Gamov nazariyasi

Gamov nazariyasi - radioaktiv yadrolarning $\alpha$-parchalanishini kvant tasavvurlar asosida tushuntirib beruvchi nazariya.

$\alpha$-parchalanish deganda, ogʻir yadrolarning oʻzidan geliy atomining yadrosini chiqarib, boshqa yadroga aylanishi tushuniladi. $\alpha$-parchalanish uchun energetik shart quyidagi koʻrinishga ega:

$M(A,Z)>M(A-4,Z-2)+M_{\alpha }$

Parchalanishda hosil boʻlgan energiya quyidagi ifoda orqali topiladi:

$Q_{\alpha }=(M(A,Z)-M(A-4,Z-2)-M_{\alpha })c^2,$

Energiya va impulsning saqlanish qonunlaridan foydalanib, $\alpha$-zarra yadroni tark etayotganida ega boʻladigan kinetik energiyasini aniqlash mumkin:

$T_{\alpha }=\frac{M(A-4,Z-2)}{m_{\alpha }+M(A-4,Z-2)}{Q}_{\alpha }$

$\alpha$-parchalanishda hosil boʻlgan $\alpha$-zarra kinetik energiyasi 2-8 MeV atrofida boʻladi, $\alpha$-zarraning yadroga bogʻlanish energiyasi esa 28.3 MeV ga teng. U holda $\alpha$-zarra yadroni qanday tark etadi, degan tabiiy savol tugʻiladi. Bunga G. A. Gamov kvant tasavvurlar asosida ishlab chiqqan nazariyasi orqali javob topish mumkin.

Gamov nazariyasi quyidagi prinsiplarga asoslanadi:

• $\alpha$-zarra yadro ichida tayyor holda mavjud boʻladi.
• $\alpha$-zarra tinimsiz harakatda boʻladi va potensial toʻsiq orqali yadro ichida tutib turiladi.
• $\alpha$-zarra ushbu potensial toʻsiq orqali oʻtishi mumkin.

Vaqt birligidagi parchalanish ehtimolligi $\lambda$ ni quyidagi ifoda orqali aniqlash mumkin:

$\lambda =nT$

$n$ — $\alpha$-zarraning yadro ichida potensial toʻsiq bilan toʻqnashishlari soni, $T$ — $\alpha$-zarraning toʻsiq orqali oʻtish ehtimolligi.

Aytaylik, ixtiyoriy vaqt momentida yadro ichida faqat bitta $\alpha$-zarra mavjud boʻlsin va u yadro diametri boʻylab oldinga va orqaga harakatlanayotgan boʻlsin.

$\nu =\frac{v}{2R_0}$

$v$ — $\alpha$-zarraning yadroni tark etayotgandagi tezligi.

Kengligi $L$ boʻlgan toʻsiqdan zarraning oʻtish ehtimolligi:

$T=e^{-2k_{2}L},(1)$

$k_2=\frac{\sqrt{2m(U-E)}}{\hslash }$

(1) tenglama toʻgʻri burchakli potensial toʻsiqni ifodalaydi, $\alpha$-zarra yadro ichida toʻsiq bilan koʻp marta toʻqnashadi.

$\ln T=-2k_{2}L,(2)$

$\ln T=-2\underset{0}{\overset{L}{\int }}{k}_2(r)dr=-2\underset{R_0}{\overset{R}{\int }}{k}_2(r)dr,(3)$

$R_0$ — yadro radiusi, $R$ — $U=E$ boʻlganda, yadrogacha masofa

$\alpha$-zarraning $r$ masofadagi elektr potensial energiyasi:

$U(r)=\frac{2Z{e}^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$

U holda,

$k_2=\frac{\sqrt{2m(U-E)}}{\hslash }={\left(\frac{2m}{{\hslash }^2}\right)}^{1/2}\cdot {(\frac{2Z{e}^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}-E)}^{1/2}$

$r=R$ boʻlganda $U=E$ boʻlgani uchun,

$E=\frac{2Z{e}^2}{4\pi {\epsilon }_{0}R}$

$k_2$ ni quyidagicha yozish mumkin:

$k_2={\left(\frac{2m}{{\hslash }^2}\right)}^{1/2}\cdot {(\frac{R}{r}-1)}^{1/2}$

$\ln T=-2\underset{R_0}{\overset{R}{\int }}{k}_2(r)dr=-2{\left(\frac{2mE}{{\hslash }^2}\right)}^{1/2}\cdot {(\frac{R}{r}-1)}^{1/2}dr(4)$

$[r=R{\cos }^2\theta ,dr=-2R\sin \theta \cos \theta d\theta ]$

$[\int {(\frac{R}{r}-1)}^{1/2}dr=-2R\int {\sin }^2\theta d\theta ]$

$\ln T=-2{\left(\frac{2mE}{{\hslash }^2}\right)}^{1/2}R[{\cos }^{-1}{\left(\frac{R_0}{R}\right)}^{1/2}-{\left(\frac{R_0}{R}\right)}^{1/2}{(1-\frac{R_0}{R})}^{1/2}]$

Potensial toʻsiq yetarlicha keng boʻlgani uchun, $R\gg R_0$ hamda

$\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )=\sin \theta$

$\sin {\left(\frac{R_0}{R}\right)}^{1/2}\approx {\left(\frac{R_0}{R}\right)}^{1/2}$

${\cos }^{-1}{\left(\frac{R_0}{R}\right)}^{1/2}\approx \frac{\pi }{2}-{\left(\frac{R_0}{R}\right)}^{1/2}$

$1-{\left(\frac{R_0}{R}\right)}^{1/2}\approx 1$

$\ln T=-2{\left(\frac{2mE}{{\hslash }^2}\right)}^{1/2}r[\frac{\pi }{2}-2{\left(\frac{R_0}{R}\right)}^{1/2}]$

$[R=\frac{2Z{e}^2}{4\pi {\epsilon }_{0}E}]$

Bundan kelib chiqadiki,

$\ln T=\frac{4e}{\hslash }{\left(\frac{m}{\pi {\epsilon }_0}\right)}^{1/2}{Z}^{1/2}{R}_0^{1/2}-\frac{e^2}{\hslash {\epsilon }_0}{\left(\frac{m}{2}\right)}^{1/2}Z{E}^{-1/2}$

Tenglamadagi doimiylarning qiymatlarini oʻrniga qoʻyib hisoblasak:

$\ln T=2,97Z^{1/2}{R}_0^{1/2}-3,95Z{E}^{-1/2}$

$E$ — energiya, $R_0$ — yadro radiusi, $Z$ — hosilaviy yadroning tartib raqami.

${\log }_{10}A=\left({\log }_{10}e\right)(\ln A)=0,4343\ln A$

${\log }_{10}T=1,29Z^{1/2}{R}_0^{1/2}-1,72Z{E}^{-1/2}$

Taʼrifga binoan, parchalanish doimiysi

$\lambda =\nu T=\frac{v}{2R_0}T$

Tenglamaning ikkala tomonidan ${\log }_{10}$ olamiz va $T$ bilan almashtiramiz:

${\log }_{10}\lambda ={\log }_{10}\left(\frac{v}{2R_0}\right)+1,92Z^{1/2}{R}_0^{1/2}-1,72Z{E}^{-1/2}$

Hosil boʻlgan bu formulaga Geyger-Nettol qonuni deyiladi. Ushbu qonun $\alpha$-parchalanish energiyasi va radioaktiv yadrolarning yarim yemirilish davrlari orasidagi bogʻliqlikni ifodalaydi va katta amaliy ahamiyatga ega.

Shuningdek qarang

Beta-yemirilish

Gamma nurlanish

Radioaktivlik qonuni

Manbalar

1. Yoon, Jin-Hee; Wong, Cheuk-Yin (February 9, 2008). „Relativistic Modification of the Gamow Factor“. Physical Review C. 61. arXiv:nucl-th/9908079. Bibcode:2000PhRvC..61d4905Y. doi:10.1103/PhysRevC.61.044905
2. Quantum Theory of the Atomic Nucleus, G. Gamow. Translated to English from: G. Gamow, ZP, 51, 204