Darajaga koʻtarish

Arifmetik operatsiyalar Qoʻshish (+) 1-qoʻshiluvchi + 2-qoʻshiluvchi = yigʻindi Ayirish (−) Kamayuvchi − ayriluvchi = ayirma Koʻpaytirish (×) 1-koʻpayuvchi × 1-koʻpayuvchi = koʻpaytma Boʻlish (:) Boʻlinuvchi : boʻluvchi = boʻlinma ${\text{asos}}^{\text{daraja}}$ = darajaga koʻtarish Arifmetik ildiz (√) $\sqrt[\text{koʻrsatkich}]{\text{son}}$ = ildiz Logarifm (log) ${\log }_{\text{asos}}$(son) = logarifm

Andoza:Math grafigida Andoza:Math: Andoza:Nobr Andoza:Nobr Andoza:Nobr Andoza:Nobr Har bir chiziq Andoza:Math nuqtadan oʻtadi.

Darajaga koʻtarish – sonni oʻziga bir necha marta koʻpaytirish natijasida aniqlanadigan arifmetik amal. Darajaga koʻtarilgan ifoda Andoza:Math shaklida yoziladi hamda „bning n-darajasi“ deb oʻqiladi. Bunda Andoza:Mvar asos, Andoza:Mvar esa daraja koʻrsatkichi hisoblanadi. Agar n daraja musbat son boʻlsa, darajaga koʻtarish uchun son oʻziga n marotaba koʻpaytiriladi. Bu Andoza:Math – b ning n marotaba koʻpaytirilganiga teng: $$b^n=\underset{n\text{ marta}}{\underbrace{b\times b\times \dots \times b\times b}}.$$Bunda, $b^1=b$.

Daraja koʻrsatkichi asosning oʻng tomonida koʻrsatiladi. Shuningdek, bu fanda „n darajaga koʻtarilgan b soni“, „bning n-darajasi“ sifatida ataladi.

Darajalarning koʻpaytirilishi quyidagi tartibda amalga oshiriladi: $$\begin{array}{cc}{b}^n\times b^m& =\underset{n\text{ marta}}{\underbrace{b\times \dots \times b}}\times \underset{m\text{ marta}}{\underbrace{b\times \dots \times b}}\\ & =\underset{n+m\text{ marta}}{\underbrace{b\times \dots \times b}}=b^{n+m}.\end{array}$$ Bunda darajalar oʻzaro koʻpaytirilganda daraja koʻrsatkichlari qoʻshiladi. Qoʻshiluvchi daraja koʻrsatkichi 0 ga teng boʻlganda, yigʻindi 2-qoʻshiluvchi daraja koʻrsatkichiga teng boʻladi: $b^0\times b^n=b^{0+n}=b^n$.

Biroq, daraja koʻrsatkichi manfiy boʻlgan hollarda darajaga koʻtarish quyidagicha amalga oshiriladi: $$b^{-n}=1/b^n.$$

Shuningdek, qoʻshiluvchi daraja koʻrsatkichlardan biri manfiy hamda biri musbat boʻlgan hollarda yigʻindi manfiy va musbat sonlarni qoʻshish qoidasiga muvofiq amalga oshiriladi: $b^{-n}\times b^n=b^{-n+n}=b^0=1$

Daraja koʻrsatkichi kasr boʻlgan sonlar darajaga quyidagi tartibda koʻtariladi: $$b^{n/m}=\sqrt[m]{b^n}.$$ Misol uchun, $b^{1/2}\times b^{1/2}=b^{1/2+1/2}=b^1=b$ ifodasida b ning qiymati $(b^{1/2}{)}^2$ hisoblanadi.

Muavr formulasi orqali ham kompleks sonni darajaga koʻtarish mumkin.

Darajaga koʻtarish turli sohalarda keng qoʻllanadi, jumladan, iqtisodiyot, biologiya, kimyo, fizika, informatika, kimyoviy reaksiyalarning kinetik tezliklarini hisoblash sohalari.

Etimologiyasi

„Darajaga koʻtarish“ atamasi lotin tilida exponent deb ataladi. Bu soʻz exponentem feʼlining hozirgi zamon shakli hisoblanib, oʻzbek tilida „oldinga qoʻymoq“ deya tarjima qilinadi. „Daraja“ atamasi esa, lotin tilida dignitas deya nomlanadi. Bu soʻz yunoncha dúnamis soʻzidan olingan boʻlib, „kuchaytirish“ degan maʼnoni anglatadi. Darajaga koʻtarish atamasi, ilk bor yunon matematigi Yevklid tomonidan chiziqli tenglamani ifodalashda qoʻllanilgan.

Tarixi

Antik davr

The Sand Reckoner

Qadimgi yunon olimi Arximed „The Sand Reckoner“ asarida 10 ning darajalariga oid Andoza:Math qonuniyat isbotlagan. Arximed olamdagi barcha qum zarralarining umumiy hisobini topishda 10 sonini darajaga koʻtarish orqali topgan.

Islom oltin davri

Māl va kaʼbah („kvadrat“ va „kub“)

IX asrda Oʻrta Osiyo qomusiy olimi Al-Xorazmiy sonning 2-darajasi kvadrat uchun مَال (māl, „mol-mulk“) hamda sonning 3-darajasi boʻlgan kub uchun كَعْبَة (kaʿbah, „kub“) atamalarini fanga kiritgan. Musulmonlar uchun oʻsha davrda yer maydonlarini oʻlchashda kvadratning oʻrni muhim boʻlgan. XV asrlarda Abu’l-Hasan ibn Ali al-Qalasadi asarlarida kvadratni mīm (m) tarzida hamda kubni esa, kāf (k) tarzida ifodalashgan.

XV—XVIII asrlar

Darajalarning ifodalanishi

XV asrlarda oʻrta asrlar fransuz matematigi Nicolas Chuquet oʻz asarlarida darajalarga koʻtarishni koʻrsatkichlar bilan ifodalagan. Masalan, Andoza:Mathni Andoza:Math sifatida belgilagan. Daraja koʻrsatkichlarini bu koʻrinishda ifodalash XVI asrlarda Henricus Grammateus va Michael Stifel tomonidan ham amalga oshirilgan. XVI asr oxirlarida shved matematigi Jost Bürgi sonlarni darajaga koʻtarishda Andoza:Mathni 4 sonining ustida 3 ta iii harflarini qoʻyish orqali ifodalagan.

Darajalar

„Daraja“ atamasi ilk marotaba 1544-yilda Michael Stifel tomonidan qoʻllanilgan. XVI asrda matematik Robert Recorde asarlarida kvadrat, kub atamalaridan tashqari zenzizenzik (4-daraja), sursolid (5-daraja), zenzikub (6-daraja), ikkinchi sursolid (7-daraja) va zenzizenzizenzik (8-daraja) atamalaridan ham foydalangan.

Hozirgi darajalarning ifodalanishi

1636-yilda matematik James Hume „L’algèbre de Viète“ asarida Andoza:Mathni Andoza:Math sifatida ifodalagani hozirgi daraja koʻrsatkichining shakli uchun muhim rol oʻynagan. Dastlab, daraja koʻrsatkichi Rim raqamlarida ifodalangan, keyinchalik esa, XVII asrning boshlarida fransuz matematigi René Descartes tomonidan „La Geométrie“ kitobida daraja koʻrsatkichlari Rim raqamidan Arab raqamlariga oʻzgartirilgan. Olim bu haqida shunday degan: Andoza:Cquote

XX asr

XX asrda hisoblash jarayoni mexanizatsiyalashtirilgani sababli, darajalarni yozish qulayroq shaklda yozishga eʼtibor qaratildi. 1938-yilda nemis muhandisi Konrad Zuse tomonidan oʻzining Z1 kompyuteri yordamida qo‘zg‘aluvchan nuqta arifmetikasi ishlab chiqildi. Bunga koʻra, jadvalning 1-katakchasida sonning asosi hamda 2-katakchasida esa, 10 sonining darajasi yozilgan. 1946-yilda qo‘zg‘aluvchan nuqta arifmetikasiga asoslangan tizim Bell Labaratories kompyuterlariga oʻrnatilgan.

Terminologiyasi

Andoza:Math ifodasi „b kvadrat“ deya nomlanadi. Bunday nomlanishiga sabab, tomoni bga teng boʻlgan kvadratning yuzi Andoza:Mathga teng boʻladi.

Andoza:Math ifodasi „b kub“ deb nomlanadi. Bunday nomlanishiga sabab, tomoni bga teng boʻlgan kubning hajmi Andoza:Mathga teng boʻladi.

Daraja koʻrsatkichi musbat son boʻlsa, koʻrsatkichning qiymati asosning oʻz-oʻziga necha marotaba koʻpaytirilganini bildiradi. Masalan, Andoza:Math ifodasida asosi oʻz-oʻziga 5 marotaba koʻpaytirilgan, chunki darajaning koʻrsatkichi 5 ga teng. Bu ifodada, Andoza:Math soni 3 ning 5-darajasi hisoblanadi.

Ayrim hollarda ifodani oʻqishda darajasi soʻzi tushirilib qoldiriladi. Misol uchun, Andoza:Math ifodasi qisqa qilib 3ning 5-si tarzida oʻqiladi.

Butun sonli darajalar

Daraja koʻrsatkichi butun boʻlgan sonlarni darajaga koʻtarish amalini elementar matematik bilimlar orqali amalga oshirish mumkin.

Musbat darajalar

Induksiya yordamida musbat darajali sonlarni darajaga koʻtarishni quyidagi tartibda amalga oshirish mumkin:

$b^1=b$

Rekursiya qilinganda esa: $b^{n+1}=b^n\cdot b.$

Koʻpaytirishning assotsiativligiga koʻra, Andoza:Mvar va Andoza:Mvar ixtiyoriy sonlar boʻlishi mumkin:

$b^{m+n}=b^m\cdot b^n,$

va

$(b^m{)}^n=b^{mn}.$

Nol darajalar

Har qanday sonning 0 darajasi 1 ga teng.

$b^0=1.$

Manfiy darajalar

Daraja koʻrsatkichi manfiy boʻlgan ifoda quyidagicha aniqlanadi:

$b^{-n}=\frac{1}{b^n}$

Bunda, Andoza:Mvar – ixtiyoriy son, Andoza:Mvar – noldan farq qiluvchi ixtiyoriy son.

Ayniyatlar

Quyidagi ayniyatlar „darajalar qonuniyatlari“ deb ataladi hamda barcha daraja koʻrsatkichi butun son boʻlgan ifodalar uchun tegishli hisoblanadi:

$\begin{array}{cc}{b}^m\cdot b^n& =b^{m+n}\\ {\left(b^m\right)}^n& =b^{m\cdot n}\\ b^n\cdot c^n& =(b\cdot c{)}^n\end{array}$

Qoʻshish va koʻpaytirish amallarida qoʻshiluvchilar yoki koʻpayuvchilarni oʻrnini almashtirsa ham natija oʻzgarmaydi. Biroq, daraja koʻrsatkichlari hamda asosning oʻrni almashtirilsa oʻzaro natijalar bir-biridan farq qiladi. Masalan, $2^3=8$, ammo oʻrin almashtirilsa, ifoda $3^2=9$ holatiga keladi.

Darajalar yigʻindisi

Odatda, darajalar yigʻindisi Nyuton binomidan foydalanilgan holda hisoblanadi:

$(a+b{)}^n=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})a^i{b}^{n-i}=\sum _{i=0}^n\frac{n!}{i!(n-i)!}{a}^i{b}^{n-i}.$

Kombinatorik roʻyxat

Kombinatorik roʻyxatda Andoza:Mvar toʻplamdan Andoza:Mvar toʻplamgacha boʻlgan funksiyalarning soni keltirilgan. Bunda, Andoza:Mvar hamda Andoza:Mvar – manfiy boʻlmagan sonlar hisoblanadi. Andoza:Mvar va Andoza:Mvar ning alohida qiymatlari uchun baʼzi misollar quyidagi jadvalda keltirilgan:

Andoza:Math	{1, …, n} toʻplamidagi Andoza:Math qiymatlari
0Andoza:Sup = 0	mavjud emas
1Andoza:Sup = 1	(1, 1, 1, 1)
2Andoza:Sup = 8	(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)
3Andoza:Sup = 9	(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)
4Andoza:Sup = 4	(1), (2), (3), (4)
5Andoza:Sup = 1	()

Maxsus asoslar

10 ning darajalari

Oʻnlik sanoq sistemasidagi 10 ning butun darajalari 1 raqamidan keyin yoki oldidan 0 raqamlarining ifodalanishi 10 ning darajalari hisoblanadi. Misol uchun, Andoza:Math, Andoza:Math.

Asosi 10 soni boʻlgan 10 ning darajalari fanda keng qoʻllaniladi. Masalan, Andoza:Val qiymati (vakuumdagi yorugʻlik tezligi) Andoza:Val sifatida yozilishi ham mumkin. Taqriban esa, Andoza:Val shaklida 10 ning darajasi hisobiga qisqartirib, qulay holatda qoʻllaniladi.

Xalqaro birliklar tizimi ham 10 ning darajalariga asoslangan. Misol uchun, kilo old qoʻshimchasi Andoza:Math maʼnosini bildiradi.

Andoza:Math ning darajalari

$2^{-1}$ ifodasi yarim, $2^{-2}$ ifodasi esa chorak deb ataladi. Kompyuter sohasida Andoza:Math ning darajalarining roli muhim hisoblanadi. Baytlar 2 ning darajalaridan foydalanib ifodalanadi. Masalan, Andoza:Math. Ikkilik sanoq tizimida har qanday sonni 2 ning darajalari yigʻindisi sifatida ifodalash mumkin.

Andoza:Math ning darajalari

Andoza:Mathning har qanday darajasi 1 ga teng:Andoza:Math.

−1 ning darajalari

Manfiy sonni boshqa bir manfiy songa koʻpaytirilsa, natija musbat son boʻladi:

$(-1{)}^n=\{\begin{array}{cc}1& \text{juft }n,\\ -1& \text{toq }n.\end{array}$

Darajali funksiyalar

Juft darajali funksiyalar Andoza:Math

$f(x)=c{x}^n$ shaklidagi funksiyalar „darajali funksiyalar“ deb ataladi. Bunda $c\ne 0$ boʻlishi lozim. Darajali funksiyalar 2 turga boʻlinadi, toq darajali funksiyalar hamda juft darajali funksiyalar. Juft darajali funksiyalar ($f(-x)=-f(x)$) shaklida belgilash ham mumkin.

Oʻngacha boʻlgan musbat sonlarning daraja qiymatlari

n	n2	n3	n4	n5	n6	n7	n8	n9	n10
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
3	9	27	81	243	729	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val
4	16	64	256	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val
5	25	125	625	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val
6	36	216	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val
7	49	343	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val
8	64	512	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val
9	81	729	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val
10	100	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val	Andoza:Val

Ratsional darajalar

Tepadan pastga: Andoza:Math, Andoza:Math, Andoza:Math, Andoza:Math, Andoza:Math, Andoza:Math, Andoza:Math.

Agar Andoza:Mvar nomanfiy butun son boʻlsa, Andoza:Mvar musbat butun son boʻlsa, $x^{1/n}$ yoki $\sqrt[n]{x}$ haqiqiy ildiz hisoblanadi. Andoza:Mvarning qiymati esa musbat boʻladi.

Agar Andoza:Mvar musbat butun son boʻlsa, $\frac{p}{q}$ ratsional son hamda Andoza:Mvar va Andoza:Mvarga teng boʻlsa, $x^{p/q}$ quyidagicha aniqlanadi:

$x^{\frac{p}{q}}={\left(x^p\right)}^{\frac{1}{q}}=(x^{\frac{1}{q}}{)}^p.$

Oʻng tomondagi $y=x^{\frac{1}{q}}$ tengligini quyidagicha yozish mumkin: $(x^{\frac{1}{q}}{)}^p=y^p={((y^p{)}^q)}^{\frac{1}{q}}={((y^q{)}^p)}^{\frac{1}{q}}=(x^p{)}^{\frac{1}{q}}.$

Agar Andoza:Mvar musbat ratsional son boʻlsa, unda Andoza:Math boʻladi.

Boshqa tomondan, bu taʼriflarni musbat haqiqiy son boʻlmagan asoslar bilan bogʻliq muammolar mavjud. Masalan, manfiy haqiqiy sonning haqiqiy n-darajali ildizi, n toq boʻlganda manfiy boʻladi, n juft boʻlganda esa haqiqiy ildizi boʻlmaydi. Shuningdek, $x^{\frac{1}{n}},$ uchun har qanday n-ildiz tanlansa ham, $(x^a{)}^b=x^{ab}$ ayniyatni qanoatlantirib boʻlmaydi:

${((-1{)}^2)}^{\frac{1}{2}}=1^{\frac{1}{2}}=1\ne (-1{)}^{2\cdot \frac{1}{2}}=(-1{)}^1=-1.$

Haqiqiy darajalar

Musbat haqiqiy sonlar uchun haqiqiy darajalar koʻrsatkichni ikki usulda, ratsional hamda asos logarifmi hamda uning koʻrsatkichli funksiyasi orqali aniqlash mumkin. Funksiya natijasi doim musbat son boʻladi.

Manfiy haqiqiy sonning darajaga koʻtarish oson jarayon emas, chunki darajaga koʻtarilganda natija haqiqiy son boʻlmasligi yoki bir necha qiymatlarga ega boʻlishi mumkin. Biroq, quyidagi ayniyat qiymatni aniqlashga yordam beradi:

${\left(b^r\right)}^s=b^{rs}$

Shu sababli, musbat haqiqiy son boʻlmagan asosni darajaga koʻtarishni koʻp qiymatli funksiya deb ham ataladi.

Ratsional darajalarning limitlari

Har qanday irratsional son ratsional sonlar ketma-ketligining limiti sifatida ifodalanishi mumkin. Quyidagi ayniyatda Andoza:Mvar ixtiyoriy haqiqiy daraja koʻrsatkichi, Andoza:Mvar esa, ixtiyoriy haqiqiy son:

$b^x=\underset{r(\in \mathbb{Q})\to x}{\lim }{b}^r(b\in {ℝ}^{+},x\in ℝ),$

Bunda, Andoza:Mvar ratsional son qiymatlariga teng hisoblanadi.

Masalan, agar Andoza:Math boʻlsa, π qiymati Andoza:Math ratsional darajalarning monotonligi hamda chegaralangan intervallar orqali ifodalash mumkin: $b^{\pi }:$

$[b^3,b^4],[b^{3.1},b^{3.2}],[b^{3.14},b^{3.15}],[b^{3.141},b^{3.142}],[b^{3.1415},b^{3.1416}],[b^{3.14159},b^{3.14160}],\dots$

Bunda, intervallarning yuqori va quyi chegaralari bir xil limitga ega boʻlgan ikkita ketma-ketlikni hosil qiladi. Bu limit $b^{\pi }.$ bilan belgilanadi.

Koʻrsatkichli funksiya

Andoza:Main Koʻrsatkichli funksiyani qisqacha qilib $x\mapsto e^x,$ shaklida yozish mumkin. Bu yerda, $e\approx 2.718$ „Eyler soni“ hisoblanadi. $\exp (x),$ koʻrsatkichli funksiyaning $e=\exp (1)$ qiymati quyidagicha: $\exp (x)=e^x.$.

Koʻrsatkichli funksiyani aniqlashning koʻplab usullari mavjud boʻlib, ulardan biri shunday:

$\exp (x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{x}{n})}^n.$

Boshqa holatda, $\exp (0)=1,$, $\exp (x)\exp (y)=\exp (x+y)$ boʻlganida, bu usul ham oʻrinli hisoblanadi:

$\exp (x)\exp (y)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{x}{n})}^n{(1+\frac{y}{n})}^n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{x+y}{n}+\frac{xy}{n^2})}^n,$

Logarifmik darajalar

Andoza:Mathni koʻrsatkichli funksiya sifatida har qanday musbat haqiqiy Andoza:Mvar soni uchun Andoza:Mathni logarifmik funksiyalar orqali ifodalash mumkin. Natural logarifm Andoza:Math , koʻrsatkichli funksiya Andoza:Mathning teskari funksiyasi ekanligidan kelib chiqib, quyidagi tenglik oʻrinli hisoblanadi:

$b=\exp (\ln b)=e^{\ln b}$

bunda, Andoza:Math.

$b^x={\left(e^{\ln b}\right)}^x=e^{x\ln b}$

Musbat asosli murakkab darajalar

Agar Andoza:Mvar asos musbat haqiqiy son boʻlsa, Andoza:Mvar kompleks koʻrsatkichli daraja boʻlsa, daraja koʻrsatkichi koʻrsatkichli funksiya yordamida aniqlanadi.

$b^z=e^{(z\ln b)},$

Bunda, $\ln b$ natural logarifmni bildiradi.

Quyidagi tenglik ayniyatni qanoatlantiradi:

$b^{z+t}=b^z{b}^t,$

Euler formulalariga koʻra tenglik oʻrinli hisoblanadi:

$e^{iy}=\cos y+i\sin y,$

Kompleks sonlarning butun boʻlmagan darajalari

Kompleks sonlarning n ildizlari

Har qanday nolga teng boʻlmagan kompleks son quyidagicha yozilishi mumkin:

$z=\rho e^{i\theta }=\rho (\cos \theta +i\sin \theta ),$

Bunda, $\rho$ – Andoza:Mvarning mutlaq qiymati, $\theta$ esa argumentdir.

Ikki kompleks sonning koʻpaytmasi mutlaq qiymatlarni koʻpaytirish va argumentlarni qoʻshish orqali topiladi. Shuningdek, kompleks sonning Andoza:Mvar-ta ildizining mutlaq qiymati esa, argumentni Andoza:Mvar ga boʻlish orqali aniqlanadi:

${\left(\rho e^{i\theta }\right)}^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{\rho }{e}^{\frac{i\theta }{n}}.$

Birlikning ildizlari

Andoza:Mathning 3 ta 3-darajali ildizlari

Birliklarning Andoza:Math-darajali ildizlari deb, Andoza:Math boʻlgan Andoza:Mvar kompleks sonlarga aytiladi. Birliklarning Andoza:Math ta ildizlari matematikaning turli sohalarida qoʻllaniladi.

Birliklarning Andoza:Math ta ildizlari $\omega =e^{\frac{2\pi i}{n}}$ning Andoza:Math-darajalari hisoblanadi. Bunda, $1={\omega }^0={\omega }^n,\omega ={\omega }^1,{\omega }^2,{\omega }^{n-1}.$

Geometrik jihatdan, birlikning Andoza:Math-ta ildizlari kompleks tekislikdagi birlik doirasida joylashgan boʻlib, doiraning eng markazidagi koʻrsatkich 1 hisoblanadi.

Kompleks darajaga koʻtarish

Kompleks sonlarni darajaga koʻtarish bir qancha muammolarni keltirib chiqarishi mumkin. $z^w$ ifodasi uchun har qanday kompleks sonni oʻrniga qoʻyib ishlash mumkinligini inobatga olgan holda, biron-bir son qiymat oʻlaroq tanlanadi. Bunday holatda ifodani koʻp qiymatli funksiya orqali ishlash mumkin boʻladi.

Barcha holatlarda kompleks logarifm orqali kompleks darajaga koʻtarishni amalga oshirish mumkin:

$z^w=e^{w\log z},$

bu yerda, $\log z$ – kompleks logarifm hisoblanib, funksiyani qanoatlantirish uchun quyidagi tenglikdan foydalanish lozim:

$e^{\log z}=z$.

Asosiy qiymati

$z^w$ murakkab ifodasining qiymati quyidagicha aniqlanadi: $z^w=e^{w\log z},$ bunda, $\log z$ – logarifmning asosiy qiymati hisoblanadi.

Koʻp qiymatli funksiya

Andoza:Main Koʻp qiymatli funksiyalar deganda, biror argumentga bir nechta turli qiymatlarni beradigan funksiyalar tushuniladi. Masalan, logarifm funksiyasi koʻp qiymatli, chunki uning argumenti manfiy yoki kompleks sonlar boʻlishi mumkin va har bir argument uchun logarifmning bir nechta qiymatlari mavjud boʻladi.

Agar $\log z$ koʻp qiymatli logarifmning bir qiymatini ifodalasa, boshqa qiymatlar $2ik\pi +\log z$ orqali topiladi. Bunda, Andoza:Mvar – har qanday butun son.

Hisoblash

$z^w$ning kanonik yoyilmasi $x+iy$ hisoblanadi. Bunda Andoza:Mvar hamda Andoza:Mvar haqiqiy sonlardir.

• Andoza:Mvarning logarifmi. Logarifmning asosiy qiymati quyidagicha boʻladi:

$\log z=\ln \rho +i\theta ,$ bunda, $\ln$ natural logarifmni bildiradi.

Irratsionallik va transsendentallik

Gelfond–Schneider nazariyasiga koʻra, agar Andoza:Mvar musbat haqiqiy son hamda Andoza:Mvar ratsional son boʻlsa, unda Andoza:Math algebraik son boʻladi.

Agar Andoza:Mvar irratsional boʻlsa hamda Andoza:Mvar va Andoza:Mvar algebraik son boʻlsa, Andoza:Mathning barcha qiymatlari transsendental boʻladi.

Algebrada butun sonli darajalar

Algebraik toʻplam, unga tegishli assotsiativ operatsiya hamda koʻpaytiruvchi birliklarning tuzilmasi monoid deb ataladi. Bunday monoidda, Andoza:Mvarni darajaga koʻtarish quyidagicha amalga oshiriladi:

• $x^0=1,$
• $x^{n+1}=x{x}^n$, bunda Andoza:Mvar – manfiy boʻlmagan istalgan son.

Agar Andoza:Mvar manfiy butun son boʻlsa, $x^n$ ifodasi ${\left(x^{-1}\right)}^{-n}$ shaklida yoziladi.

Daraja koʻrsatkichi butun son boʻlgan ifodalar quyidagi qonuniyatlarga asoslanib ishlanadi:

$\begin{array}{cc}{x}^0& =1\\ x^{m+n}& =x^m{x}^n\\ (x^m{)}^n& =x^{mn}\\ (xy{)}^n& =x^n{y}^n\text{agar }xy=yx,\text{kommutativ boʻlsa.}\end{array}$

Kvadrat matritsa deb, Andoza:Math sonining oʻziga necha marta koʻpaytirilishiga aytiladi. Shuningdek, $A^0$ esa matritsaning ayniyati hisoblanadi. Teskari matritsa esa, quyidagi tenglikka asoslanadi:$A^{-n}={\left(A^{-1}\right)}^n$.

Takroriy darajalar

Natural sonlarni qayta-qayta darajaga koʻtarish giperoperatsiyalarning 4-darajasi yoxud tetratsiya deb nomlanadi. Ketma-ket darajaga koʻtarishni Akkerman funksiyasi orqali ifodalash mumkin. Misol uchun, Andoza:Mvar soni takroriy darajaga koʻtarilganda, Andoza:Val (Andoza:Math) natijasini beradi.

Dasturlash tillarida

Darajaga koʻtarish amalini turli dasturlash tillari turlicha amalga oshiradi. Daraja koʻrsatkichini ifodalash eng keng tarqalgan belgi „caret“ (^) hisoblanadi. 1967-yilda Amerika standartiga oʻzgartirish kiritilgan. Bunda, (↑) belgisi oʻrnida (^) belgisidan foydalanishga oʻtilgan. Hozirgi kunda daraja belgisini quyidagicha belgilashlar mavjud:

• x ^ y: AWK, BASIC, J, MATLAB, Wolfram (dasturlash tili), R, Microsoft Excel, Analytica, TeX, TI-BASIC, Haskell, Lua hamda kompyuter algebrasi tizimlari.
• x ** y: Ada, Z shell, KornShell, Bash, COBOL, CoffeeScript, Fortran, FoxPro, Gnuplot, Groovy, JavaScript, OCaml, Object REXX, F Sharp, Perl, PHP, PL/I, Python, Rexx, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Mercury, Turing.
• x ↑ y: Algol, Commodore BASIC, TRS-80
• x ^^ y: Haskell, D.
• x⋆y: APL.

Yana qarang

• Muavr formulasi
• Koʻrsatkichli funksiya
• Arifmetik ildiz
• Koʻp qiymatli funksiya

Adabiyotlar

Ilmiy adabiyotlar

• Andoza:Kitob manbasi
• Andoza:Kitob manbasi
• Andoza:Kitob manbasi
• Andoza:Kitob manbasi
• Andoza:Kitob manbasi
• Andoza:Kitob manbasi
• Andoza:Kitob manbasi

Maqolalar

• Andoza:Статья

Havolalar

• „Khan Academy“ platformasida mavzuga oid videodarslik