Guruh-sxema harakati

Algebraik geometriyada guruh sxemasining harakati guruh sxemasiga guruh harakatining umumlashtirilishi hisoblanadi. Aniqrogʻi, S -sxema G guruhi berilgan boʻlsa, S -sxema X boʻyicha G ning chap harakati S -morfizm boʻladi.

σ : G \times_{S} X \to X

shu kabi

(assotsiativlik) $σ \circ (1_{G} \times σ) = σ \circ (m \times 1_{X})$ , esa $m : G \times_{S} G \to G$ bu guruh qonunidir,
(birlik) $σ \circ (e \times 1_{X}) = 1_{X}$ , esa $e : S \to G$ G ning identifikatsiya qismidir.

G ning X ga toʻgʻri harakati shunga oʻxshash tarzda aniqlanadi. G guruh sxemasining chap yoki oʻng harakati bilan jihozlangan sxema G — sxemasi deb ataladi . G -sxemalar orasidagi ekvivariant morfizm — bu tegishli G -harakatlarni oʻzaro bogʻlaydigan sxemalar morfizmi boʻladi .

Umuman olganda, guruh funktorining harakatini (hech boʻlmaganda baʼzi bir alohida holatni) ham koʻrib chiqish mumkin: G funktor sifatida qaralsa, harakat yuqoridagiga oʻxshash shartlarni qondiradigan tabiiy transformatsiya sifatida beriladi^[1]. Shu bilan bir qatorda, baʼzi mualliflar guruh harakatini groupoid tilida ham oʻrganadilar; guruh-sxema harakati keyin bir groupoid sxemasi misol boʻla oladi.

Konstruktsiyalar

Guruh harakati uchun odatiy konstruktsiyalar, masalan, orbitalar guruh sxemasi harakati uchun umumlashtiriladi. Mayli $σ$ yuqoridagi kabi berilgan guruh-sxema harakati boʻlsin. Shunday qilib

T-qiymatli nuqta berilgan $x : T \to X$ , orbita xaritasi $σ_{x} : G \times_{S} T \to X \times_{S} T$ sifatida beriladi $(σ \circ (1_{G} \times x), p_{2})$ .
X ning orbitasi orbita xaritasining tasviridir yani $σ_{x}$ .
X ning stabilizatori tolaning ustidadir $σ_{x}$ xaritasidan $(x, 1_{T}) : T \to X \times_{S} T .$

Boʻlimni qurish muammosi

Guruhning nazariy harakatidan farqli oʻlaroq, guruh sxemasi harakati uchun qismni yaratishning toʻgʻridan-toʻgʻri usuli yoʻq. Istisnolardan biri — bu harakat erkin boʻlgan holat, asosiy tolalar toʻplami boʻladi .

Ushbu qiyinchilikni engish uchun bir nechta yondashuvlar ham mavjud:

Darajali tuzilma — Ehtimol, eng qadimgi, yondashuv obyektni darajali tuzilma bilan birga obyekt bilan tasniflash uchun obyektni almashtiradi.
Geometrik oʻzgarmas nazariya — yomon orbitalarni tashlanadi va keyin bir qismi olinadi. Kamchilik shundaki, „yomon orbitalar“ tushunchasini kiritishning kanonik usuli yoʻq; tushunchasi lineerleştirme tanlash bogʻliq. Shuningdek qarang: kategorik koʻrsatkich, GIT koʻrsatkichi boʻladi.
Borel konstruktsiyasi — bu algebraik topologiyaga asoslangan yondashuv; bu yondashuv cheksiz oʻlchamli fazo bilan ishlashni talab qiladi.
Analitik yondashuv, Teichmyuller fazosi nazariyasi.
Quotient stack — qaysidir maʼnoda bu muammoning yakuniy javobidir. Taxminan, „koʻrsatkichlar toʻplami“ — bu orbitalar toifasi va uni bitta stackifikatsiya qilish (yaʼni, torsor tushunchasini kiritish).

Ilovalarga qarab, yana bir yondashuv fokusni boʻsh joydan, keyin boʻshliqdagi narsalarga oʻtkazishdir; masalan, topos . Shunday qilib, muammo orbitalarning tasnifidan ekvivariant obyektlarning tasnifiga ham oʻtadi.

Yana qarang

guruhoid sxemasi
Sumixiro teoremasi
ekvivariant boʻlak
Borelning sobit nuqta teoremasi

Manbalar

Andoza:Manbalar

Andoza:Kitob manbasi

Andoza:Turkumsiz

↑ In details, given a group-scheme action $σ$ , for each morphism $T \to S$ , $σ$ determines a group action $G (T) \times X (T) \to X (T)$ ; i.e., the group $G (T)$ acts on the set of T-points $X (T)$ . Conversely, if for each $T \to S$ , there is a group action $σ_{T} : G (T) \times X (T) \to X (T)$ and if those actions are compatible; i.e., they form a natural transformation, then, by the Yoneda lemma, they determine a group-scheme action $σ : G \times_{S} X \to X$ .

[1] In details, given a group-scheme action $σ$ , for each morphism $T \to S$ , $σ$ determines a group action $G (T) \times X (T) \to X (T)$ ; i.e., the group $G (T)$ acts on the set of T-points $X (T)$ . Conversely, if for each $T \to S$ , there is a group action $σ_{T} : G (T) \times X (T) \to X (T)$ and if those actions are compatible; i.e., they form a natural transformation, then, by the Yoneda lemma, they determine a group-scheme action $σ : G \times_{S} X \to X$ .

[1]

Guruh-sxema harakati

Mundarija

Konstruktsiyalar

Boʻlimni qurish muammosi

Yana qarang

Manbalar

Navigatsiya

Guruh-sxema harakati

Konstruktsiyalar

Boʻlimni qurish muammosi

Yana qarang

Manbalar

Navigatsiya

Qidiruv