qiladi. [maydon (matematika)|maydon]] yoki [[ring (matematika)|ring]].<ref>{{Garvard iqtiboslar |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Ta'rif I.2.1 (qo'shish), I.2.4 ta'rif (skalar ko'paytirish) va I.2.33 ta'rifi (ko'chirish)}}</ref>

Ushbu bo'limda matritsa yozuvlari odatda raqamlar maydoni bo'lgan sobit halqaga tegishli deb taxmin qilinadi.

===Qo'shish, skalyar ko'paytirish, ayirish va transpozitsiya===

;[[Matritsa qo'shilishi|Qo'shimcha]]
Ikkita {{matematik|''m''×''n''}} matritsaning ''yig'indisi'' {{matematik|'''A''' + '''B'''}} {{matematika |'''A'''}} va {{matematika|'''B'''}} kiritma bo'yicha hisoblanadi:
<math displey=blok>
(\bold A + \bold B)_{i, j} = \bold A_{i,j} + \bold B_{i,j}, \quad 1 \leq i \leq m, \quad 1 \leq j \leq n.</math>
Masalan,
:<matematika>
\begin{bmatrix}
1, 3 va 1 \\
1 va 0 va 0
\end{bmatritsa}
+
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 5 \\
7, 5 va 0
\end{bmatritsa}
=
\begin{bmatrix}
1+0 va 3+0 va 1+5 \\
1+7 va 0+5 va 0+0
\end{bmatritsa}
=
\begin{bmatrix}
1, 3 va 6 \\
8, 5 va 0
\end{bmatritsa}
</math>
;[[Skalyar ko'paytirish]]
{{mvar|c}} sonining {{matematik|''c''''A'''}} ko'paytmasi (shuningdek, bu kontekstda [[skalyar (matematika)|skalar]] deb ham ataladi) va {{matematik|'''A'''}} matritsasi {{matematik|'''A'''}} ning har bir yozuvini {{mvar|c}} ga ko'paytirish yo'li bilan hisoblanadi:
<math display=block>(c\bold A)_{i,j} = c \cdot \bold A_{i,j}</math>
Bu amal ''skalyar ko'paytirish'' deb ataladi, lekin uning natijasi chalkashmaslik uchun "skalar ko'paytma" deb nomlanmagan, chunki "skalar ko'paytma" ko'pincha "[[ichki mahsulot]]" ning sinonimi sifatida ishlatiladi. Masalan:
:<math>2\cdot \begin{bmatrix}
1 & 8 & -3 \\
4 va -2 va 5
\end{bmatritsa}
=
\begin{bmatrix}
2 \cdot 1 va 2\cdot 8 va 2\cdot -3 \\
2\cdot 4 va 2\cdot -2 va 2\cdot 5
\end{bmatritsa}
=
\begin{bmatrix}
2 & 16 & -6 \\
8 va -4 va 10
\end{bmatritsa}
</math>
;[[Matritsani ayirish|ayirish]]
Ikkita {{math|''m''×''n''}} matritsalarni ayirish matritsani skaler ko'paytirish bilan {{math|–1}} ga qo'shish orqali aniqlanadi:
:<math>\mathbf A - \mathbf B = \mathbf A +(-1)\cdot \mathbf B</math>
;[[Transpose|Transpozitsiya]]
{{matematik|''m''×''n''}} matritsaning ''ko'chirilishi'' {{matematik|'''A'''}} {{matematik|''n'' ×''m''}} matritsa {{matematika|'''A'''{{sup|T}}}} (shuningdek belgilanadi) {{matematik|'''A'''{{sup|tr}}}} yoki {{matematik|{{sup|t}}'''A'''}}) satrlarni ustunlar va o'rinbosarlarga aylantirish orqali hosil qilingan aksincha:
<math display=block>\left( \bold A^{\rm T} \right)_{i,j} = \bold A_{j,i}.</math>
Masalan:
:<matematika>
\begin{bmatrix}
1, 2 va 3 \\
0 & -6 va 7
\end{bmatrix}^\mathrm{T} =
\begin{bmatrix}
1 va 0 \\
2 va -6 \\
3 va 7
\end{bmatritsa}
</math>

Sonlarning tanish xossalari matritsalar ustidagi bu amallarga taalluqli: masalan, qo‘shish [[kommutativ]], ya’ni matritsa yig‘indisi yig‘indilarning tartibiga bog‘liq emas: {{math|1='''A'' ' + '''B''' = '''B''' + '''A'''}}.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Brown |yil=1991 |nb=ha |loc=Teorema I.2.6}}
</ref>
Transpoze qoʻshish va skaler koʻpaytirish bilan mos keladi, bu bilan ifodalangan {{math|1=(''c'''''A'''){{sup|T}} = ''c''(''' A'''{{sup|T}})}} va {{matematik|1=('''A''' + '''B'''){{sup|T}} = '''A'''{{sup|T}} + '''B'''{{sup|T}}}}. Nihoyat, {{math|1=('''A'''{{sup|T}}){{sup|T}} = '''A'''}}.
<!--Matritsalarni qo'shishning yana bir kam qo'llaniladigan tushunchasi [[to'g'ridan-to'g'ri yig'indi (matritsa)|to'g'ridan-to'g'ri yig'indi]]dir.-->

===Matritsani ko'paytirish===
{{Asosiy|Matritsani koʻpaytirish}}
[[File:MatrixMultiplication.png|thumb|300px|Ikkita matritsaning {{matematik|'''AB'''}} matritsa mahsulotining sxematik tasviri {{matematik|'''A'''}} va {{ matematik|'''B'''}}]]
Ikki matritsaning ''ko'paytirilishi'', agar chap matritsaning ustunlari soni o'ng matritsaning satrlari soni bilan bir xil bo'lsagina aniqlanadi. Agar {{matematik|'''A'''}} {{matematik|''m''×''n''}} matritsa va {{matematik|'''B'''}} bo'lsa {{matematik|''n''×''p''}} matritsa, keyin ularning ''matritsa mahsuloti'' {{matematik|'''AB'''}} {{matematik|''m''×''p''}} matritsa, uning yozuvlari tegishli {{matematik|'''A'''}} qatorining [[nuqta ko'paytmasi]] va mos keladigan {{matematika|'''B'''}} ustuni:<ref name=":5">{{Cite web|title=Qanday ko'paytiriladi Matritsalar|url=https://mathsisfun.com/algebra/matrix-multiplying.html|access-date=2020-08-19|website=www.mathsisfun.com}}</ref>
:<span id="matrix_product"><math>[\mathbf{AB}]_{i,j} = a_{i,1}b_{1,j} + a_{i,2}b_{2,j } + \cdots + a_{i,n}b_{n,j} = \sum_{r=1}^n a_{i,r}b_{r,j},</math></span>

bu yerda {{matematik|1 ≤ ''i'' ≤ ''m''}} va {{math|1 ≤ ''j'' ≤ ''p''}}.<ref>{{Garvard iqtiboslari |oxirgi1 =Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Tarif I.2.20}}</ref> Masalan, mahsulotdagi tagiga chizilgan 2340 yozuvi {{matematika|(2 × 1000) + (3 × 100) + (4 × 10) {{=}} 2340:}} sifatida hisoblanadi.
:<matematika>
\begin{align}
\begin{bmatrix}
\pastiga chizing{2} & \pastiga 3-chizing va \tastiga chizing 4\\
1 & 0 & 0 \\
\end{bmatritsa}

\begin{bmatrix}
0 va \ ostiga{1000} \\
1 va \pastini chizish{100} \\
0 va \ostiga chizilgan{10} \\
\end{bmatritsa}
&=
\begin{bmatrix}
3 va \tagini chizish{2340} \\
0 va 1000 \\
\end{bmatritsa}.
\end{tekislash}
</math>

Matritsani koʻpaytirish qoidalariga javob beradi {{matematika|1=('''AB''')'''C''' = '''A'''('''BC''')}} ([[assotsiativlik ]]) va {{math|1=('''A''' + '''B''')'''C''' = '''AC''' + '''BC'''}}, shuningdek {{math|1='''C'''('''A''' + '''B''') = '''CA''' + '''CB'''}} (chap va o'ng [[taqsimlanish]]), matritsalarning o'lchami har xil mahsulotlar aniqlanganda.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Brown |yil=1991 |nb=ha |loc=I.2.24-teorema}}</ref> {{matematik|'''AB'''}} mahsuloti {{matematik|'''BA''siz aniqlanishi mumkin. '}} aniqlanadi, agar {{matematik|'''A'''}} va {{matematik|'''B'''}} bo'lsa {{math|''m''×''n''}} va {{math|''n''×''k''}} matritsalar va {{math|''m'' ≠ ''k''.}} Ikkala mahsulot ham aniqlangan bo'lsa ham, ular odatda teng bo'lishi shart emas, ya'ni:
<math display=block> \bold{AB} \ne \bold{BA}.</math>

Boshqacha qilib aytganda, koʻpaytmasi tartibdan mustaqil boʻlgan (ratsional, haqiqiy yoki murakkab) raqamlardan farqli oʻlaroq, <span id="non_commutative">matritsani koʻpaytirish [[kommutativ xususiyat|kommutativ]] emas,</span> omillarning.<ref name=":5" /> Ikki matritsaning bir-biri bilan almashmasligiga misol:
:<math>\begin{bmatrix}
1 va 2\\
3 va 4\\
\end{bmatritsa}

\begin{bmatrix}
0 va 1\\
0 va 0\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0 va 1\\
0 va 3\\
\end{bmatrix},
</math>
holbuki
:<math>\begin{bmatrix}
0 va 1\\
0 va 0\\
\end{bmatritsa}

\begin{bmatrix}
1 va 2\\
3 va 4\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
3 va 4\\
0 va 0\\
\end{bmatritsa}.
</math>

Yuqorida tavsiflangan oddiy matritsalarni ko'paytirishdan tashqari, ko'paytirish shakllari deb hisoblanishi mumkin bo'lgan matritsalar ustida kamroq qo'llaniladigan amallar ham mavjud, masalan, [[Hadamard mahsuloti (matritsalar)|Hadamard mahsuloti]] va [[Kroneker mahsuloti]].< ref>{{Garvard iqtiboslari |oxirgi1=Horn |oxirgi2=Jonson |yil=1985 |loc=Ch. 4 va 5 |nb=yes}}</ref> Ular [[Silvester tenglamasi]] kabi matritsali tenglamalarni yechishda yuzaga keladi.

===Qator operatsiyalari===
{{Asosiy|Qator operatsiyalari}}
Satr operatsiyalarining uch turi mavjud:
# qator qo'shish, ya'ni qatorni boshqasiga qo'shish.
# qatorni ko'paytirish, ya'ni qatorning barcha yozuvlarini nolga teng bo'lmagan doimiyga ko'paytirish;
# qatorni almashtirish, ya'ni matritsaning ikki qatorini almashtirish;
Bu amallar [[chiziqli tenglama]]larni yechish va [[matritsaga teskari]]larni topish kabi bir qancha usullarda qoʻllaniladi.

==={{langar|Submatritsa}} Submatritsa===
Matritsaning '''submatritsasi''' har qanday qatorlar va/yoki ustunlar to'plamini o'chirish orqali olingan matritsadir.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|p=16}}</ref><ref>{ {harvtxt|Kreyszig|1972|p=220}}</ref><ref name="Protter 1970 869">{{harvtxt|Protter|Morrey|1970|p=869}}</ref> Masalan, quyidagi 3 ga 4 matritsadan 3 va 3 qatorni olib tashlash orqali 2 ga 3 kichik matritsa qurishimiz mumkin. 2-ustun:
:<math>\mathbf{A}=\begin{bmatrix}
1 & \rang{qizil}{2} & 3 & 4 \\
5 & \color{red}{6} & 7 & 8 \\
\color{red}{9} & \color{red}{10} & \color{red}{11} & \color{12}
\end{bmatritsa} \o'ngga strelka \begin{bmatritsa}
1, 3 va 4 \\
5, 7 va 8
\end{bmatritsa}.
</math>

Matritsaning [[kichik (chiziqli algebra)|kichik]] va kofaktorlari ma'lum submatritsalarning [[determinant]] larini hisoblash yo'li bilan topiladi.<ref name="Protter 1970 869"/><ref>{{harvtxt|Kreyszig |1972|pp=241,244}}</ref>

'''Asosiy submatritsa''' - bu ma'lum qatorlar va ustunlarni olib tashlash orqali olingan kvadrat submatritsa. Ta'rif muallifdan muallifga farq qiladi. Ba'zi mualliflarning fikriga ko'ra, asosiy submatritsa - bu qolgan qator indekslari to'plami qolgan ustun indekslari to'plami bilan bir xil bo'lgan pastki matritsadir.<ref>{{Iqtibos |title=Matritsalar va chiziqli algebra|seriya=Dover Kitoblari Matematika bo'yicha|birinchi1=Gans|oxirgi1=Schneider|birinchi2=Jorj Phillip|last2=Barker|publisher=Courier Dover Corporation|yil=2012|isbn=978-0-486-13930-2|page=251|url=https://books.google.com/books?id=9vjBAgAAQBAJ&pg= PA251}}.</ref><ref>{{Iqtibos |title=Nazariyasi Matritsalar|seriya = Ilg'or matematika bo'yicha Dover kitoblari|birinchi=Sam|oxirgi=Perlis|nashriyotchi=Courier Dover Corporation|year=1991|isbn=978-0-486-66810-9|page=103|url=https://books.google.com/books?id=5_sxtcnvLhoC&pg=PA103}}.</ref> Boshqa mualliflar asosiy submatritsani birinchi {{mvar|k}} qator va ustunlardan iborat boʻlgan maʼlum bir son sifatida aniqlang. {{mvar|k}}, qolganlar;<ref>{{Iqtibos |sarlavha=Elementar chiziqli algebra|birinchi=Hovard|oxirgi=Anton|nashr=10-nashriyotchi=John Wiley & Sons|year=2010|isbn=978-0-470-45821-1|page=414|url=https://books.google.com/books?id=YmcQJoFyZ5gC&pg=PA414}}.</ref> bu tur submatritsaning "''" yetakchisi deb ham atalgan submatritsa'''.<ref>{{Iqtibos |sarlavha=Matritsa tahlili|birinchi1=Rojer A.|oxirgi1=Horn|birinchi2=Charlz R.|oxirgi2=Jonson|nashr=2-nashriyotchi=Kembrij universiteti Matbuot|year=2012|isbn=978-0-521-83940-2|page=17|url=https://books.google.com/books?id=5I5AYeeh0JUC&pg=PA17}}.</ref>

==Chiziqli tenglamalar==<!-- [[Matritsani boʻlish]] bu yerga havola. Iltimos, o'zgartirmang. -->
{{Asosiy|Chiziqli tenglama|Chiziqli tenglamalar tizimi}}
Matritsalar ixcham yozish va bir nechta chiziqli tenglamalar, ya'ni chiziqli tenglamalar tizimlari bilan ishlash uchun ishlatilishi mumkin. Masalan, agar {{math|'''A'''}} {{matematik|''m''×''n''}} matritsa bo'lsa, {{matematik|'''x'''} } {{mvar|n}} oʻzgaruvchilardan iborat ustun vektorini (yaʼni {{math|''n''×1}}-matritsasini) belgilaydi {{math|''x''{{sub|1}} , ''x''{{sub|2}}, ..., ''x''{{sub|''n''}},}} va {{matematik|'''b'''}} {{math|''m''×1}}-ustunli vektor, u holda matritsa tenglamasi
:<math>\mathbf{Ax} = \mathbf{b}</math>

chiziqli tenglamalar tizimiga ekvivalentdir<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Braun |yil=1991 |nb=yes |loc=I.2.21 va 22}}</ref>
:<math>\begin{align}
a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 + &\cdots + a_{1,n}x_n = b_1 \\
&\ \ \vdots \\
a_{m,1}x_1 + a_{m,2}x_2 + &\cdots + a_{m,n}x_n = b_m
\end{align}</math>

Matritsalar yordamida buni barcha tenglamalarni alohida yozish mumkin bo'lgandan ko'ra ixchamroq hal qilish mumkin. Agar {{math|1=''n'' = ''m''}} va tenglamalar [[mustaqil tenglama|mustaqil]] bo'lsa, u holda buni yozish orqali amalga oshirish mumkin.
:<math>\mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1} \mathbf{b}</math>

bu yerda {{matematik|'''A'''{{sup|−1}}}} {{matematik|'''A'''}} ning [[teskari matritsasi]]. Agar {{math|'''A'''}} ning teskarisi bo'lmasa, yechimlarni, agar mavjud bo'lsa, uning [[umumlashtirilgan teskari]] yordamida topish mumkin.

==Chiziqli transformatsiyalar==
{{Asosiy|Chiziqli transformatsiya|Transformatsiya matritsasi}}
[[Fayl:Area parallellogram as determinant.svg|thumb|right|2 ga 2 matritsa bilan ifodalangan vektorlar parallelogrammga aylantirilgan birlik kvadratning tomonlariga mos keladi.]]
Matritsalar va matritsalarni ko'paytirish "chiziqli o'zgarishlar" bilan bog'liq bo'lsa, ularning asosiy xususiyatlarini ochib beradi, "chiziqli xaritalar" deb ham ataladi. <span id="linear_maps">Haqiqiy {{mvar|m}}-by-{{mvar|n}} matritsa {{math|'''A'''}} chiziqli transformatsiyani keltirib chiqaradi <math> \R^n \to \R^m</math> {{tmath|\R^n}} dagi har bir {{math|'''x'''}} vektorini (matritsa) mahsulotga solishtirish {{math|'''Ax'''}}, bu vektor {{tmath|\R^m.}} Aksincha, har bir chiziqli transformatsiya <math>f: \R^n \to \R^m </math> noyob {{mvar|m}}-by-{{mvar|n}} matritsasidan kelib chiqadi {{math|'''A'''}}: aniq, {{matematik|(''i'', ''j'')}}-{{matematika|'''A'''}} kirishi {{matematikaning {{mvar|i}}-chi koordinatasi |''f''&thinsp;('''e'''{{sub|''j''}})}}, qaerda {{matematik|1='''e'''{{sub|''j''}} = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)}} bu [[ birlik vektor]] {{mvar|j}}-chi holatda 1 va boshqa joyda 0.</span> {{math|'''A'''}} matritsasi chiziqli xaritani ifodalaydi {{mvar |f}}, va {{matematik|'''A'''}} {{mvar|f}} ning ''transformatsiya matritsasi'' deb ataladi.

Masalan, 2×2 matritsa
:<math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & c\\b & d \end{bmatrix}</math>

[[kvadrat birlik]] ning {{math|(0, 0)}}, {{math|(''a'', ''b) bo'lgan [[paralelogramma]] ga o'zgarishi sifatida ko'rish mumkin. '')}}, {{math|(''a'' + ''c'', ''b'' + ''d'')}} va {{math|(''c'', ''d'')}}. O'ng tomonda tasvirlangan parallelogramm {{math|'''A'''}} ustun vektorlarining har biriga <math>\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{ ko'paytirish yo'li bilan olinadi. bmatritsa} 1 \\ 0 \end{bmatritsa}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatritsa}</math>, va navbat bilan <math>\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}</math>. Bu vektorlar birlik kvadratning uchlarini belgilaydi.

Quyidagi jadvalda {{tmath|\R^2.}} ning bogʻlangan chiziqli xaritalari bilan bir nechta 2×2 haqiqiy matritsalar koʻrsatilgan. {{ shrift rangi | ko'k | ko'k }} asl nusxasi {{ shrift rangi | bilan taqqoslanadi yashil | yashil }} panjara va shakllar. {{math|(0, 0)}} boshi qora nuqta bilan belgilangan.
{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|-
| [[Shear mapping|Gorizontal kesish]]<br>''m'' bilan = 1,25.
| Vertikal o'q orqali [[Reflektsiya (matematika)|Ko'zgu]]
| [[Squeeze xaritalash]]<br>''r'' = 3/2 bilan
| [[Mashqlash (geometriya)|Mashqlash]]<br>3/2 marta
|<span id="rotation_matrix">[[Rotatsiya matritsasi|Burish]]<br>bo'yicha {{pi}}/6 = 30°</span>
|-
| <math>\begin{bmatrix}
1 va 1,25 \\
0 va 1
\end{bmatrix}</math>
| <math>\begin{bmatrix}
-1 va 0 \\
0 va 1
\end{bmatrix}</math>
| <math>\begin{bmatrix}
\frac{3}{2} va 0 \\
0 va \frac{2}{3}
\end{bmatrix}</math>
|<math>\begin{bmatrix}
\frac{3}{2} va 0 \\
0 va \frac{3}{2}
\end{bmatrix}</math>
|<math>\begin{bmatrix}
\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) & -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \\
\sin\left(\frac{\pi}{6}\o'ng) va \cos\left(\frac{\pi}{6}\o'ng)
\end{bmatrix}</math>
|-
| width="20%" | [[Fayl:VerticalShear m=1.25.svg|175px]]
| width="20%" | [[Fayl:Flip map.svg|150px]]
| width="20%" | [[Fayl:Squeeze r=1.5.svg|150px]]
| width="20%" | [[Fayl:1.5.svg bo'yicha masshtablash|125px]]
| width="20%" | [[Fayl: 6.svg ustidan pi boʻyicha aylanish|125px]]
|}

Matritsalar va chiziqli xaritalar o'rtasidagi [[bijection|1dan 1ga]] ostida matritsalarni ko'paytirish xaritalarning [[funktsiya tarkibi|tarkibi]]ga mos keladi:<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Greub |yil=1975 |nb=yes |loc=III.2-bo'lim}}</ref> agar a {{mvar|k}}-by-{{mvar|m}} matritsasi {{matematik|'''B'''}} boshqa chiziqli xaritani ifodalaydi <math>g: \R^m \to \R^k </math>, keyin {{math|''g'' ∘ ''f''}} kompozitsiyasi {{math|'''BA'''}} bilan ifodalanadi
<math displey=blok>
(g \circ f)(\bold x) = g(f(\bold x)) = g(\bold{Ax}) = \bold B(\bold {Ax}) = (\bold{BA}) \ qalin x.</math>

Oxirgi tenglik matritsani ko'paytirishning yuqorida qayd etilgan assotsiativligidan kelib chiqadi.

[[matritsaning darajasi]] {{matematik|'''A'''}} - matritsaning [[chiziqli mustaqillik|chiziqli mustaqil]] qator vektorlarining maksimal soni, bu maksimal son bilan bir xil. chiziqli mustaqil ustun vektorlari.<ref>{{Garvard iqtiboslari |so'nggi1=Braun |yil=1991 |nb=ha |loc=Ta'rif II.3.3}}</ref> Ekvivalent ravishda u {{math|'''A''' bilan ifodalangan chiziqli xaritaning [[tasvir (matematika)|tasvir]] ning [[Hamel o'lchami|o'lchami]] hisoblanadi. }}.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Greub |yil=1975 |nb=ha |loc=III.1-bo'lim}}</ref> [[darajali – yo‘qlik teoremasi]] matritsaning [[yadrosi (matritsa)|yadrosi]] o‘lchami va undagi daraja matritsa ustunlari soniga teng ekanligini bildiradi.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1= Jigarrang |yil=1991 |nb=ha |loc=Teorema II.3.22}}</ref>

==Kvadrat matritsa==
{{Asosiy|Kvadrat matritsa}}
[[kvadrat matritsa]] qator va ustunlar soni bir xil bo'lgan matritsadir.<ref name=":4" /> {{mvar|n}}-by-{{mvar|n}} matritsa ma'lum {{mvar|n}} tartibli kvadrat matritsasi sifatida. Bir xil tartibdagi har qanday ikkita kvadrat matritsani qo'shish va ko'paytirish mumkin.
{{mvar|a{{sub|ii}}}} yozuvlari kvadrat matritsaning [[asosiy diagonali]]ni tashkil qiladi. Ular matritsaning yuqori chap burchagidan pastki o'ng burchagiga o'tadigan xayoliy chiziqda yotadi.

===Asosiy turlari===
:{| class="wikitable" style="float:right; margin:0ex 0ex 2ex 2ex;"
|-
! Ism!! {{math|1=''n'' = 3}} bilan misol
|-
| [[Diagonal matritsa]] || style="text-align:center;" | <matematika>
\begin{bmatrix}
a_{11} va 0 va 0 \\
0 va a_{22} va 0 \\
0 va 0 va a_{33} \\
\end{bmatritsa}
</math>
|-
| [[Quyi uchburchak matritsa]] || style="text-align:center;" | <matematika>
\begin{bmatrix}
a_{11} va 0 va 0 \\
a_{21} va a_{22} va 0 \\
a_{31} va a_{32} va a_{33} \\
\end{bmatritsa}
</math>
|-
| [[Yuqori uchburchak matritsa]] || style="text-align:center;" | <matematika>
\begin{bmatrix}
a_{11} va a_{12} va a_{13} \\
0 va a_{22} va a_{23} \\
0 va 0 va a_{33} \\
\end{bmatritsa}
</math>
|}

====Diagonal va uchburchak matritsa====
Agar asosiy diagonal ostidagi {{math|'''A'''}} barcha yozuvlari nolga teng bo'lsa, {{matematik|'''A'''}} ''yuqori [[uchburchak matritsa]]' deyiladi. '. Xuddi shunday, agar {{math|'''A'''}} ning asosiy diagonal ustidagi barcha yozuvlari nolga teng bo'lsa, {{math|'''A'''}} ''pastki uchburchak matritsa'' deyiladi. Agar asosiy diagonaldan tashqaridagi barcha yozuvlar nolga teng boʻlsa, {{math|'''A'''}} [[diagonal matritsa]] deyiladi.

====Identifikatsiya matritsasi====
{{Asosiy|Identifikatsiya matritsasi}}
{{mvar|n}} oʻlchamdagi ''identifikatsiya matritsasi'' {{matematika|'''I'''{{sub|''n''}}}} {{mvar|n}}- by-{{mvar|n}} matritsasi, unda [[asosiy diagonal]]dagi barcha elementlar 1 ga, qolgan barcha elementlar esa 0 ga teng, masalan,
<math display=block>\begin{align}
\mathbf{I}_1 &= \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}, \\[4pt]
\mathbf{I}_2 &= \begin{bmatrix}
1 va 0 \\
0 va 1
\end{bmatrix}, \\[4pt]
\vdots& \\[4pt]
\mathbf{I}_n &= \begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{bmatritsa}
\end{align}</math>
Bu {{mvar|n}} tartibli kvadrat matritsa, shuningdek, [[diagonal matritsa]]ning maxsus turi. U identifikatsiya matritsasi deb ataladi, chunki u bilan ko'paytirish matritsani o'zgarishsiz qoldiradi:
<math displey=blok>
\bold{AI}_n = \bold I_m \bold A = \bold A</math>
har qanday {{mvar|m}}-by-{{mvar|n}} matritsasi uchun {{math|'''A'''}}.

Identifikatsiya matritsasining nolga teng bo'lmagan skaler karrali '' skaler '' matritsa deyiladi. Agar matritsa yozuvlari maydondan kelgan bo'lsa, skalyar matritsalar matritsani ko'paytirish ostida, ya'ni maydonning nolga teng bo'lmagan elementlarining multiplikativ guruhiga izomorf bo'lgan guruh hosil qiladi.

====Simmetrik yoki egri-simmetrik matritsa====
Kvadrat matritsa {{matematika|'''A'''}} uning ko'chirilishiga teng, ya'ni {{math|1='''A''' = '''A'''{{sup |T}}}}, [[simmetrik matritsa]]. Buning o'rniga, {{math|'''A'''}} uning transpozitsiyasining manfiyiga teng bo'lsa, ya'ni {{math|1='''A''' = −'''A''' {{sup|T}}}}, u holda {{matematik|'''A'''}} [[qiyshaygan-simmetrik matritsa]] bo'ladi. Murakkab matritsalarda simmetriya koʻpincha [[Germit matritsasi|Germitiya matritsalari]] tushunchasi bilan almashtiriladi, bu tushuncha {{math|1='''A'''{{sup| ∗ }} = '''A'''}}, bu yerda yulduz yoki [[yulduzcha]] matritsaning [[konjugat ko'chirilishi]]ni, ya'ni { ning [[kompleks konjugati]]ning ko'chirilishini bildiradi. {matematika|'''A'''}}.

[[spektral teorema]] boʻyicha haqiqiy simmetrik matritsalar va murakkab Germit matritsalari [[oʻziga xos asos]]ga ega; ya'ni har bir vektor xos vektorlarning [[chiziqli birikmasi]] sifatida ifodalanadi. Ikkala holatda ham barcha xos qiymatlar haqiqiydir.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Horn |last2=Jonson |yil=1985 |nb=yes |loc=Teorema 2.5.6}}</ref> Bu teoremani umumlashtirish mumkin. cheksiz ko'p satr va ustunli matritsalar bilan bog'liq cheksiz o'lchovli vaziyatlarga qarang [[#Infinite matritsalar|pastda]].

====Invertible matritsa va uning teskarisi====
{{matematik|'''A'''}} kvadrat matritsa ''[[invertible matritsa|invertible]]'' yoki matritsa mavjud bo'lsa, ''nosingular'' deyiladi {{matematik|''' B'''}} shundayki<ref>{{Garvard iqtiboslari |so'nggi1=Braun |yil=1991 |nb=ha |loc=Ta'rif I.2.28}}</ref><ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Braun |yil=1991 |nb=ha |loc=I.5.13 ta'rifi}}</ref>
<math display=block>\bold{AB} = \bold{BA} = \bold I_n,</math>
bu yerda {{matematik|'''Men'''{{sub|''n''}}}} {{matematik|''n''×''n''}} [[identifikatsiya matritsasi]] [[asosiy diagonal]]da 1lar va boshqa joylarda 0lar bilan. Agar {{math|'''B'''}} mavjud bo'lsa, u yagona bo'lib, ''[[Invertible matritsa|teskari matritsa]]'' {{matematik|'''A'''}} deb ataladi. , belgilangan {{matematik|'''A'''{{sup|−1}}}}.

==== Aniq matritsa====
{| class="wikitable" style="float:right; text-align:center; margin:0ex 0ex 2ex 2ex;"
|-
! [[Ijobiy aniq matritsa]] !! [[Noaniq matritsa]]
|-
| <math>\begin{bmatrix}
\frac{1}{4} va 0 \\
0 va 1 \\
\end{bmatrix}</math>
| <math>\begin{bmatrix}
\frac{1}{4} va 0 \\
0 va -\frac{1}{4}
\end{bmatrix}</math>
|-
| <math>Q(x,y)= \frac{1}{4}x^2+y^2</math>
| <math>Q(x,y)= \frac{1}{4}x^2-\frac{1}{4}y^2</math>
|-
| [[Fayl: Yarim o'qli labelled.svg|150px]] koordinata tizimidagi ellips <br>Shunday nuqtalar: <math display="inline">Q(x,y)= 1</math> <br> ([ [ellips]])
| [[Fayl:Hyperbola2 SVG.svg|150px]] <br> <math display="inline">Q(x,y)= 1</math><br> ([[Giperbola]]) boʻladigan nuqtalar
|}
Simmetrik haqiqiy matritsa {{matematika|'''A'''}}, agar bog'langan [[kvadrat shakl]] bo'lsa, [[musbat-aniq matritsa|''musbat-aniq'']] deyiladi.
<math display=block>f(\bold x) = \bold x^{\rm T} \bold{Ax}</math>
har bir nolga teng boʻlmagan vektor uchun musbat qiymatga ega {{math|'''x'''}} {{tmath|\R^n.}} Agar {{math|''f''&hairsp;('''x ''')}} faqat manfiy qiymatlarni beradi, keyin {{matematik|'''A'''}} [[matritsaning aniqligi#Salbiy] aniq|''salbiy-aniqli'']]; agar {{mvar|f}} ham manfiy, ham ijobiy qiymatlarni hosil qilsa, {{matematika|'''A'''}} [[matritsaning aniqligi#Noaniq|'' noaniq'']] bo'ladi.<ref> {{Garvard iqtiboslari |oxirgi1=Horn |oxirgi2=Jonson |yil=1985 |nb=ha |loc=7-bob}}</ref> Agar kvadratik shakl {{mvar|f}} faqat manfiy bo'lmagan qiymatlarni (musbat yoki nol) beradi, simmetrik matritsa ''musbat-yarim aniq'' (yoki faqat ijobiy bo'lmagan qiymatlar bo'lsa, u holda manfiy-yarim aniq) deb ataladi; demak, matritsa na musbat-yarim-aniqli, na manfiy-yarim-aniq bo'lmaganda aniq noaniq bo'ladi.

Simmetrik matritsa musbat-aniqli, agar uning barcha xos qiymatlari musbat bo‘lsa, ya’ni matritsa musbat-yarim aniq va teskari bo‘lsa.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Horn |last2=Jonson |yil=1985-yil |nb=yes |loc=Teorema 7.2.1}}</ref> O'ngdagi jadval ko'rsatilgan 2 ga 2 matritsalar uchun ikkita imkoniyat.

Ikki xil vektorga kirishga ruxsat berilsa, {{math|'''A'''}} bilan bog'langan [[bilinear shakl]] hosil bo'ladi:<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Horn |last2=Jonson |yil=1985 |nb=ha |loc=Misol 4.0.6, p. 169}}</ref>
<math display=block>B_{\bold A} (\bold x, \bold y) = \bold x^{\rm T} \bold{Ay}.</math>

Murakkab matritsalar bo'lsa, xuddi shunday atama va natija ''simmetrik matritsa'', ''kvadrat shakl'', ''bilinear shakl'' va ''transpoze'' {{matematik|'''x bilan qo'llaniladi. '''{{sup|T}}}} mos ravishda [[Germitian matritsasi]], [[Germitian shakli]], [[sesquilinear bilan almashtirildi. shakl]] va [[konjugat transpose]] {{matematik|'''x'''{{sup|H}}}}.

====Ortogonal matritsa====
{{Asosiy|Ortogonal matritsa}}
''Ortogonal matritsa'' ustunlari va satrlari [[ortogonal]] [[birlik vektor]]s (ya'ni, [[ortonormallik|ortonormal]] vektorlar bo'lgan [[haqiqiy son|haqiqiy]] yozuvli kvadrat matritsadir. ). Ekvivalent tarzda, {{math|'''A'''}} matritsa ortogonal bo'ladi, agar uning [[ko'chirish]] [[invertible matritsa|teskari]] ga teng bo'lsa:
:<math>\mathbf{A}^\mathrm{T}=\mathbf{A}^{-1}, \,</math>
o'z ichiga oladi
:<math>\mathbf{A}^\mathrm{T} \mathbf{A} = \mathbf{A} \mathbf{A}^\mathrm{T} = \mathbf{I}_n,</math>
bu yerda {{matematik|'''I'''{{sub|''n''}}}} {{mvar|n}} o'lchamdagi [[identifikatsiya matritsasi]].

Ortogonal matritsa {{matematika|'''A'''}} shartli ravishda [[invertible matritsa|invertible]] (teskari {{math|1='''A'''{{sup|&minus;1} bilan) } = '''A'''{{sup|T}}}}), [[unitar matritsa|unitar]] ({{math|1='''A'''{{sup|&minus;1}} = '''A'''*}}) va [[normal matritsa|normal]] ({{matematik| 1='''A'''*'''A''' = '''AA'''*}}). Har qanday ortogonal matritsaning [[determinanti]] {{math|+1}} yoki {{math|−1}} boʻladi. ''maxsus ortogonal matritsa'' [[determinant]] +1 bo'lgan ortogonal matritsadir. [[chiziqli transformatsiya]] sifatida, {{math|+1}} determinantli har bir ortogonal matritsa aks ettirilmasdan sof [[aylanish (matematika)|aylanish]] hisoblanadi, yaʼni transformatsiya oʻzgartirilgan strukturaning yoʻnalishini saqlaydi, {{math|-1}} determinantli har bir ortogonal matritsa orientatsiyani o'zgartiradi, ya'ni sof matritsaning kompozitsiyasidir. [[aks ettirish (matematika)|fikrlash]] va (ehtimol null) aylanish. Identifikatsiya matritsalari {{math|1}} determinantga ega va ular nol burchak bilan sof aylanishlardir.

Ortogonal matritsaning [[kompleks son|kompleks]] analogi [[unitar matritsa]]dir.

===Asosiy operatsiyalar===

====Iz====
Kvadrat matritsaning {{math|'''A'''}} [[matritsaning izi|iz]], {{math|tr('''A''')}} uning yig'indisidir. diagonal yozuvlar. Matritsalarni ko'paytirish [[# nomutanosib |yuqorida]] aytib o'tilganidek kommutativ bo'lmasa-da, ikkita matritsa ko'paytmasining izi omillar tartibiga bog'liq emas:
: <math>\operatorname{tr}(\mathbf{AB}) =\operatorname{tr}(\mathbf{BA}).</math>
Bu matritsalarni ko'paytirishning ta'rifidan darhol:
:<math>\operatorname{tr}(\mathbf{AB}) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij} b_{ji} = \operatorname{tr}( \mathbf{BA}).</math>
Bundan kelib chiqadiki, ikkitadan ortiq matritsalar koʻpaytmasining izi matritsalarning [[siklik almashtirish]] lariga bogʻliq emas, lekin bu umuman ixtiyoriy almashtirishlarga taalluqli emas (masalan , {{math|tr('') 'ABC''') ≠ tr('''BAC''')}}, umuman). Shuningdek, matritsaning izi uning transpozitsiyasiga teng, ya'ni
<math display=block>\operatorname{tr}(\bold A) = \operatorname{tr}(\bold A^{\rm T}).</math>

==== Aniqlovchi====
{{Asosiy|Aniqlovchi}}
[[File:Determinant example.svg|thumb|300px|right|Ko'rsatilgan matritsa tomonidan berilgan {{tmath|\R^2}} bo'yicha chiziqli o'zgartirish. Bu matritsaning determinanti −1 ga teng, chunki o‘ngdagi yashil parallelogrammning maydoni 1 ga teng, lekin xarita [[orientatsiya (matematika)|orientatsiya]]ni teskari qiladi, chunki u vektorlarning soat miliga teskari yo‘nalishini soat miliga aylantiradi. bir.]]

Kvadrat matritsaning ''determinanti'' {{matematik|'''A'''}} (belgilangan {{math|det('''A''')}} yoki {{matematik|{{abs| '''A'''|}}}}) - matritsaning ma'lum xususiyatlarini kodlovchi raqam. Matritsa teskari bo'ladi [[faqat va agar]] uning determinanti nolga teng bo'lmasa. Uning [[mutlaq qiymati]] birlik kvadrat (yoki kub) tasvirining maydoniga ({{tmath|\R^2}}) yoki hajmiga ({{tmath|\R^3}} da) tengdir, uning belgisi esa mos chiziqli xaritaning yo'nalishiga mos keladi: determinant faqat va faqat yo'nalish saqlanib qolganda ijobiy bo'ladi.

2 ga 2 matritsalarning determinanti bilan berilgan
:<math>\det \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} = ad-bc.</math><ref name=":3">{{Cite web|title=Matrix {{!} } matematika|url=https://britannica.com/science/matrix-mathematics|access-date=2020-08-19|website=Encyclopedia Britannica|til=en}}</ref>
3 ga 3 matritsalarning determinanti 6 ta haddan iborat ([[Sarrus qoidasi]]). Uzunroq [[Determinantlar uchun Leybnits formulasi|Leybnits formulasi]] bu ikki formulani barcha o'lchamlarga umumlashtiradi.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Braun |yil=1991 |nb=ha |loc=Ta'rif III.2.1}} </ref>

Kvadrat matritsalar mahsulotining determinanti ularning determinantlarining mahsulotiga teng:
<math display=block> \det(\bold{AB}) = \det(\bold A) \cdot \det(\bold B),</math>
yoki muqobil yozuvdan foydalanish:<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Braun |yil=1991 |nb=ha |loc=Teorema III.2.12}}</ref>
<math display=block>|\bold{AB}| = |\bold A| \cdot |\bold B|.</math>
Boshqa qatorga istalgan satrning karrali yoki boshqa ustunga har qanday ustunning karrali qo‘shilishi determinantni o‘zgartirmaydi. Ikki qator yoki ikkita ustunni almashtirish determinantni −1 ga ko'paytirish orqali ta'sir qiladi.<ref>{{Garvard sitatlari |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Nulosa III.2.16}}</ref> Bulardan foydalanish operatsiyalarda har qanday matritsa pastki (yoki yuqori) uchburchak matritsaga aylantirilishi mumkin va bunday matritsalar uchun determinant asosiy diagonaldagi yozuvlar mahsulotiga teng; bu har qanday matritsaning determinantini hisoblash usulini beradi. Nihoyat, [[Laplas kengayishi]] determinantni [[kichik (chiziqli algebra)|kichik]]lar, yaʼni kichikroq matritsalarning determinantlari bilan ifodalaydi.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Mirskiy |yil=1990-yil |nb=yes |loc=Teorema 1.4.1}}</ref> Ushbu kengaytma rekursiv ta'rif uchun ishlatilishi mumkin determinantlar (boshlang'ich holat sifatida 1 ga 1 matritsaning determinanti, ya'ni uning yagona kirishi yoki hatto 0 ga 0 matritsaning determinanti, ya'ni 1) ekvivalent deb ko'rish mumkin Leybnits formulasi. Determinantlardan [[chiziqli tizim]]larni [[Kramer qoidasi]] yordamida yechish uchun foydalanish mumkin, bunda ikkita bogʻliq kvadrat matritsalar determinantlarining boʻlinishi tizimning har bir oʻzgaruvchisi qiymatiga teng boʻladi.<ref>{{Garvard iqtiboslari. |last1=Braun |yil=1991 |nb=ha |loc=Teorema III.3.18}}</ref>

====Xususiy qiymatlar va xos vektorlar====
{{Asosiy|Xususiy qiymat, xos vektor va xususiy fazo|l1=Xususiy qiymatlar va xos vektorlar}}
<math display="inline">\lambda</math> va nolga teng bo'lmagan vektor {{math|'''v'''}} qanoatlantiruvchi
:<math>\mathbf{A} \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}</math>
mos ravishda {{math|'''A'''}} ning ''o'ziga xos qiymat'' va ''o'zvektori'' deb ataladi.<ref>''Eigen'' [[Nemis tilida| nemis tili]] va [[Golland tili|Golland]] tillarida.</ref><ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Brown |yil=1991 |nb=ha |loc=Ta’rif III.4.1}}</ref> {{mvar|l}} soni {{matematik|''n''×''n'' ning xos qiymatidir. }}-matritsa {{math|'''A'''}} agar va faqat agar {{matematik|('''A''' − l'''I'''{{sub|''n''}})}} teskari emas, bu [[mantiqiy ekvivalentlik|ekvivalent]]
:<math>\det(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}) = 0.</math><ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Braun |yil=1991 |nb=ha |loc= Ta'rif III.4.9}}</ref>
ni baholash orqali berilgan [[noaniq (oʻzgaruvchi)|noaniq]] {{math|''p''{{sub|'''A'''}}}} polinomi. determinant {{math|det(''X''&thinsp;'''I'''{{sub|''n''}} − '''A''')}} {{matematik|'''A'''}} ning [[xarakteristik polinomi]] deb ataladi. U [[polinom darajasi|daraja]] {{mvar|n}} [[monik polinom]]. Shuning uchun {{math|1=''p''{{sub|'''A'''}}(l) = 0}} polinom tenglamasi ko'pi bilan {{mvar|n}} xil yechimga ega, ya'ni , matritsaning xos qiymatlari.<ref>{{Garvard iqtiboslari |oxirgi1=Braun |yil=1991 |nb=ha |loc=Xulosa III.4.10}}</ref> Ular {{math|'''A'''}} yozuvlari haqiqiy bo'lsa ham murakkab bo'lishi mumkin. [[Keyli–Gamilton teoremasi]]ga koʻra, {{math|1=''p''{{sub|'''A'''}}('''A''') = '''0 '''}}, ya'ni matritsaning o'zini o'ziga xos ko'phadga qo'yish natijasida [[nol matritsa]] hosil bo'ladi.

==Hisoblash aspektlari==
Matritsalarni hisoblash ko'pincha turli xil texnikalar bilan amalga oshirilishi mumkin. Ko'pgina muammolarni to'g'ridan-to'g'ri algoritmlar va iterativ yondashuvlar bilan hal qilish mumkin. Masalan, kvadrat matritsaning xos vektorlarini vektorlarning [[ketma-ketligi (matematika)|ketma-ketligi]] {{matematik|'''x'''{{sub|''n''}}} topib olish mumkin. } [[ketma-ketlik chegarasi|konversiya]] xos vektorga {{mvar|n}} moyil boʻlganda [[infinity]].<ref>{{Garvard iqtiboslari |oxirgi1=Uy egasi |yil=1975 |loc=Ch. 7 |nb=yes}}</ref>

Har bir aniq muammo uchun eng mos algoritmni tanlash uchun barcha mavjud algoritmlarning samaradorligi va aniqligini aniqlash muhimdir. Ushbu masalalarni o'rganadigan domen [[sonli chiziqli algebra]] deb ataladi.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Bau III |last2=Trefethen |yil=1997 |nb=yes}}</ref> Boshqa raqamli vaziyatlarda bo'lgani kabi , ikkita asosiy jihat algoritmlarning [[murakkablik tahlili|murakkabligi]] va ularning [[raqamliligi] barqarorlik]].

Algoritmning murakkabligini aniqlash [[yuqori chegara]]larni topish yoki ba'zi bir algoritmni bajarish uchun skalerlarni qo'shish va ko'paytirish kabi qancha elementar amallar zarurligini taxmin qilishni anglatadi, masalan, [[matritsalarni ko'paytirish algoritmi|matritsalarni ko'paytirish]] . Yuqorida berilgan ta'rifdan foydalanib, ikkita {{mvar|n}}-{{mvar|n}} matritsaning matritsa mahsulotini hisoblash uchun {{math|''n''{{sup|3}}}} ko'paytirish kerak, chunki mahsulotning har qanday {{math|''n''{{sup|2}}}} yozuvlari uchun {{mvar|n}} ko'paytirish kerak. [[Strassen algoritmi]] bu "sodda" algoritmdan ustundir; unga faqat {{matematik|''n''{{sup|2.807}}}} ko'paytirish kerak.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Golub |so'nggi2=Van krediti |yil=1996 |nb=ha |loc= Algoritm 1.3.1}}</ref> Takomillashtirilgan yondashuv hisoblash qurilmalarining o'ziga xos xususiyatlarini ham o'z ichiga oladi.

Ko'pgina amaliy vaziyatlarda matritsalar haqida qo'shimcha ma'lumotlar ma'lum. Muhim holat bu [[siyrak matritsa|siyrak matritsalar]], yaʼni koʻpchilik yozuvlari nolga teng boʻlgan matritsalardir. Aytaylik, chiziqli tizimlarni echish uchun maxsus moslashtirilgan algoritmlar mavjud {{math|1='''Ax''' = '''b'''}} siyrak matritsalar uchun {{matematik|'''A'''} }, masalan, [[konjugat gradient usuli]].<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Golub |last2=Van Loan |yil=1996 |nb=ha |loc=9 va 10-boblar, esp. 10.2-bo'lim}}</ref>

Agar kirish qiymatlaridagi kichik og'ishlar natijada katta og'ishlarga olib kelmasa, algoritm, qo'pol qilib aytganda, raqamli barqaror hisoblanadi. Masalan, Laplas kengaytmasi orqali matritsaning teskarisini hisoblash ({{math|adj('''A''')}} {{math|'''A'''} ning [[tuzatuvchi matritsasi]]ni bildiradi. })
<math display=block>\bold A^{-1} = \operatorname{adj}(\bold A) / \det(\bold A)</math>
matritsaning determinanti juda kichik bo'lsa, yaxlitlashda sezilarli xatolarga olib kelishi mumkin. Matritsaning teskarisini hisoblash kabi chiziqli algebraik masalalarning [[shart raqami|shartini]] olish uchun [[matritsa normasi|matritsa normasi]] ishlatilishi mumkin.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Golub | last2=Van krediti |yil=1996 |nb=ha |loc=Bob 2.3}}</ref>

Ko'pgina kompyuterlar [[dasturlash tili]] massivlarni qo'llab-quvvatlaydi, lekin matritsalar uchun o'rnatilgan buyruqlar bilan ishlab chiqilmagan. Buning o'rniga mavjud tashqi kutubxonalar deyarli barcha hozirda foydalanilayotgan dasturlash tillarida massivlarda matritsa operatsiyalarini ta'minlaydi. Matritsalarni manipulyatsiya qilish kompyuterlarning eng dastlabki raqamli ilovalaridan biri edi.<ref>{{Cite journal|last=Grcar|first=Jozef F.|date=2011-01-01|title=Jon fon Neymanning Gaussni yo'q qilish tahlili va uning kelib chiqishi. Zamonaviy raqamli Tahlil|url=https://epubs.siam.org/doi/10.1137/080734716|jurnal=SIAM Review|volume=53|issue=4|sahifalar=607–682|doi=10.1137/080734713|issn=14 }}</ref> Asl [[Dartmut BASIC]] 1964-yilda [[Dartmouth BASIC#Second Edition, CARDBASIC|ikkinchi nashr]] tatbiq qilingan massivlarda matritsa arifmetikasi uchun o‘rnatilgan buyruqlarga ega edi. 1970-yillardayoq ba’zi muhandislik ish stoli kompyuterlari, masalan, [[HP 9830] ]] da [[HP 9800 series#Programming|ROM kartridjlari bor edi matritsalar uchun BASIC buyruqlarini qo'shing]]. [[APL (dasturlash tili)|APL]] kabi ba'zi kompyuter tillari matritsalarni manipulyatsiya qilish uchun mo'ljallangan va [[sonli tahlil dasturlari ro'yxati|turli matematik dasturlar]] matritsalar bilan hisoblashda yordam berish uchun ishlatilishi mumkin.<ref>uchun misol, [[Mathematica]], qarang: {{Garvard iqtiboslari|last1=Wolfram|yil=2003|loc=Ch. 3.7|nb=yes}}</ref> 2023-yil holatiga ko‘ra, ko‘pchilik kompyuterlar standart [[BLAS]] spetsifikatsiyasini amalga oshiradigan past darajada o‘rnatilgan matritsa operatsiyalarining bir turiga ega bo‘lib, ko‘pchilik yuqori darajadagi matritsa va chiziqli algebraga ega. kutubxonalar (masalan, [[EISPACK]], [[LINPACK]], [[LAPACK]]) tayanadi. Ushbu kutubxonalarning aksariyati professional darajadagi kodlashni talab qilsa-da, [[LAPACK]] ga [[NumPy]]/[[SciPy]], [[R (dasturlash) kabi yuqori darajadagi (va foydalanuvchilar uchun qulay) ulanishlar orqali kirish mumkin. til)|R]], [[GNU oktava]], [[MATLAB]].

== Parchalanish ==
{{Asosiy|Matritsaning parchalanishi|Matritsa diagonalizatsiyasi|Gaussni bartaraf etish|Bareys algoritmi}}
Matritsalarni qulayroq shaklga keltirishning bir necha usullari mavjud. Ular odatda "matritsalarni parchalash" yoki "matritsalarni faktorizatsiya qilish" usullari deb ataladi. Ushbu usullarning barchasining qiziqishi shundaki, ular determinant, daraja yoki teskari kabi matritsalarning ma'lum xususiyatlarini saqlab qoladi, shuning uchun transformatsiya qo'llanilgandan keyin bu miqdorlarni hisoblash mumkin yoki ma'lum matritsa operatsiyalari algoritmik jihatdan osonroq bo'ladi. matritsalarning ayrim turlari uchun.

[[LU parchalanishi]] omillar matritsalari pastki ({{math|'''L'''}}) va yuqori [[uchburchak matritsa|uchburchak matritsalar]] ({{math|'''U) ko'paytmasi sifatida '''}}).<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Press |last2=Flannery |last3=Teukolsky |last4=Vetterling |yil=1992 |nb=yes}}</ref> Ushbu parchalanish hisoblangandan so'ng, chiziqli tizimlarni [[oldinga almashtirish|oldinga va orqaga almashtirish]] deb nomlangan oddiy texnika yordamida samaraliroq hal qilish mumkin. Xuddi shunday, uchburchak matritsalarning teskarilarini hisoblash algoritmik jihatdan osonroq. ''Gaussni yo'q qilish'' xuddi shunday algoritmdir; u har qanday matritsani [[satr eshelon shakli]] ga o‘zgartiradi.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Stoer |last2=Bulirsch |yil=2002 |nb=yes |loc=4.1-bo‘lim}}</ref> Har ikki usul ham davom etadi matritsani mos [[elementar matritsa|elementar matritsalar]]ga ko‘paytirish orqali [[o‘rin almashtirish] matritsa|satr yoki ustunlarni almashtirish]] va bir qatorning koʻpaytmalarini boshqa qatorga qoʻshish. [[Singular qiymat dekompozitsiyasi]] har qanday matritsani {{matematik|'''A'''}} mahsulot sifatida ifodalaydi {{matematik|'''UDV'''{{sup| ∗ }}}}, bu yerda {{matematik|'''U'''}} va {{matematik|'''V'''}} [[unitar matritsa|unitar matritsalar]] va {{matematik|' ''D'''}} diagonal matritsadir.

[[Fayl:Jordan blocks.svg|right|thumb|250px|Iordaniya oddiy shakldagi matritsaga misol. Kulrang bloklar Jordan bloklari deb ataladi.]]
[[eigendecomposition]] yoki ''diagonalizatsiya'' {{math|'''A'''}} ni mahsulot sifatida ifodalaydi {{matematik|'''VDV'''{{sup|−1}}}} , bu yerda {{math|'''D'''}} diagonal matritsa va {{math|'''V'''}} mos invertible. matritsa.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Horn |so'nggi2=Jonson |yil=1985 |nb=ha |loc=Teorema 2.5.4}}</ref> Agar {{math|'''A''' }} bu shaklda yozilishi mumkin, u [[diagonallashtiriladigan matritsa|diagonallashtiriladigan]] deb ataladi. Umuman olganda va barcha matritsalarga taalluqli, Jordan parchalanishi matritsani [[Iordaniya normal shakl]] ga aylantiradi, yaʼni nolga teng boʻlmagan yozuvlari xos qiymatlar {{math|''l''{{sub|1 boʻlgan matritsalarga aylanadi. }}}} dan {{mvar|l{{sub|n}}}} gacha {{matematik|'''A'''}}, asosiy diagonalga joylashtirilgan va oʻng tomonda koʻrsatilganidek, toʻgʻridan-toʻgʻri asosiy diagonal ustidagi bittaga teng boʻlgan yozuvlar.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Horn |last2=Jonson |yil=1985 |nb=ha |loc=Ch . 3.1, 3.2}}</ref> Eigendekompozitsiyani hisobga olgan holda, {{math|'''A'''}} ning {{mvar|n}}-chi kuchi (ya'ni, {{mvar|n}}-katlama takrorlangan matritsani ko'paytirish) orqali hisoblash mumkin
<math display=block> \bold A^n = (\bold{VDV}^{-1})^{n} = \bold{VDV}^{-1} \bold{VDV}^{-1} \ ldots \bold{VDV}^{-1} = \bold{VD}^n \bold V^{-1}</math>
va diagonal matritsaning quvvatini diagonal yozuvlarning mos keladigan vakolatlarini olish yo'li bilan hisoblash mumkin, bu uning o'rniga {{math|'''A'''}} uchun darajani ko'rsatishdan ko'ra ancha osondir. Bu [[matritsa eksponentsial]] {{matematika|''e''{{sup|'''A'''}}}}, [[chiziqli differentsial tenglamani] yechishda tez-tez yuzaga keladigan ehtiyojni hisoblash uchun ishlatilishi mumkin. ]s, [[matritsa logarifmi]] va [[matritsaning kvadrat ildizi|matritsalarning kvadrat ildizlari]].<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Arnold |last2=Cooke |yil=1992 |nb=yes |loc=14.5, 7, 8-boʻlimlar}}</ref> Raqamli [[shart raqami|shartsiz]] holatlarning oldini olish uchun, masalan, boshqa algoritmlar [[Schur dekompozitsiyasi]] dan foydalanish mumkin.<ref>{{Garvard iqtiboslari |oxirgi1=Bronson |yil=1989 |nb=ha |loc=Ch. 15}}</ref>

==Mavhum algebraik jihatlar va umumlashtirishlar==
Matritsalarni turli yo'llar bilan umumlashtirish mumkin. Abstrakt algebra umumiyroq [[maydon (matematika)|maydonlar]] yoki hatto [[ring (matematika)|halqalar]]dagi yozuvlari bilan matritsalardan foydalanadi, chiziqli algebra esa chiziqli xaritalar tushunchasida matritsalarning xossalarini kodlaydi. Cheksiz ko'p ustun va qatorli matritsalarni ko'rib chiqish mumkin. Yana bir kengaytma [[tensor]]lar boʻlib, ular vektorlardan farqli oʻlaroq, koʻpincha sonlar ketma-ketligi sifatida amalga oshirilishi mumkin boʻlgan yuqori oʻlchamli raqamlar massivlari sifatida koʻrish mumkin, matritsalar esa toʻrtburchaklar yoki ikki oʻlchovli raqamlar massivlaridir.< ref>{{Garvard iqtiboslari |oxirgi1=Kobern |yil=1955 |nb=ha |loc=Ch. V}}</ref> Muayyan talablarga javob beradigan matritsalar matritsa guruhlari deb nomlanuvchi [[guruh (matematika)|guruhlar]]ni hosil qiladi. Xuddi shunday muayyan sharoitlarda matritsalar [[matritsali halqa]]lar deb nomlanuvchi [[ring (matematika)|halqalar]] hosil qiladi. Matritsalar koʻpaytmasi umuman kommutativ boʻlmasa-da, baʼzi matritsalar [[matrisa maydoni]] deb nomlanuvchi [[maydon (matematika)|maydonlar]] ni hosil qiladi.
Umuman olganda, matritsalar va ularning [[matritsalarni ko‘paytirish|ko‘paytirish]] [[kategori (matematika)|kategoriya]], [[matritsalar toifasi]]ni ham tashkil qiladi.

===Ko'proq umumiy yozuvlari bo'lgan matritsalar===
Ushbu maqola yozuvlari haqiqiy yoki murakkab sonlar bo'lgan matritsalarga qaratilgan. <span id="more_general_entries">Biroq, matritsalar haqiqiy yoki murakkab raqamlarga qaraganda ancha umumiy turdagi yozuvlar bilan ko‘rib chiqilishi mumkin.</span> Umumlashtirishning birinchi bosqichi sifatida har qanday [[maydon (matematika)|maydon]], ya'ni [[to'plam (matematika)|to'plam]] bu yerda [[qo'shish]], [[ayirish]], [[ko'paytirish]] va [[bo'lish] (matematika)|bo'linish]] operatsiyalari aniqlangan va yaxshi bajarilgan, {{tmath|\R}} yoki {{tmath|\C,}} o'rniga ishlatilishi mumkin, masalan, [[ratsional son]]lar yoki [[ chekli maydon]]s. Masalan, [[kodlash nazariyasi]] cheklangan maydonlar ustidagi matritsalardan foydalanadi. Qaerda [[o'z qiymat]]lar ko'rib chiqilmasin, chunki bular ko'phadning ildizlari bo'lgani uchun ular faqat matritsa yozuvlari maydonidan kattaroq maydonda mavjud bo'lishi mumkin; masalan, haqiqiy yozuvlari bo'lgan matritsada ular murakkab bo'lishi mumkin. Matritsaning yozuvlarini kattaroq maydonning elementlari sifatida qayta talqin qilish imkoniyati (masalan, haqiqiy matritsani kirishlari hammasi haqiqiy bo'lgan murakkab matritsa sifatida ko'rish), keyin har bir kvadrat matritsani to'liq o'z qiymatlari to'plamiga ega bo'lishini ko'rib chiqish imkonini beradi. Shu bilan bir qatorda, faqat boshidan {{tmath|\C,}} kabi [[algebraik yopiq maydon]]dagi yozuvlari bo'lgan matritsalarni ko'rib chiqish mumkin.

Umuman olganda, [[ring (matematika)|ring]] {{mvar|R}} yozuvlari boʻlgan matritsalar matematikada keng qoʻllaniladi.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Lang |yil=2002 |nb=ha |loc=Chapter XIII}}</ref> Halqalar maydonlarga qaraganda umumiyroq tushuncha boʻlib, boʻlinish amali mavjud boʻlishi shart emas. Matritsalarni bir xil qo'shish va ko'paytirish amallari ushbu parametrga ham tegishli. Toʻplam {{math|M(''n'', ''R'')}} (shuningdek, {{math|M<sub>''n''</sub>(R)}}<ref name {{mvar|R}} ustidagi barcha kvadrat {{mvar|n}}-by-{{mvar|n}} matritsalarning ="Pop-Furdui" />) halqasi [[matritsali halqa]], chap {{mvar|R}}-[[modul (matematika)|modul]] {{mvar|R{{sup|n}}}} ning [[endomorfizm halqasi]] ga izomorf.<ref>{{ Garvard iqtiboslari |oxirgi1=Lang |yil=2002 |nb=ha |loc=XVII.1, p. 643}}</ref> Agar {{mvar|R}} halqasi [[kommutativ halqa|kommutativ]] boʻlsa, yaʼni uning koʻpaytirilishi kommutativ boʻlsa, u holda halqa {{math|M(''n'', ''R'')}} ham ''R'' ustidagi [[assotsiativ algebra]] hisoblanadi. {{mvar|R}} kommutativ halqa ustidagi kvadrat matritsalarning [[determinanti]] hali ham [[Leybnits formulasi (determinant)|Leybnits formulasi]] yordamida aniqlanishi mumkin; bunday matritsa, agar uning determinanti {{mvar|R}} da [[invertible]] boʻlsa, har bir nolga teng boʻlmagan element teskari boʻlgan {{mvar|F}} maydon boʻyicha vaziyatni umumlashtirgan holda invertiatsiya qilinadi.<ref> {{Garvard iqtiboslari |oxirgi1=Lang |yil=2002 |nb=ha |loc=XIII.4.16 taklifi}}</ref> Matritsalar ustidan [[superring]]lar [[supermatritsa|supermatritsalar]] deb ataladi.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Reichl |yil=2004 |nb=ha |loc=L.2-bo'lim}}</ref>

Matritsalar har doim ham bitta halqada{{nbsp}}- yoki umuman biron-bir halqada barcha yozuvlarga ega emas. Bitta maxsus, lekin keng tarqalgan holat [[blok matritsasi|blok matritsalari]] boʻlib, u yozuvlari matritsalar boʻlgan matritsalar sifatida koʻrib chiqilishi mumkin. Yozuvlar kvadrat matritsalar bo'lishi shart emas va shuning uchun hech qanday [[ring (matematika)|ring]] a'zosi bo'lishi shart emas; lekin ularning o'lchamlari muayyan muvofiqlik shartlariga javob berishi kerak.

===Chiziqli xaritalar bilan aloqasi===
<math>\R^n \to \R^m</math> chiziqli xaritalari [[#linear maps|yuqorida ta'riflanganidek, {{mvar|m}}-by-{{mvar|n}} matritsalarga ekvivalentdir. ]]. Umuman olganda, har qanday chiziqli xarita {{math|''f''&thinsp;: ''V'' → ''W''}} chekli-[[Hamel o'lchami|o'lchovli]] [[vektor fazo]]lar oralig'ida bo'lishi mumkin. matritsa bilan tavsiflanadi {{math|1='''A''' = (''a{{sub|ij}}'')}}, [[asos (chiziqli) ni tanlagandan so'ng algebra)|asoslar]] {{matematika|'''v'''{{sub|1}}, ..., '''v'''{{sub|''n''}}}} {{mvar|V}}, va {{matematika|'''w'''{{sub|1}}, ..., '''w'''{{sub|''m''}} }} dan {{mvar|W}} (shuning uchun {{mvar|n}} {{mvar|V}} va {{mvar|m}} {{mvar|W}} oʻlchami), bu shunday
:<math>f(\mathbf{v}_j) = \sum_{i=1}^m a_{i,j} \mathbf{w}_i\qquad\mbox{for}\ j=1,\ldots, n.</math>
Boshqacha qilib aytganda, {{math|'''A'''}} ustunining {{mvar|j}} ustuni {{math|'''v'''{{sub|''j'' tasvirini ifodalaydi. }}}} {{mvar|W}} ning {{matematik|'''w'''{{sub|''I''}}}} bazis vektorlari bo'yicha; shuning uchun bu munosabat {{math|'''A'''}} matritsaning yozuvlarini yagona tarzda aniqlaydi. Matritsa asoslarni tanlashga bog'liq: turli xil asoslarni tanlash turli xil, ammo [[matritsa ekvivalentligi|ekvivalent matritsalar]]ni keltirib chiqaradi.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Greub |yil=1975 |nb=ha | loc=III.3-bo'lim}}</ref> Yuqoridagi aniq tushunchalarning ko'pini shu nuqtai nazardan qayta talqin qilish mumkin, masalan, transpoze matritsasi {{matematika|'''A'''{{sup|T}}}} {{matematik|'''A' tomonidan berilgan [[chiziqli xaritani ko'chirish|chiziqli xaritani ko'chirish]] ni tavsiflaydi ''}}, [[dual bo'shliq|dual asoslar]] haqida.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Greub |yil=1975 |nb=yes |loc=III.3.13-bo'lim}}</ref>

Bu xossalarni tabiiyroq qayta ko‘rsatish mumkin: <math>k</math> maydonidagi yozuvlar bilan [[matritsalar toifasi]] tarkibi sifatida ko‘paytirish bilan [[kategoriyalar ekvivalenti|ekvivalent]] chekli o‘lchovlilar toifasiga teng. [[vektor fazo]]lar va buning ustida chiziqli xaritalar maydon.<ref>{{harvp|Perrone|2024|bet=99-100}}</ref>

Umuman olganda, {{math|''m''×''n''}} matritsalar to'plamidan bepul modullar orasidagi {{mvar|R}}-chiziqli xaritalarni ifodalash uchun foydalanish mumkin {{mvar|R{. {sup|m}}}} va {{mvar|R{{sup|n}}}} birlik bilan ixtiyoriy halqa {{mvar|R}} uchun. Qachon {{math|1=''n'' = ''m''}} bu xaritalarning tarkibi mumkin va bu {{math|''n''× ning [[matritsali halqasini]] hosil qiladi. {{mvar|R{{sup|n}}}} ning [[endomorfizm halqasini]] ifodalovchi ''n''}} matritsalar.

===Matritsa guruhlari===
{{Asosiy|Matrisa guruhi}}
[[Guruh (matematika)|guruh]] — [[ikkilik amal]] bilan birga obʼyektlar toʻplamidan tashkil topgan matematik tuzilma, yaʼni maʼlum talablar qoʻyilgan holda istalgan ikkita obʼyektni uchinchiga birlashtiruvchi amal.< ref>Guruhdagi har qanday standart havolani ko'ring.<nowiki></ref></nowiki> Obyektlar matritsalar va guruh operatsiyasi matritsalarni ko'paytirish bo'lgan guruh ""matritsa" deb ataladi. guruh''.<ref>Qo'shimcha ravishda, guruh umumiy chiziqli guruhda [[Yopiq kichik to'plam|yopiq]] bo'lishi kerak.</ref><ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Beyker |yil=2003 |nb=ha |loc=Def. 1.30}}</ref> Har bir elementning guruhi teskari boʻlishi kerakligi sababli, eng umumiy matritsa guruhlari [[umumiy chiziqli guruh]]lar deb ataladigan maʼlum oʻlchamdagi barcha teskari matritsalar guruhlari hisoblanadi.''

Matritsalarning ko'paytmalari va teskarilari ostida saqlanadigan matritsalarning har qanday xususiyati keyingi matritsa guruhlarini aniqlash uchun ishlatilishi mumkin. Masalan, berilgan oʻlchamli va determinanti 1 ga teng boʻlgan matritsalar oʻzlarining umumiy chiziqli guruhini (yaʼni tarkibidagi kichikroq guruh) [[kichik guruh]] hosil qiladi, ular [[maxsus chiziqli guruh]] deb ataladi.<ref> {{Garvard iqtiboslari |oxirgi1=Beyker |yil=2003 |nb=ha |loc=Teorema 1.2}}</ref> [[ortogonal matritsa|Ortogonal matritsalar]], shart bilan aniqlanadi
<math display=block>\bold M^{\rm T} \bold M = \bold I,</math>
[[ortogonal guruh]] hosil qiladi.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Artin |yil=1991 |nb=yes |loc=4.5-bob}}</ref> Har bir ortogonal matritsada [[determinant]] 1 yoki −1. Determinant 1 bo'lgan ortogonal matritsalar ''maxsus ortogonal guruh'' deb nomlangan kichik guruhni tashkil qiladi.

Har bir [[cheklangan guruh]] matritsali guruhga [[izomorf]] bo‘ladi, buni [[simmetrik guruh]]ning [[muntazam tasviri]] ko‘rib chiqish orqali ko‘rish mumkin.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1= Rowen |yil=2008 |loc=Misol 19.2, p. 198 |nb=yes}}</ref> Umumiy guruhlarni nisbatan yaxshi tushunilgan matritsa guruhlari yordamida [[vakolatlilik nazariyasi]] yordamida oʻrganish mumkin.<ref>Vakillik nazariyasi yoki [[guruh vakili]] boʻyicha har qanday havolaga qarang. .</ref>

===Cheksiz matritsalar===
Cheksiz koʻp satr va/yoki ustunli matritsalarni ham koʻrib chiqish mumkin<ref>Hatto {{Garvard iqtiboslari |editor1-last=Itõ |yil=1987 |nb=ha}}</ref> “Matrisa” bandiga qarang. Garchi cheksiz obyektlar bo'lsa ham, bunday matritsalarni aniq yozib bo'lmaydi. Muhimi shundaki, to'plam indekslash satrlaridagi har bir element va to'plam indekslash ustunlaridagi har bir element uchun aniq belgilangan yozuv mavjud (bu indeks to'plamlari natural sonlarning kichik to'plamlari ham bo'lishi shart emas). Qo'shish, ayirish, skalyar ko'paytirish va transpozitsiyaning asosiy operatsiyalari hali ham muammosiz aniqlanishi mumkin; biroq, matritsalarni ko'paytirish natijaviy yozuvlarni aniqlash uchun cheksiz yig'indilarni o'z ichiga olishi mumkin va ular umuman aniqlanmagan.

Agar {{mvar|R}} birlikka ega boʻlgan har qanday halqa boʻlsa, toʻgʻri {{mvar|R}} moduli sifatida <math>M=\bigoplus_{i\in I}R</math> endomorfizmlari halqasi boʻladi. yozuvlari ''' ustunli chekli matritsalar''' <math>\mathrm{CFM}_I(R)</math> halqasiga izomorf <math>I\times I</math> tomonidan indekslanadi va ularning har bir ustunida faqat chekli ko'p nolga teng bo'lmagan yozuvlar mavjud. Chap {{mvar|R}} modul sifatida koʻrib chiqiladigan {{mvar|M}} endomorfizmlari natijasida oʻxshash obʼyekt, ''' qator chekli matritsalar''' <math>\mathrm{RFM}_I(R) hosil boʻladi. </math>, ularning har bir qatorida faqat chekli ko'p noldan farqli yozuvlar mavjud.

Agar chiziqli xaritalarni tasvirlash uchun cheksiz matritsalar ishlatilsa, unda quyidagi sabablarga ko'ra faqat chekli sonli nolga teng bo'lmagan yozuvlar ustunlariga ega bo'lgan matritsalardangina foydalanish mumkin. Chiziqli xaritani tavsiflash uchun {{math|'''A'''}} matritsa uchun {{math|''f''&thinsp;: ''V'' → ''W''}}, ikkalasi uchun asoslar joylar tanlangan bo'lishi kerak; Shuni esda tutingki, ta'rifga ko'ra, bu fazodagi har bir vektor yagona vektor asosli vektorlarning (cheklangan) chiziqli birikmasi sifatida yozilishi mumkin, shuning uchun [ ning (ustun) vektori{{nbsp}}{{mvar|ve}} sifatida yoziladi. [koeffitsient]]s, faqat chekli ko'p yozuvlar {{mvar|v{{sub|I}}}} nolga teng emas. Endi {{math|'''A'''}} ustunlari {{mvar|V}} ning individual bazis vektorlarining {{mvar|f}} tasvirlarini {{mvar|W} asosida tasvirlaydi. }, bu ustunlar faqat chekli ko'p nolga teng bo'lmagan yozuvlarga ega bo'lsagina mazmunli bo'ladi. {{math|'''A'''}} qatorlarida hech qanday cheklov yo'q, ammo: mahsulotda {{matematik|'''A''' · ''v''}} faqat cheksiz ko'p. {{mvar|v}} ning nolga teng boʻlmagan koeffitsientlari ishtirok etadi, shuning uchun uning har bir yozuvi, hattoki u mahsulotlarning cheksiz yigʻindisi sifatida berilgan boʻlsa ham, faqat cheksiz koʻp nolga teng boʻlmagan hadlarni oʻz ichiga oladi va shuning uchun yaxshi. belgilangan. Bundan tashqari, bu {{math|'''A'''}} ustunlarining chiziqli birikmasini hosil qilish bilan bog'liq bo'lib, ular faqat cheksiz ko'plarini samarali o'z ichiga oladi, shuning uchun natijada faqat chekli ko'p nolga teng bo'lmagan yozuvlar mavjud, chunki bu ustunlarning har biri shunday qiladi. . Berilgan turdagi ikkita matritsaning mahsuloti yaxshi aniqlangan (agar ustun-indeks va satr-indeks to'plamlari mos bo'lsa), bir xil turdagi va chiziqli xaritalar tarkibiga mos keladi.

Agar {{mvar|R}} [[norma (matematika)|normalangan]] halqa boʻlsa, u holda satr yoki ustun cheklilik shartini yumshatish mumkin. Norma mavjud bo‘lganda, chekli yig‘indilar o‘rniga [[mutlaq yaqinlashuvchi qator]] qo‘llanilishi mumkin. Misol uchun, ustun yig'indilari konvergent ketma-ketliklar bo'lgan matritsalar halqa hosil qiladi. Shunga o'xshab, qator yig'indilari yaqinlashuvchi qator bo'lgan matritsalar ham halqa hosil qiladi.

Cheksiz matritsalar [[Gilbert fazosi#Gilbert fazolaridagi operatorlar|Gilbert fazolaridagi operatorlarni]] tasvirlash uchun ham ishlatilishi mumkin, bu yerda konvergentsiya va [[uzluksiz funksiya|uzluksizlik]] savollari paydo bo‘ladi, bu esa yana qo‘yilishi kerak bo‘lgan muayyan cheklovlarga olib keladi. Biroq, matritsalarning aniq nuqtai nazari masalani chalkashtirib yuborishga intiladi,<ref>"Matritsalar nazariyasining ko'p qismi cheksiz o'lchovli bo'shliqlarga o'tmaydi va bu unchalik foydali emas, lekin ba'zida yordam beradi." {{Garvard iqtiboslari |oxirgi1=Halmos |yil=1982 |loc=p. 23, 5-bob |nb=yes}}</ref> va [[funksional tahlil]] ning mavhum va kuchliroq vositalaridan foydalanish mumkin.

===Bo'sh matritsa===
''Bo'sh matritsa'' qatorlar yoki ustunlar (yoki ikkalasi) soni nolga teng bo'lgan matritsadir.<ref>"Bo'sh matritsa: Agar satr yoki ustun o'lchami nolga teng bo'lsa, matritsa bo'sh hisoblanadi", [https: //omatrix.com/manual/glossary.htm Glossary] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090429015728/http://www.omatrix.com/manual/glossary.htm |date=2009-04-29 }}, O-Matrix v6 Foydalanuvchi uchun qoʻllanma</ref><ref>“ Kamida bitta oʻlchami nolga teng boʻlgan matritsa boʻsh deyiladi. matrisa", [https://system.nada.kth.se/unix/software/matlab/Release_14.1/techdoc/matlab_prog/ch_dat29.html MATLAB ma'lumotlar tuzilmalari] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20091228102653/http://www.system.nada.kth.se/unix/software/matlab/Release_14.1/techdoc/matlab_prog/ch_dat29. html |date=2009-12-28 }}</ref> Boʻsh matritsalar [[nol vektor fazo]] ishtirok etgan xaritalar bilan ishlashga yordam beradi. Masalan, agar {{math|'''A'''}} 3 ga 0 matritsa va {{math|'''B'''}} 0 ga 3 matritsa bo'lsa, u holda { {matematik|'''AB'''}} 3 o'lchovli {{mvar|V}} fazodan o'ziga bo'lgan nol xaritaga mos keladigan 3x3 nol matritsadir, shu bilan birga {{matematik|'''BA'''}} 0 ga 0 matritsadir. Bo'sh matritsalar uchun umumiy belgi mavjud emas, lekin ko'pchilik [[kompyuter algebrasi tizimi]] ular bilan yaratish va hisoblash imkonini beradi. 0 ga 0 matritsaning determinanti Leybnits formulasida determinant uchun 1 bo'lgan [[bo'sh mahsulot]]ga nisbatan quyidagicha 1 ga teng. Bu qiymat ham har qanday chekli o'lchovli o'lchovdan o'ziga xoslik xaritasi ekanligiga mos keladi. fazoning o'zi determinantga ega{{nbsp}}1, bu fakt ko'pincha determinantlarni tavsiflashning bir qismi sifatida ishlatiladi.

==Ilovalar==
Matritsalarning matematikada ham, boshqa fanlarda ham ko'plab qo'llanilishi mavjud. Ulardan ba'zilari faqat matritsadagi raqamlar to'plamining ixcham ko'rinishidan foydalanadilar. Masalan, [[o‘yin nazariyasi]] va [[iqtisod]] fanlarida [[to‘lov matritsasi]] ikki o‘yinchi uchun berilgan (cheklangan) strategiyalar to‘plamidan qaysi birini o‘yinchilar tanlaganiga qarab daromadni kodlaydi.<ref >{{Garvard iqtiboslari |oxirgi1=Fudenberg |oxirgi2=Tirol |yil=1983 |nb=ha |loc=Boʻlim 1.1.1}}</ref> [[Matn qazib olish]] va avtomatlashtirilgan [[tezaurus]] kompilyatsiyasi kuzatish uchun [[hujjat-term matritsasi|hujjat-term matritsasi]] kabi [[tf-idf]] dan foydalanadi. bir nechta hujjatlardagi ma'lum so'zlarning chastotalari.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Manning |yil=1999 |loc=Bo'lim 15.3.4 |nb=ha}}</ref>

Murakkab sonlar ma'lum haqiqiy 2 ga 2 matritsalar orqali ifodalanishi mumkin
:<math>a + ib \leftrightarrow \begin{bmatrix}
a & -b \\
b & a \end{bmatrix},</math>
bunda kompleks sonlar va matritsalarni qo'shish va ko'paytirish bir-biriga mos keladi. Misol uchun, 2 ga 2 aylanish matritsalari [[mutlaq qiymat]] 1 ning qandaydir murakkab soni bilan ko'paytirishni ifodalaydi, chunki [[#rotation matrix|yuqorida]]. Xuddi shunday talqin [[quaternion]]s<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Ward |year=1997 |loc=Ch. 2.8 |nb=yes}}</ref> va umuman [[Klifford algebrasi]]lar.

[[Hill shifrlash]] kabi dastlabki [[shifrlash]] usullari ham matritsalardan foydalangan. Biroq, matritsalarning chiziqli tabiati tufayli, bu kodlarni sindirish nisbatan oson.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Stinson |yil=2005 |loc=Ch. 1.1.5 va 1.2.4 |nb=yes}}</ref> [[Kompyuter grafikasi]] obyektlarni tasvirlash uchun matritsalardan foydalanadi; nazariy kamera kuzatuviga mos keladigan uch o‘lchamli obyektni ikki o‘lchovli ekranga proyeksiya qilish kabi vazifalarni bajarish uchun affin [[aylanish matritsasi|aylanish matritsalari]] yordamida obyektlarning o‘zgarishlarini hisoblash; va aniqlashtirish, xiralashtirish, qirralarni aniqlash va boshqalar kabi tasvir konvolyutsiyalarini qo'llash uchun.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Hisoblash mashinalari assotsiatsiyasi |yil=1979 |loc=Ch. 7 |nb=yes}}</ref> [[koʻpnomli halqa]] ustidagi matritsalar [[boshqaruv nazariyasi]]ni oʻrganishda muhim ahamiyatga ega.

[[Kimyo]] matritsalardan turli yoʻllar bilan foydalanadi, xususan, [[kimyoviy bogʻlanish|molekulyar bogʻlanish]] va [[spektroskopiya]] masalalarini muhokama qilish uchun [[kvant mexanikasi|kvant nazariyasi]] dan foydalanilganidan beri. Masalan, [[Hartri-Fok usuli]]ning [[molekulyar orbital]]larini olish uchun [[Ruthan tenglamalari]] ni yechishda qoʻllaniladigan [[qoplama matritsasi]] va [[Fok matritsasi]].

===Grafik nazariyasi===
[[Fayl:Labelled undirected graph.svg|150px|thumb|right|Qoʻshni matritsali yoʻnaltirilmagan grafik:
<math display="block">\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 va 0 va 1 \\
0, 1 va 0
\end{bmatrix}.</math>]]
[[cheklangan grafik]] ning [[qo‘shnilik matritsasi]] [[grafik nazariyasi]]ning asosiy tushunchasidir.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Godsil |last2=Royle |yil=2004 |nb=ha |loc=Ch. 8.1}}</ref> Grafikning qaysi uchlari chekka bilan bog'langanligini qayd qiladi. Ikki xil qiymatdan iborat bo'lgan matritsalar (1 va 0 mos ravishda "ha" va "yo'q" degan ma'noni anglatadi) [[mantiqiy matritsa|mantiqiy matritsalar]] deb ataladi. [[masofaviy matritsa|masofa (yoki xarajat) matritsasi]] qirralarning masofalari haqidagi maʼlumotlarni oʻz ichiga oladi.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Punnen |yil=2002 |nb=yes}}</ref> Bu tushunchalar [[web-sayt]]lar orqali ulangan [[giperhavola]]lar yoki yoʻllar bilan bogʻlangan shaharlar va hokazolarga nisbatan qoʻllanilishi mumkin, bu holda (agar ulanish tarmogʻi juda katta boʻlmasa) zich) matritsalar [[siyrak matritsa|siyrak]] bo'ladi, ya'ni bir nechta noldan farqli yozuvlarni o'z ichiga oladi. Shuning uchun [[tarmoq nazariyasi]]da maxsus moslashtirilgan matritsali algoritmlardan foydalanish mumkin.

===Tahlil va geometriya===
[[differentsiallanuvchi funksiya]] <math>f: \R^n \to \R</math> ning [[Gessian matritsasi]] {{mvar|ƒ}} ning [[ikkinchi hosilasi]]lardan iborat. bir necha koordinata yo'nalishlari haqida, ya'ni,<ref>{{Garvard iqtiboslari |so'nggi1=Lang |yil=1987a |nb=ha |loc=Ch. XVI.6}}</ref>
:<math>H(f) = \left [\frac {\partial^2f}{\qisman x_i \, \qisman x_j} \right ].</math>
[[Fayl:Saddle Point SVG.svg|left|thumb|[[Egar nuqtasi]] {{math|1=(''x'' = 0, ''y'' = 0)}} (qizil) funktsiyaning {{math|1=''f''&thinsp;(''x'',−''y'') = ''x''{{sup|2}} − ''y''{{sup|2}}}}, Gessi matritsasi <math>\begin{bmatrix}
2 va 0 \\
0 va -2
\end{bmatrix}</math> [[noaniq matritsa|noaniq]].]]U funksiyaning mahalliy oʻsish harakati haqidagi maʼlumotlarni kodlaydi: berilgan [[kritik nuqta (matematika)|kritik nuqta]] {{matematika. |1='''x''' = (''x''{{sub|1}}, ..., ''x{{sub|n}}'')}}, bu {{mvar|ƒ}} ning birinchi [[qisman hosilasi]]s <math>\partial f / \partial x_i</math> yoʻqolib ketadigan nuqta, funktsiya [[lokal minimum]] ga ega boʻladi, agar Gess matritsasi [[matritsaning aniqligi|musbat aniq]]. [[Kvadrat dasturlash]] matritsalarga biriktirilganlar bilan chambarchas bog'liq bo'lgan kvadratik funksiyalarning global minimal yoki maksimallarini topish uchun ishlatilishi mumkin (qarang: [[#quadratic forms|yuqorida]]).<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Nocedal |yil=2006 |loc=Ch. 16 |nb=yes}}</ref>

Geometrik vaziyatlarda tez-tez ishlatiladigan boshqa matritsa bu <math>f: \R^n \to \R^ ning <span id="Jacobi_matrix">[[Yakobiy matritsasi va determinant|Yakobi matritsasi]]</span>dir. m.</math> Agar {{math|''f''{{sub|1}}, ..., ''f{{sub|m}}''}} {{mvar|f}} komponentlarini bildiradi, keyin Yakobi matritsasi shunday aniqlanadi<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Lang |yil=1987a |nb =ha |loc=Ch. XVI.1}}</ref>
:<math>J(f) = \left [\frac {\partial f_i}{\partial x_j} \right ]_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}.</math>
Agar {{math|''n'' > ''m''}} bo'lsa va Yakobi matritsasi darajasi o'zining maksimal qiymatiga {{mvar|m}} erishsa, {{mvar|f}} da lokal ravishda teskari bo'ladi. bu nuqta, [[yopiq funksiya teoremasi]] tomonidan.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Lang |yil=1987a |nb=ha |loc=Ch. XVI.5}}. Kengaytirilgan va umumiy bayonot uchun qarang: {{Garvard iqtiboslari|oxirgi1=Lang|yil=1969|nb=ha|loc=Ch. VI.2}}</ref>

[[Qisman differensial tenglama]]larni tenglamaning eng yuqori tartibli differentsial operatorlari koeffitsientlari matritsasi hisobga olingan holda tasniflash mumkin. [[elliptik qisman differensial tenglama]]lar uchun bu matritsa musbat aniq boʻlib, koʻrilayotgan tenglamaning mumkin boʻlgan yechimlari toʻplamiga hal qiluvchi taʼsir koʻrsatadi.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Gilbarg |last2=Trudinger |yil =2001 |nb=ha}}</ref>

[[cheklangan elementlar usuli]] qisman differentsial tenglamalarni yechishning muhim raqamli usuli boʻlib, murakkab fizik tizimlarni simulyatsiya qilishda keng qoʻllaniladi. U ba'zi bir tenglamaning yechimini bo'lak-bo'lak chiziqli funksiyalar orqali yaqinlashishga harakat qiladi, bunda bo'laklar etarlicha nozik to'rga tegishli bo'lib tanlanadi, bu esa o'z navbatida matritsali tenglama sifatida qayta ishlanishi mumkin.<ref>{{Garvard iqtiboslari|last1=Šolin|yil=2005|nb=ha|loc=Ch. 2.5}}. Shuningdek qarang [[qattiqlik usuli]].</ref>

{{Tozalash}}

===Ehtimollar nazariyasi va statistikasi===
[[Fayl:Markov zanjiri SVG.svg|right|thumb|280px|Ikki xil Markov zanjiri. Grafikda "2" holatidagi zarrachalar soni (jami 1000 ta) ko'rsatilgan. Har ikkala chegaraviy qiymatni <math> tomonidan berilgan o'tish matritsalaridan aniqlash mumkin
\begin{bmatrix}
0,7 va 0\\
0,3 va 1
\end{bmatrix}</math> (qizil) va <math>
\begin{bmatrix}
0,7 va 0,2\\
0,3 va 0,8
\end{bmatrix}</math> (qora).]]
[[Stokastik matritsa|Stokastik matritsalar]] qatorlari [[ehtimollik vektori]] boʻlgan, yaʼni yozuvlari manfiy boʻlmagan va yigʻindisi bittaga teng boʻlgan kvadrat matritsalardir. Stokastik matritsalar chekli ko‘p holatlarga ega [[Markov zanjiri]]larni aniqlash uchun ishlatiladi.<ref>{{Garvard sitatlari |last1=Latouche |last2=Ramasvami |yil=1999 |nb=ha}}</ref> Bir qator stokastik matritsa hozirda qatorga mos keladigan holatda bo'lgan ba'zi zarrachaning keyingi pozitsiyasi uchun ehtimollik taqsimotini beradi. Markov zanjiriga o'xshash [[yutuvchi holat]]larning xossalari, ya'ni har qanday zarracha oxir-oqibat erishadi, o'tish matritsalarining xos vektorlaridan o'qilishi mumkin.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Mehata |last2= Srinivasan |yil=1978 |nb=ha |loc=Ch. 2.8}}</ref>

Statistika matritsalardan turli xil shakllarda ham foydalanadi.<ref>{{Iqtibos |last=Healy |first=Michael |title=Matrits for Statistika |yil=1986 |nashriyot=[[Oxford University Press]] |isbn=978- 0-19-850702-4 |author-link=Maykl Xili (statistik)}}</ref> [[Tasviriy statistika]] koʻpincha [[maʼlumotlar matritsasi (koʻp oʻlchovli statistika)|maʼlumotlar matritsalari]] sifatida ifodalanishi mumkin boʻlgan maʼlumotlar toʻplamlarini tavsiflash bilan bogʻliq boʻlib, keyinchalik ular [[ taʼsir qilishi mumkin. o'lchamlarni kamaytirish]] texnikasi. [[kovariance matritsasi]] bir nechta [[tasodifiy oʻzgaruvchi]]larning oʻzaro [[variance]]sini kodlaydi.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Krzanowski |yil=1988 |loc=Ch. 2.2., p. 60 |nb=yes}}</ref> Matritsalardan foydalanadigan yana bir usul [[chiziqli eng kichik kvadratlar]], bu usul cheklangan juftlik toʻplamiga yaqinlashadi {{math|(''x''{{sub|1}} , ''y''{{sub|1}}), (''x''{{sub|2}}, ''y''{{sub|2}}), ..., (''x''{{sub|''N''}}, ''y''{{sub|''N''}})}}, chiziqli funksiya bo'yicha
<math display=block>y_i \taxminan ax_i + b, \quad i = 1, \ldots, N</math>

matritsalarning [[birlik qiymatli dekompozitsiyasi]] bilan bog'liq bo'lgan matritsalar bo'yicha formulalanishi mumkin.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Krzanowski |yil=1988 |loc=Ch. 4.1 |nb=ha}}</ref>

[[Tasodifiy matritsa|Tasodifiy matritsalar]] — [[matritsaning normal taqsimoti]] kabi mos [[ehtimollik taqsimoti]]larga bogʻliq boʻlgan yozuvlari tasodifiy sonlar boʻlgan matritsalar. Ehtimollar nazariyasidan tashqari, ular [[sonlar nazariyasi]] dan [[fizika]] gacha boʻlgan sohalarda qoʻllaniladi.<ref>{{Garvard iqtiboslari |authorlink1=Brian Conrey|last1=Conrey |yil=2007 |nb=ha}} </ref><ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Zabrodin |last2=Brezin |last3=Kazakov |last4=Serban |last5=Wiegmann |yil=2006 |nb=ha}}</ref>

===Fizikadagi simmetriyalar va transformatsiyalar===
{{Bundan keyin|Fizikada simmetriya}}
Chiziqli o‘zgarishlar va ular bilan bog‘liq [[simmetriya|simmetriyalar]] zamonaviy fizikada asosiy o‘rin tutadi. Masalan, [[kvant maydon nazariyasi]]dagi [[elementar zarracha]]lar maxsus nisbiylik nazariyasining [[Lorents guruhi]] tasvirlari sifatida va aniqrogʻi, [[spin guruhi]] ostidagi xatti-harakatlariga koʻra tasniflanadi. [[Pauli matritsalari]] va undan umumiyroq [[gamma matritsalar]] ishtirokidagi konkret tasvirlar [[spinor]]lar kabi harakat qiluvchi [[fermion]]larning fizik tavsifining ajralmas qismi hisoblanadi.<ref>{{ Garvard iqtiboslari |oxirgi1=Itzykson |oxirgi2=Zuber |yil=1980 |nb=ha |loc=Ch. 2}}</ref> Eng yengil uchta [[kvark]] uchun [[maxsus unitar guruh]] SU(3) ishtirokidagi guruh-nazariy tasvir mavjud; O'z hisob-kitoblari uchun fiziklar [[Gell-Mann matritsalari]] deb nomlanuvchi qulay matritsa tasviridan foydalanadilar, ular kuchli yadroviy o'zaro ta'sirlarning zamonaviy tavsifining asosini tashkil etuvchi SU(3) [[o'lchov guruhi]] uchun ham qo'llaniladi. , [[kvant xromodinamikasi]]. [[Kabibbo-Kobayashi-Maskava matritsasi]], o'z navbatida, [[zaif o'zaro ta'sir]]lar uchun muhim bo'lgan asosiy kvark holatlar bir xil emas, balki ularni aniqlaydigan asosiy kvark holatlar bilan chiziqli bog'liqligini ifodalaydi. o'ziga xos va aniq [[mass]]larga ega bo'lgan zarralar.<ref>qarang: {{Garvard iqtiboslari |last1=Burgess |oxirgi2=Mur |yil=2007 |nb=ha |loc=1.6.3-boʻlim. (SU(3)), 2.4.3.2-bo'lim. (Kobayashi–Maskava matritsasi)}}</ref>

===Kvant holatlarining chiziqli birikmalari===
[[kvant mexanikasi]]ning birinchi modeli ([[Verner Heisenberg|Heisenberg]], 1925 yil) kvant holatlariga taʼsir qiluvchi cheksiz oʻlchovli matritsalar orqali nazariyaning operatorlarini ifodalagan.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Schiff |yil= 1968 |nb=ha |loc=Ch. 6}}</ref> Bu [[matritsa mexanikasi]] deb ham ataladi. Maxsus misollardan biri, kvant tizimining "aralash" holatini elementar, "sof" [[o'z holatlar]] ning chiziqli birikmasi sifatida tavsiflovchi [[zichlik matritsasi]]dir.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Bohm | yil=2001 |nb=ha |loc=II.4 va II.8-bo'limlar}}</ref>

Yana bir matritsa eksperimental zarrachalar fizikasining asosini tashkil etuvchi sochilish tajribalarini tavsiflash uchun asosiy vosita bo'lib xizmat qiladi: To'qnashuv reaksiyalari, masalan, [[zarrachalar tezlatgichi]]larda sodir bo'ladi, bu yerda o'zaro ta'sir qilmaydigan zarralar bir-biriga qarab yo'naladi va kichik o'zaro ta'sirda to'qnashadi. Natijada o'zaro ta'sir qilmaydigan zarralarning yangi to'plami bo'lgan zonani skalyar mahsulot sifatida tasvirlash mumkin. chiquvchi zarracha holatlari va kiruvchi zarracha holatlarining chiziqli birikmasi. Chiziqli birikma zarralar orasidagi mumkin bo'lgan o'zaro ta'sirlar haqidagi barcha ma'lumotlarni kodlaydigan [[S-matritsa]] deb nomlanuvchi matritsa tomonidan berilgan.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Weinberg |yil=1995 |nb=ha | loc=Ch. 3}}</ref>

===Oddiy rejimlar===
Matritsalarning fizikada umumiy qo'llanilishi chiziqli bog'langan garmonik tizimlarning tavsifidir. Bunday sistemalarning [[harakat tenglamalari]] matritsa ko‘rinishida tasvirlanishi mumkin, bunda massa matritsasi umumlashtirilgan tezlikni ko‘paytirib, kinetik muddatni beradi, [[kuch]] matritsa o‘zaro ta’sirlarni xarakterlash uchun siljish vektorini ko‘paytiradi. Yechimlarni olishning eng yaxshi usuli matritsa tenglamasini diagonallash orqali tizimning [[oʻz vektor]]larini, uning [[normal rejim]]larini aniqlashdir. Bu kabi usullar [[molekulalar]]ning ichki dinamikasi: oʻzaro bogʻlangan komponent atomlaridan tashkil topgan tizimlarning ichki tebranishlari haqida gap ketganda hal qiluvchi ahamiyatga ega.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Wherrett |yil=1987 |nb=ha |loc=part II}}</ref> Ular mexanik tebranishlar va tebranishlarni tavsiflash uchun ham kerak. elektr zanjirlari.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Riley |last2=Hobson |so'nggi3=Bence |yil=1997 |nb=ha |loc=7.17}}</ref>

===Geometrik optika===
[[Geometrik optika]] qoʻshimcha matritsali ilovalarni taqdim etadi. Bu taxminiy nazariyada yorug'likning [[yorug'lik to'lqini|to'lqin tabiati]] e'tiborga olinmaydi. Natijada [[nur (optika)|yorug'lik nurlari]] haqiqatdan ham [[nur (geometriya)|geometrik nurlar]] bo'lgan model paydo bo'ldi. Agar yorug'lik nurlarining optik elementlar tomonidan og'ishi kichik bo'lsa, [[ob'ektiv (optika)|linza]] yoki aks ettiruvchi elementning berilgan yorug'lik nuriga ta'sirini ikki komponentli vektorni ikkiga ko'paytirish sifatida ifodalash mumkin. -ikki matritsa [[nurlarni uzatish matritsasi tahlili]] deb ataladi: vektorning komponentlari yorug'lik nurining qiyaligi va uning optik o'qdan masofasi, matritsa esa optik elementning xususiyatlarini kodlaydi. Ikki turdagi matritsalar mavjud, ya'ni. linzalar yuzasida sinishni tavsiflovchi '' sinish matritsasi '' va boshqa sinish matritsasi qo'llaniladigan keyingi sinish yuzasiga mos yozuvlar tekisligining tarjimasini tavsiflovchi '' translyatsiya matritsasi ''.
Linzalar va/yoki aks ettiruvchi elementlarning birikmasidan iborat optik tizim oddiygina komponentlar matritsalari mahsuloti natijasida hosil bo'lgan matritsa bilan tavsiflanadi.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Gunter |yil=1990 |nb= ha |loc=Ch. 5}}</ref>

===Elektronika===
Elektronikada an'anaviy [[to'r tahlili]] va [[tugun tahlili]] matritsa bilan tasvirlanishi mumkin bo'lgan chiziqli tenglamalar tizimiga olib keladi.

Ko'pgina [[elektron komponent]]larning harakatini matritsalar yordamida tasvirlash mumkin. Komponentning kirish kuchlanishi {{math|''v''{{sub|1}}}} va kirish oqimi {{math|''I''{ {{mvar|A}} 2 o'lchovli vektor bo'lsin. Uning elementlari sifatida {sub|1}}}} va komponentning chiqish kuchlanishi bilan {{mvar|B}} 2 o‘lchovli vektor bo‘lsin. {{math|''v''{{sub|2}}}} va uning elementlari sifatida joriy {{math|''I''{{sub|2}}}} chiqaring. Keyin elektron komponentning harakatini {{math|1=''B'' = ''H'' · ''A''}} bilan tavsiflash mumkin, bu yerda {{mvar|H}} 2 x 2 bir [[elektr impedans|empedans]] element ({{mvar|''h''{{sub|12}}}}), bitta [[ruxsat]] elementni o'z ichiga olgan matritsa ({{mvar|''h''{{sub|21}}}}) va ikkita [[o'lchovsiz miqdor|o'lchovsiz]] element ({{math|''h''{{sub|11}}} } va {{matematika|''h''{{sub|22}}}}). Sxemani hisoblash endi matritsalarni ko'paytirishga kamayadi.

==Tarix==
Matritsalar [[chiziqli tenglama]]larni yechishda uzoq vaqtdan beri qoʻllanish tarixiga ega, ammo ular 1800-yillargacha massivlar sifatida tanilgan. Miloddan avvalgi 10–2-asrlarda yozilgan [[Xitoy matematikasi|Xitoycha matn]] ''[[Matematika sanʼati boʻyicha toʻqqiz bob]]'' [[chiziqli matematika tizimi] yechishda massiv usullaridan foydalanishning birinchi namunasidir. tenglamalar|bir vaqtda tenglamalar]],<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Shen |last2=Crossley |oxirgi3=Lun |yil=1999 |nb=ha}} keltirgan {{Garvard iqtiboslari |oxirgi1=Bretscher |yil=2005|nb=ha|loc=p. 1}}</ref> [[determinant]]lar tushunchasini oʻz ichiga oladi. 1545 yilda italyan matematigi [[Gerolamo Kardano]] ''Ars Magna'' asarini nashr qilganda Yevropaga bu usulni joriy qilgan.<ref name=":1">'' Diskret matematika'' 4-nashr. Dossey, Otto, Spense, Vanden Eynden, Addison Wesley tomonidan nashr etilgan, 2001 yil 10 oktyabr {{ISBN|978-0-321-07912-1}}, p. 564-565</ref> [[Yapon matematikasi|Yapon matematigi]] [[Seki Kova|Seki]] 1683-yilda bir vaqtda tenglamalarni yechish uchun bir xil massiv usullaridan foydalangan.<ref>{{kitabdan iqtibos |last1=Needham |first1 =Jozef |author-link1=Jozef Nidxem |oxirgi2=Vang Ling |author-link2=Vang Ling (tarixchi) |title=Xitoydagi fan va tsivilizatsiya |url=https://books.google.com/books?id=jfQ9E0u4pLAC&pg=PA117 |volume=III |yil=1959 |nashriyot=Kembrij Universitet matbuoti |joy=Kembrij |isbn=978-0-521-05801-8 |page=117}}</ref> Gollandiyalik matematik '' ''[[Yan de Vitt]] o'zining 1659-yilda chop etilgan ''Elements of Curves'' kitobida massivlar yordamida transformatsiyalarni ifodalagan. ' (1659).<ref name=":0">''Diskret matematika'' 4-nashr. Dossey, Otto, Spense, Vanden Eynden, Addison Wesley tomonidan nashr etilgan, 2001 yil 10 oktyabr {{ISBN|978-0-321-07912-1}}, p. 564</ref> 1700-1710 yillarda [[Gotfrid Vilgelm Leybnits]] axborot yoki yechimlarni yozib olish uchun massivlardan foydalanishni eʼlon qildi va 50 dan ortiq turli massivlar tizimi bilan tajriba oʻtkazdi.<ref name=":1"/> [[Gabriel Kramer. |Kramer]] [[Kramer qoidasi|uning qoidasi]] ni taqdim etdi 1750.

“Matrisa” (lotincha “bachadon”, “to‘g‘on” (ko‘paytirish uchun saqlanadigan odam bo‘lmagan urg‘ochi hayvon), “manba”, “kelib chiqishi”, “ro‘yxat” va “registr” atamasi ''[[ wikt: mater#Lotin|mater]]''—ona<ref>{{Iqtibos |url=https://merriam-webster.com/dictionary/matrix |title=Merriam-Webster lug'ati |access-date=2009-yil 20-aprel |publisher=Merriam-Webster}}</ref>) 1850-yilda [[Jeyms Jozef Silvestr]] tomonidan yaratilgan,<ref>Ko'pgina manbalarda shunday deyilgan JJ Silvestr 1848 yilda "matritsa" matematik atamasini kiritgan. Silvestr 1848 yilda hech narsa nashr etmagan. (Silvester 1848 yilda hech narsa nashr etmaganligini isbotlash uchun JJ Sylvester bilan HF Beyker, tahr., ''The Collected Mathematical Papers of Jeyms Joseph Sylvester'' (Kembrij, Angliya: Cambridge University Press, 1904) ga qarang), [https://books.google.com/books?id=r-kZAQAAIAAJ&pg=PR6 jild.]) Uning "matritsa" atamasi 1850 yilda J.J.Silvesterda (1850) "Maqolalarga qo'shimchalar"da uchraydi. Ushbu jurnalning sentyabr soni, "Teoremalarning yangi sinfi haqida" va Paskal teoremasi haqida, "" London, Edinburg va Dublin falsafiy jurnali va fan jurnali'', '''37''': 363-370. [https://books.google.com/books?id=CBhDAQAAIAAJ&pg=PA369 369-sahifadan]: "Buning uchun biz kvadrat bilan emas, balki m dan iborat cho'zinchoq atamalar tartibidan boshlashimiz kerak. satrlar va n ta ustunlar bu o'z-o'zidan determinant emas, balki matritsasi bo'lib, undan biz turli xil tizimlarni hosil qilishimiz mumkin. determinantlar ... "</ref> matritsani bugungi kunda [[kichik (chiziqli algebra)|kichik]] deb ataladigan bir nechta determinantlarni keltirib chiqaradigan obyekt deb tushunganlar, ya'ni dastlabkisidan kelib chiqadigan kichikroq matritsalarning determinantlari. ustunlar va qatorlarni olib tashlash orqali. 1851 yilgi maqolasida Silvestr shunday tushuntiradi:<ref>Jeyms Jozef Silvesterning toʻplangan matematik qogʻozlari: 1837–1853, [https://books.google.com/books?id=5GQPlxWrDiEC&pg=PA247 37-qogʻoz], p. 247</ref>

{{Blockquote|Men oldingi maqolalarda "Matritsa" atamalarning to'rtburchaklar majmuasi sifatida ta'riflagan edim, ulardan turli determinantlar tizimlari umumiy ota-onaning bachadonidan paydo bo'lishi mumkin.}}

[[Artur Kayli]] ilgari qilinganidek tekshirilayotgan koeffitsientlarning aylantirilmagan versiyalari bo'lmagan matritsalar yordamida geometrik o'zgarishlar haqida risolani nashr etdi. Buning o'rniga u qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish kabi amallarni ushbu matritsalarning o'zgarishi sifatida aniqladi va assotsiativ va taqsimlovchi xususiyatlarni ko'rsatdi. Keyli matritsalarni ko‘paytirishning o‘zgarmas xususiyatini hamda matritsalarni qo‘shishning kommutativ xususiyatini tadqiq qildi va ko‘rsatdi.<ref name=":1"/> Ilk matritsa nazariyasi massivlardan deyarli faqat determinantlar va Artur Keylining mavhum matritsasi bilan foydalanishini cheklab qo‘ygan edi. operatsiyalar inqilobiy edi. U tenglamalar tizimidan mustaqil matritsa kontseptsiyasini taklif qilishda muhim rol o'ynadi. 1858 yilda [[Artur Keyli|Keyli]] o'zining "Matritsalar nazariyasi bo'yicha xotiralar" asarini nashr etdi. Maqolalar II'' 475-496</ref><ref>{{Garvard iqtiboslari |editor1-last=Dieudonne |yil=1978 |loc=Vol. 1, Ch. III, p. 96 |nb=yes}}</ref> unda u [[Keyli-Gamilton teoremasi]]ni taklif qilgan va ko‘rsatgan.<ref name=":1"/>

Ingliz matematigi [[Kutbert Edmund Kullis]] 1913 yilda birinchi bo'lib matritsalar uchun zamonaviy qavs belgisini qo'llagan va u bir vaqtning o'zida {{math|1='''A''' = ['' yozuvidan muhim foydalanishni ko'rsatgan. a{{sub|i,j}}'']}} matritsani ifodalash uchun {{mvar|a{{sub|i,j}}}} {{mvar|i}}-chi qator va {{mvar|j}}-ustunni bildiradi.<ref name=":1"/>

Determinantlarni zamonaviy tadqiq qilish bir necha manbalardan kelib chiqqan.<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Knobloch |year=1994 |nb=yes}}</ref> [[sonlar nazariyasi|Raqam-nazariy]] muammolari [[Gauss]ga olib keldi. ]] [[kvadrat shakl]]larning koeffitsientlarini, yaʼni kabi ifodalarni bogʻlash. {{matematik|''x''{{sup|2}} + ''xy'' − 2''y''{{sup|2}},}} va [[chiziqli xarita]]lar uch o'lchovli matritsalarga. [[Gotthold Eyzenshteyn|Eyzenshteyn]] bu tushunchalarni yanada rivojlantirdi, jumladan, zamonaviy tilda aytganda, [[matritsa mahsuloti]]lar [[kommutativ boʻlmagan]] degan fikrni ham oʻz ichiga oladi. [[Ogustin-Lui Koshi|Koshi]] matritsa determinantining ta'rifi sifatida foydalangan holda birinchi bo'lib determinantlar haqidagi umumiy fikrlarni isbotladi {{math|1='''A''' = [''a{{ sub|i, j}}'']}} quyidagi: vakolatlarni {{mvar|a{{su|b=j|p=k}}}} bilan almashtiring {{mvar|a{{sub|jk}}}} [[polinom]] ichida
:<math>a_1 a_2 \cdots a_n \prod_{i < j} (a_j - a_i)\;</math>,
bu yerda <math>\textstyle\prod</math> ko'rsatilgan shartlarning [[ko'paytirish|mahsulot]] ni bildiradi. Shuningdek, u 1829 yilda simmetrik matritsalarning [[oʻz qiymati]]lari haqiqiy ekanligini koʻrsatdi.<ref>{{Garvard sitatlari |last1=Hokins |year=1975 |nb=yes}}</ref> [[Karl Gustav Jacob Jacobi|Jacobi]] "funktsional determinantlar" ni o'rgangan - keyinchalik [[Yakobi] deb nomlangan. matritsa va determinant|Yakobi determinanti Silvestr tomonidan — mahalliy (yoki [[cheksiz kichik]]) darajadagi geometrik oʻzgarishlarni tasvirlash uchun ishlatilishi mumkin, [[#Jacobi matritsasi|yuqoridagi]] ga qarang. [[Leopold Kronecker|Kronecker]] ''Vorlesungen über die Theorie der Determinanten''<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Kronecker |editor1-last=Hensel |yil=1897 |nb=ha}}</ref > va [[Karl Weierstrass|Weierstrass']] ''Zur Determinantentheorie'',<ref>{{Garvard iqtiboslari |last1=Weierstrass |yil=1915 |jild=3 |loc=pp. 271–286 |nb=yes}}</ref> ikkalasi ham 1903-yilda nashr etilgan boʻlib, birinchi boʻlib determinantlarga [[aksioma]]atik munosabatda boʻldi, bu esa Koshi formulasi kabi oldingi aniqroq yondashuvlardan farqli oʻlaroq. O'sha paytda determinantlar mustahkam o'rnatildi.

Ko'pgina teoremalar dastlab faqat kichik matritsalar uchun o'rnatildi, masalan, [[Keyli-Gamilton teoremasi]] 2×2 matritsalar uchun Keyli tomonidan yuqorida qayd etilgan memuarda, [[Uilyam Rouen Gamilton|Hamilton]] tomonidan 4× uchun isbotlangan. 4 ta matritsa. [[Georg Frobenius|Frobenius]] [[bilinear shakl]]lar ustida ish olib, teoremani barcha oʻlchamlarga umumlashtirdi (1898). Shuningdek, 19-asr oxirida [[Gauss-Iordaniyani bartaraf etish]] (hozirda [[Gaussni yoʻq qilish]] deb nomlanuvchi maxsus holatni umumlashtirish) [[Vilgelm Jordan (geodezist)|Vilgelm Jordan]] tomonidan oʻrnatildi. 20-asr boshlarida matritsalar chiziqli algebrada markaziy oʻrinni egalladi. O'tgan asrdagi [[giperkompleks sonlar]] tizimlari.

[[matritsalar mexanikasi]]ning [[Verner Geyzenberg|Geyzenberg]], [[Maks Born|Born]] va [[Paskual Jordan|Iordaniya]] tomonidan yaratilishi cheksiz koʻp qator va ustunli matritsalarni oʻrganishga olib keldi<ref>. {{Garvard iqtiboslari |oxirgi1=Mehra |oxirgi2=Rechenberg |yil=1987 |nb=ha}}</ref> Keyinchalik [[Jon fon Neyman|fon Neyman]] [[kvant mexanikasining matematik formulasini]] [[funksional tahlil|funksional analitik]] kabi tushunchalarni yanada rivojlantirish orqali amalga oshirdi. [[Gilbert fazosi]] lardagi [[chiziqli operator]]lar, juda qoʻpol qilib aytganda, [[Yevklid fazosi]] ga toʻgʻri keladi, lekin cheksiz [[Hamel o'lchami|mustaqil yo'nalishlar]] bilan.

===Matematikada "matritsa" so'zining boshqa tarixiy qo'llanilishi===
Bu so'z tarixiy ahamiyatga ega bo'lgan kamida ikkita muallif tomonidan g'ayrioddiy tarzda ishlatilgan.

[[Bertrand Russell]] va [[Alfred North Whitehead]] ''[[Principia Mathematica]]'' asarida (1910–1913) o'zlarining [[qaytariluvchanlik aksiomasi]] kontekstida "matritsa" so'zidan foydalanadilar. Ular bu aksiomani har qanday funktsiyani ketma-ket pastroq turga qisqartirish vositasi sifatida taklif qildilar, shunda "pastki" (0 tartib)da funktsiya uning [[kengaytma (predikat mantiqi)|kengaytma] bilan bir xil bo'ladi:<ref >Whitehead, Alfred North; va Russell, Bertrand (1913) ''Principia Mathematica to *56'', Kembrij at University Press, Kembrij Buyuk Britaniya (1962 yilda qayta nashr etilgan) cf 162-bet.</ref>

{{Blockquote|Oʻzgaruvchilar koʻp boʻlishidan qatʼi nazar, [[koʻrinadigan oʻzgaruvchi]]larni oʻz ichiga olmaydi, har qanday funksiyaga “matritsa” nomini beraylik. Keyin, matritsadan boshqa har qanday mumkin bo'lgan funksiya matritsadan umumlashtirish yordamida, ya'ni ko'rib chiqilayotgan funktsiya barcha mumkin bo'lgan qiymatlar bilan yoki argumentlardan birining ba'zi bir qiymati bilan to'g'ri ekanligi haqidagi taklifni hisobga olgan holda, boshqa argument yoki argumentlar qoladi. aniqlanmagan.}}

Masalan, {{mvar|x}} va {{mvar|y}} ikkita oʻzgaruvchidan iborat {{math|P(''x, y'')}} funksiyani ''to'plam''ga qisqartirish mumkin. bitta o'zgaruvchining funktsiyalari, masalan, {{mvar|y}}, "individuallar" ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari uchun funktsiyani "ko'rib chiqish" orqali {{mvar|x}} oʻzgaruvchisi oʻrniga {{mvar|a{{sub|i}}}} almashtirildi. Va keyin bitta o'zgaruvchining {{mvar|y}} funktsiyalari to'plami, ya'ni {{math| ∀ ''a{{sub|i}}'': P (''a{{sub|i}}, y'')}}, funktsiyani "ko'rib chiqish" orqali qiymatlarning "matritsasi" ga keltirilishi mumkin {{mvar|y}} oʻzgaruvchisi oʻrniga almashtirilgan {{mvar|b{{sub|i}}}} "individuallar" ning barcha mumkin boʻlgan qiymatlari uchun:
<math display=block>\forall b_j \forall a_i : \phi(a_i, b_j).</math>

[[Alfred Tarski]] oʻzining 1946-yilgi “Mantiqqa kirish” asarida “matritsa” soʻzini matematik mantiqda qoʻllanilgan [[haqiqat jadvali]] tushunchasi bilan sinonim sifatida ishlatgan.<ref>Tarski, Alfred; (1946) ''Mantiqqa kirish va deduktiv fanlar metodologiyasi'', Dover Publications, Inc, New York NY, {{ISBN|0-486-28462-X}}.</ref>

==Shuningdek qarang==
{{Portal|Matematika}}
{{Div col|colwidth=30em}}

* [[Nomlangan matritsalar roʻyxati]]
* {{izohli havola|Algebraik ko'plik}}
* {{izohli havola|Geometrik ko'plik}}
* {{Izohlangan havola|Gram-Shmidt jarayoni}}
* [[Irregular matritsa]]
* {{Izohlangan havola|Matritsa hisobi}}
* {{Izohlangan havola|Matritsa funktsiyasi}}
* [[Matritsani ko'paytirish algoritmi]]
* [[Tensor]] — Istalgan sonli indekslar bilan matritsalarni umumlashtirish
* {{Izohlangan havola|Bogemiya matritsalari}}
* [[Matritsalar toifasi]] — Matritsalar va ularni koʻpaytirish orqali hosil boʻlgan algebraik tuzilma
{{div col end}}

==Eslatmalar==
{{Reflist|colwidth=30em}}
{{Reflist|guruh=nb|3}}

==Ma'lumotnomalar==
* {{Iqtibos |birinchi1=Hovard |oxirgi1=Anton |yil=1987 |isbn=0-471-84819-0 |sarlavha=Elementar chiziqli algebra |nashr=5-nashr |nashri=[[John Wiley & Sons|Wiley]] | joy=Nyu-York}}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Arnold |birinchi1=Vladimir I. |muallif1-havola=Vladimir Arnold |oxirgi2=Kuk |birinchi2=Rojer |muallif2-link=Rojer Kuk (matematik) |sarlavha=Oddiy differensial tenglamalar |nashriyot=[[ Springer-Verlag]] |joy=Berlin, DE; Nyu-York, NY |isbn=978-3-540-54813-3 |yil=1992}}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Artin |birinchi1=Maykl |muallif1-havola=Maykl Artin |nomi=Algebra |nashriyotchi=[[Prentis Xoll]] |isbn=978-0-89871-510-1 |yil=1991}}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Hisoblash mashinalari assotsiatsiyasi |nomi=Kompyuter grafikasi |nashriyotchi=Tata McGraw–Hill |isbn=978-0-07-059376-3 |yil=1979}}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Beyker |birinchi1=Endryu J. |sarlavha=Matritsali guruhlar: Yolgʻon guruhi nazariyasiga kirish |nashriyotchi=Springer-Verlag |joy=Berlin, DE; Nyu-York, NY |isbn=978-1-85233-470-3 |yil=2003 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/matrixgroupsintr0000bake }}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Bau III |birinchi1=David |oxirgi2=Trefethen |birinchi2=Lloyd N. |muallif2-havola=Lloyd N. Trefethen |sarlavha=Raqamli chiziqli algebra |nashriyotchi=Sanoat va amaliy matematika jamiyati |joy= Filadelfiya, Pensilvanya |isbn=978-0-89871-361-9 |yil=1997}}
* {{Iqtibos |birinchi1=Raymond A. |oxirgi1=Beauregard |birinchi2=Jon B. |oxirgi2=Fraleigh |yil=1973 |isbn=0-395-14017-X |title=Chiziqli algebra boʻyicha birinchi kurs: ixtiyoriy Guruhlar, halqalar va maydonlarga kirish |nashriyotchi=[[Houghton Mifflin Co.]] |joy=Boston |url-access=registration |url=https://archive.org/details/firstcourseinlin0000beau }}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Bretscher |birinchi1=Otto |sarlavha=Ilovalar bilan chiziqli algebra |nashriyot=Prentis Xoll |nashr=3-chi |yil=2005}}
* {{Iqtibos |birinchi1=Richard |oxirgi1=Bronson |yil=1970 |lccn=70097490 |sarlavha=Matritsa usullari: Kirish |nashriyot=[[Academic Press]] |joy=Nyu-York}}
* {{Iqtibos |last1=Bronson |birinchi1=Richard |title=Schaumning matritsa operatsiyalari nazariyasi va muammolari konturi |nashriyotchi=[[McGraw–Hill]] |joy=Nyu-York |isbn=978-0-07-007978- 6 |yil=1989}}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Braun |birinchi1=Uilyam C. |sarlavha=Matritsalar va vektor fazolari |nashriyotchi=[[Marsel Dekker]] |joy=Nyu-York, NY |isbn=978-0-8247-8419-5 | yil=1991 |url-kirish=roʻyxatga olish |url=https://archive.org/details/matricesvectorsp0000brow }}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Koburn |birinchi1=Nataniel |sarlavha=Vektor va tensor tahlili |nashriyotchi=Macmillan |joy=Nyu-York, NY |oclc=1029828 |yil=1955}}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Konrey |birinchi1=J. Brayan |title=Eliptik egri chiziqlar va tasodifiy matritsalar nazariyasi darajalari |nashriyotchi=[[Kembridge University Press]] |isbn=978-0-521-69964-8 |yil=2007}}
* {{Iqtibos |birinchi1=Jon B. |oxirgi1=Fraleigh |yil=1976 |isbn=0-201-01984-1 |nomi=Abstrakt algebra boʻyicha birinchi kurs |nashr=2-nashriyotchi=[[Addison-Uesli] ] |joy=Oʻqish}}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Fudenberg |birinchi1=Drew |oxirgi2=Tirol |birinchi2=Jan |muallif2-link=Jan Tirol |sarlavha=Oʻyin nazariyasi |nashriyotchi=[[MIT Press]] |yil=1983}}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Gilbarg |birinchi1=Devid |oxirgi2=Trudinger |birinchi2=Nil S. |muallif2-link=Neil Trudinger |sarlavha=Ikkinchi tartibli elliptik qisman differensial tenglamalar |nashriyotchi=Springer-Verlag |joy=Berlin, DE; Nyu-York, NY |nashr=2-nashr |isbn=978-3-540-41160-4 |yil=2001}}
* {{Iqtibos |birinchi1=Kris |oxirgi1=Godsil |muallif-link1=Kris Godsil |birinchi2=Gordon |oxirgi2=Royl |author-link2=Gordon Royl |nomi=Algebraik grafik nazariyasi |nashriyotchi=Springer-Verlag |joy=Berlin , DE; Nyu-York, NY |seriya=Matematikadan Bitiruv matnlari |isbn=978-0-387-95220-8 |yil=2004 |jild=207}}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Golub |birinchi1=Gen H. |muallif1-havola=Gen H. Golub |oxirgi2=Van qarzi |birinchi2=Charlz F. |muallif2-havola=Charlz F. Van qarzi |sarlavha=Matritsa hisoblari | nashriyotchi=Jons Xopkins |nashr=3-chi |isbn=978-0-8018-5414-9 |yil=1996}}
* {{Iqtibos |last1=Greub |first1=Verner Xildbert |sarlavha=Chiziqli algebra |nashriyotchi=Springer-Verlag |joy=Berlin, DE; Nyu-York, NY |seriya=Matematikadan Bitiruv Matnlari |isbn=978-0-387-90110-7 |yil=1975}}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Halmos |birinchi1=Pol Richard |muallif1-havola=Pol Xalmos |sarlavha=Hilbert kosmik muammolar kitobi |nashriyotchi=Springer-Verlag |joy=Berlin, DE; Nyu-York, NY |nashr=2-chi |seriya=Matematikadan Bitiruv matnlari |isbn=978-0-387-90685-0 |mr=675952 |yil=1982 |jild=19}}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Horn |birinchi1=Rojer A. |muallif1-havola=Rojer Xorn |oxirgi2=Jonson |birinchi2=Charlz R. |muallif2-havola=Charlz Royal Jonson |sarlavha=Matrisa tahlili |nashriyot=Kembrij universiteti matbuoti |isbn=978-0-521-38632-6 |yil=1985}}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Uy egasi |birinchi1=Alston S. |sarlavha=Raqamli tahlilda matritsalar nazariyasi |nashriyotchi=[[Dover Publications]] |joy=Nyu-York, NY |mr=0378371 |yil=1975}}
* {{Iqtibos |birinchi1=Ervin |oxirgi1=Kreyszig |yil=1972 |isbn=0-471-50728-8 |sarlavha=Kengaytirilgan muhandislik matematikasi |nashr=3-nashriyotchi=[[John Wiley & Sons|Wiley]] | joy = Nyu-York |url=https://archive.org/details/advancedengineer00krey}}.
* {{Iqtibos |oxirgi1=Krzanowski |birinchi1=Wojtek J. |sarlavha=Koʻp oʻlchovli tahlil tamoyillari |nashriyot=Klarendon Press Oksford universiteti matbuoti |seriya=Oksford statistik fanlar seriyasi |isbn=978-0-19-852211-9 | mr=969370 |yil=1988 |tovush=3}}
* {{Iqtibos |muharrir1-oxirgi=Ito |muharrir1-birinchi=Kiyosi |sarlavhasi=Matematikaning entsiklopedik lugʻati. jild. I-IV |nashriyotchi=MIT Press |nashr=2-chi |isbn=978-0-262-09026-1 |mr=901762 |yil=1987}}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Lang |birinchi1=Serge |muallif1-havola=Serj Lang |sarlavha=Tahlil II |nashriyot=[[Addison-Uesli]] |yil=1969}}
* {{Iqtibos |last1=Lang |first1=Serge |title=Bir nechta oʻzgaruvchilar hisobi |nashriyotchi=Springer-Verlag |joy=Berlin, DE; Nyu-York, NY |nashr=3-nashr |isbn=978-0-387-96405-8 |yil=1987a |url=https://archive.org/details/calculusofsevera0000lang}}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Lang |first1=Serge |title=Chiziqli algebra |nashriyotchi=Springer-Verlag |joy=Berlin, DE; Nyu-York, NY |isbn=978-0-387-96412-6 |yil=1987b}}
* {{Lang algebrasi}}
* {{Iqtibos |last1=Latouche |first1=Guy |last2=Ramaswami |first2=Vaidyanathan |title=Stokastik modellashtirishda matritsali analitik usullarga kirish |nashriyotchi=Sanoat va amaliy matematika jamiyati |joy=Filadelfiya, PA=1 |isbn=978-0-89871-425-8 |yil=1999}}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Manning |birinchi1=Kristofer D. |oxirgi2=Schütze |birinchi2=Hinrich |title=Tabiiy tillarni statistik qayta ishlash asoslari |nashriyotchi=MIT Press |isbn=978-0-262-13360-9 |yil =1999}}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Mehata |birinchi1=KM |oxirgi2=Srinivasan |birinchi2=SK |sarlavha=Stokastik jarayonlar |nashriyotchi=McGraw–Hill |joy=Nyu-York, NY |isbn=978-0-07-096612-3 |yil=1978}}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Mirskiy |birinchi1=Leonid |muallif-havola=Leon Mirskiy |title=Chiziqli algebraga kirish |url=https://books.google.com/books?id=ULMmheb26ZcC&q=linear+algebra+ determinant&pg=PA1 |nashriyot=Courier Dover nashrlari |isbn=978-0-486-66434-7 |yil=1990}}
* {{Iqtibos |birinchi1=Evar D. |oxirgi1=Nering |yil=1970 |sarlavha=Chiziqli algebra va matritsa nazariyasi |nashr=2-nashriyotchi=[[John Wiley & Sons|Wiley]] |joy=Nyu-York |lccn =76-91646}}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Nocedal |birinchi1=Xorxe |oxirgi2=Rayt |birinchi2=Stiven J. |sarlavha=Raqamli optimallashtirish |nashriyotchi=Springer-Verlag |joy=Berlin, DE; Nyu-York, NY |nashr=2-nashr |isbn=978-0-387-30303-1 |yil=2006 |sahifa=449}}
* {{Iqtibos |last1=Oualline |first1=Stiv |title=Amaliy C++ dasturlash |nashriyotchi=[[O'Reilly Media|O'Reilly]] |isbn=978-0-596-00419-4 |yil=2003} }
* {{Iqtibos |oxirgi = Perrone |birinchi = Paolo |sarlavha = Boshlang'ich kategoriya nazariyasi
|sana = 2024 |nashriyot = World Scientific|doi = 10.1142/9789811286018_0005
|isbn = 978-981-12-8600-1|url = https://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/13670}}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Matbuot |birinchi1=Uilyam H. |oxirgi2=Flanneri |birinchi2=Brian P. |oxirgi3=Teukolskiy |birinchi3=Shoul A. |muallif3-havola=Saul Teukolskiy |oxirgi4=Vetterling |birinchi4=Uilyam T |title=FORTRANda raqamli retseptlar: The Art of Ilmiy hisoblash |chapter-url=https://mpi-hd.mpg.de/astrophysik/HEA/internal/Numerical_Recipes/f2-3.pdf |publisher=Kembridge University Press |nashr=2nd |yil=1992 |bob=LU Parchalanish va uning ilovalari |sahifalar=34–42 |url-status=yaroqsiz |archive-url=https://web.archive.org/web/20090906113144/http://www.mpi-hd.mpg.de/astrophysik/HEA/internal/Numerical_Recipes/f2-3.pdf |arxiv-date =2009-09-06}}
* {{ iqtibos |birinchi1=Murrey H. |oxirgi1=Protter | birinchi2=Kichik Charlz B. | last2=Morrey |yil=1970 |lccn=76087042 |title=Analitik geometriya bilan kollej hisobi |nashr=2-nashriyotchi=[[Addison-Uesli]] |joy=Oʻqish}}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Punnen |birinchi1=Ibrohim P. |oxirgi2=Gutin |birinchi2=Gregori |title=Sayohatchi sotuvchi muammosi va uning oʻzgarishlari |noshir=Kluwer Academic Publishers |joy=Boston, MA |isbn=978-1 -4020-0664-7 |yil=2002}}
* {{Iqtibos |last1=Reichl |birinchi1=Linda E.|muallif-havola=Linda Reichl |title=Betartiblikka oʻtish: konservativ klassik tizimlar va kvant koʻrinishlari |nashriyotchi=Springer-Verlag |joy=Berlin, DE; Nyu-York, NY |isbn=978-0-387-98788-0 |yil=2004}}
* {{Iqtibos |last1=Rowen |birinchi1=Luis Halle |sarlavha=Bitiruvchi algebrasi: nokommutativ koʻrinish |nashriyotchi=[[Amerika matematika jamiyati]] |joy=Providence, RI |isbn=978-0-8218-4153-2 | yil=2008}}
* {{Iqtibos |last1=Šolin |first1=Pavel |title=Qisman differensial tenglamalar va sonli elementlar usuli |nashriyotchi=[[Wiley-Interscience]] |isbn=978-0-471-76409-0 |yil=2005} }
* {{Iqtibos |oxirgi1=Stinson |birinchi1=Duglas R. |nomi=Kriptografiya |nashriyot=Chapman & Hall/CRC |seriya=Diskret matematika va uning ilovalari |isbn=978-1-58488-508-5 |yil=2005 }}
* {{Iqtibos |last1=Stoer |birinchi1=Jozef |oxirgi2=Bulirsch |birinchi2=Roland |title=Raqamli tahlilga kirish |nashriyotchi=Springer-Verlag |joy=Berlin, DE; Nyu-York, NY |nashr=3-nashr |isbn=978-0-387-95452-3 |yil=2002}}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Vard |birinchi1=JP |sarlavha=Kvaternionlar va Kayli raqamlari |nashriyotchi=Kluwer Akademik Publishers Group |joy=Dordrecht, NL |seriya=Matematika va uning ilovalari |isbn=978-0-7923-4513- 8 |mr=1458894 |yil=1997 |vom=403 |doi=10.1007/978-94-011-5768-1 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/quaternionscayle0000ward }}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Volfram |birinchi1=Stiven |muallif1-havola=Stiven Volfram |nomi=Matematika kitobi |nashriyotchi=Wolfram Media |joy=Champaign, IL |nashr=5-chi |isbn=978-1-57955-022 -6 |yil=2003}}

===Fizika ma'lumotnomalari===
* {{Iqtibos |oxirgi=Bom |birinchi=Arno |sarlavha=Kvant mexanikasi: asoslar va ilovalar |nashriyotchi=Springer |yil=2001 |isbn=0-387-95330-2}}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Bergess |birinchi1=Cliff |oxirgi2=Mur |birinchi2=Guy |title=Standart model. Primer |nashriyot=Kembrij universiteti nashriyoti |yil=2007 |isbn=978-0-521-86036-9}}
* {{Iqtibos |oxirgi=Gyunter |birinchi=Robert D. |nomi=Zamonaviy optika |nashriyotchi=Jon Uiley |yil=1990 |isbn=0-471-60538-7}}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Itzykson |birinchi1=Klod |oxirgi2=Zuber |birinchi2=Jan-Bernard |nomi=Kvant maydon nazariyasi |nashriyotchi=McGraw–Hill |yil=1980 |isbn=0-07-032071-3ur | -access=ro'yxatdan o'tish |url=https://archive.org/details/quantumfieldtheo0000itzy }}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Riley |birinchi1=Kennet F. |oxirgi2=Xobson |birinchi2=Maykl P. |oxirgi3=Bens |birinchi3=Stiven J. |sarlavha=Fizika va muhandislik uchun matematik usullar |nashriyot=Kembrij universiteti matbuoti | yil=1997 |isbn=0-521-55506-X}}
* {{Iqtibos |oxirgi=Schiff |birinchi=Leonard I. |nomi=Kvant mexanikasi |nashr=3-nashriyotchi=McGraw–Hill |yil=1968}}
* {{Iqtibos |oxirgi=Vaynberg |birinchi=Stiven |sarlavha=Maydonlarning kvant nazariyasi. 1-jild: Fondlar |nashriyot=Kembrij universiteti nashriyoti |yil=1995 |isbn=0-521-55001-7 |url=https://archive.org/details/quantumtheoryoff00stev}}
* {{Iqtibos |oxirgi=Wherrett |birinchi=Brian S. |yil=1987 |sarlavha=Atomlar, molekulalar va qattiq jismlar uchun guruh nazariyasi |nashriyotchi=Prentice–Hall International |isbn=0-13-365461-3}}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Zabrodin |birinchi1=Anton |oxirgi2=Brezin |birinchi2=Edouard |oxirgi3=Kazakov |birinchi3=Vladimir |oxirgi4=Serban |birinchi4=Didina |oxirgi5=Vigman |birinchi5=Paul |title=Rannning ilovalari Fizikadagi matritsalar (NATO II ilmiy seriyasi: Matematika, fizika va kimyo) |nashriyotchi=[[Springer-Verlag]] |joy=Berlin, DE; Nyu-York, NY |isbn=978-1-4020-4530-1 |yil=2006}}

===Tarixiy manbalar===
* A. Kayli ''Matritsalar nazariyasi bo'yicha memuar''. Fil. Trans. 148 1858 17–37; Matematika. Maqolalar II 475–496
* {{Citation |last1=Bocher |first1=Maxime |muallif1-link=Maxime Bocher |title=Yuqori algebraga kirish |nashriyot=[[Dover Publications]] |joy=Nyu-York, NY |isbn=978-0-486 -49570-5 |yil=2004}}, 1907 yilgi asl nashrning qayta nashri
* {{Iqtibos |oxirgi1=Keyli |birinchi1=Artur |muallif1-havola=Artur Kayli |title=Artur Kaylining toʻplangan matematik maqolalari |url=https://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=ABS3153.0001.001;didno=ABS3153.0001.001 ;view=image;seq=00000140 |noshir=[[Kembrij universiteti nashriyoti]] |yil=1889 |jild=I (1841–1853) |sahifalar=123–126}}
* {{Iqtibos |tahrirlovchi1-oxirgi=Dieudonne |muharrir1-birinchi=Jan |muharrir1-havola=Jan Dieudonne |sarlavha=Abrége d'histoire des mathematiques 1700-1900 |nashriyotchi=Hermann,Fermann |joy=9=Paris=8 | }
* {{Iqtibos |oxirgi1=Hokins |birinchi1=Tomas |sarlavha=Koshi va matritsalarning spektral nazariyasi |mr=0469635 |yil=1975 |jurnal=[[Historia Mathematica]] |issn=0315-0860 |jild=2 | sahifalar=1–29 |doi=10.1016/0315-0860(75)90032-4|doi-access= }}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Knobloch |birinchi1=Eberhard | muallif-havola = Eberxard Knobloch |sarlavha=Tarix va matematika kesishmasi |nashriyotchi=Birkhäuser |joy=Bazel, Boston, Berlin |seriya=Science Networks Historical Studies |mr=1308079 |yil=1994 |jild=15 |bob=Kimdan Gauss to Weierstrass: determinant nazariyasi va uning tarixiy baholashlar |sahifalar=51–66}}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Kroneker |birinchi1=Leopold |muallif1-havola=Leopold Kroneker |muharrir1-oxirgi=Hensel |muharrir1-birinchi=Kurt |tahrir1-havola=Kurt Hensel |sarlavha=Leopold Kronekerning Werke |url=https://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=AAS8260.0002.001 |nashriyotchi=Teubner |yil=1897}}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Mehra |birinchi1=Jagdish |oxirgi2=Rechenberg |birinchi2=Helmut |author-link=Jagdish Mehra|author-link2=Helmut Rechenberg|title=Kvant nazariyasining tarixiy rivojlanishi |nashriyotchi=[[Springer- Verlag]] |joy=Berlin, DE; Nyu-York, NY |nashr=1-nashr |isbn=978-0-387-96284-9 |yil=1987}}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Shen |birinchi1=Kangshen |oxirgi2=Krossli |birinchi2=Jon N. |oxirgi3=Lun |birinchi3=Entoni Vah-Cheung |sarlavha=Matematik sanʼatning toʻqqiz bobi, hamrohlik va sharh |nashriyot=[ [Oxford University Press]] |nashr=2-chi |isbn=978-0-19-853936-0 |yil=1999}}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Weierstrass |birinchi1=Karl |muallif1-havola=Karl Weierstrass |sarlavha=Toʻplangan asarlar |url=https://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c =umhistmath;idno=AAN8481.0003.001 |yil=1915 |tovush=3}}

==Qo'shimcha o'qish==
* {{SpringerEOM|title=Matrix|id=p/m062780}}
* {{Iqtibos |sarlavha=Matrix taomnomasi |url=https://math.uwaterloo.ca/~hwolkowi//matrixcookbook.pdf |kirish sanasi=2014-yil 24-mart }}
* {{Iqtibos |oxirgi1=Bruks |birinchi1=Mayk |sarlavha=Matrisa uchun qoʻllanma |url=https://ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/intro.html |nashri=[[ Imperial kolleji]] |joy=London |yil=2005 |kirish sanasi=2008-yil 10-dekabr |arxiv-date=16 dekabr 2008 yil |arxiv-url=https://web.archive.org/web/20081216124433/http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/intro .html |url-status=o'lik }}

==Tashqi havolalar==
{{Opa-singil loyiha havolalari|d=y|c=Kategoriya:matritsa|b=Chiziqli algebra|v=Chiziqli algebra#Matritsalar|s=no|m=no|mw=no|wikt=matritsa|voy=no|turlar= no|q=no|n=no}}
* [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Matrices_and_determinants/ MacTutor: Matritsalar va determinantlar]
* [https://economics.soton.ac.uk/staff/aldrich/matrices.htm Matritsalar va chiziqli algebra eng dastlabki foydalanish sahifalarida]
* [https://jeff560.tripod.com/matrices.html Matritsalar va vektorlar uchun belgilarning eng qadimgi qo'llanilishi]

{{Chiziqli algebra}}
{{Tensorlar}}
{{hokimiyat nazorati}}

[[Kategoriya:Matritsalar| ]]