Elementar funksiyalar

Elementar funksiyalar — koʻphadlar, ratsional, koʻrsatkichli, darajali, logarifmik, trigonometrik, teskari trigonometrik funksiyalar, shuningdek, bu funksiyalardan toʻrt arifmetik amal va chekli marta qoʻllangan superpozitsiyalar yordamida hosil qilinadigan funksiyalarni oʻz ichiga olgan funksiyalar sinfi.

Elementar funksiyalar sinfi yaxshi oʻrganilgan va u amaliy matematikada koʻp qoʻllanadi. Elementar funksiyalar ning hosilasi hamisha Elementar funksiyalar boʻladi, lekin Elementar funksiyalardan olingan integral Elementar funksiyalar boʻlmasligi ham mumkin.

Butun ratsional funksiyalar

Ushbu$$y=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...a_{n-1}{x}^{n-1}+a_n{x}^n$$koʼrinishdagi funksiya butun ratsional funksiya deyiladi. Bunda $a_0,a_1,...,a_n$ - oʻzgarmas sonlar, $n\in N$. Bu funksiya $R=(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ da aniqlangan. Butun ratsional funksiyaning baʻzi xususiy hollari:

Chiziqli funksiya

Bu funksiya $y=ax+b$ $(a\ne 0)$ koʻrinishga ega, bunda a, b, c - oʻzgarmas sonlar.

Chiziqli funksiya $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ da aiqlangan $a>0$ boʻlganda oʻsuvchi, $a<0$ boʻlganda kamayuvchi: grafigi tekislikdagi toʻgʻri chiziqdan iborat.

Kvadrat funksiya

Parabolaning tekislikda joylashishi $a$ hamda $D=b^2-4ac$ larning ishorasiga bogʻliq boʻladi. Masalan, $a>0$, $D>0$ va $a<0$, $D<0$ boʻlganda uning grafigi shunday boʻladi.

Bu funksiya $y=a{x}^2+bx+c$ $(a\ne 0)$ koʻrinishga ega, bunda a, b, c - oʻzgarmas sonlar.

Kvadrat funktsiya R da aniqlangan boʼlib, uning grafigi parabolani ifodalaydi.

Ravshanki $y=a{x}^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})-\frac{b^2-4ac}{4a}$

Kasr ratsional funksiyalar

Ushbu $y=\frac{a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_n{x}^n}{b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+...+b_m{x}^m}$ koʻrinishdagi funksiya kasr ratsional funksiya deyiladi. Bunda $a_0,a_1,...,a_n$ va $b_0,b_1,...,b_m$ lar oʻzgarmas sonlar $n\in N$, $m\in N$. Bu funksiya $X=(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })\{x\mid b_0+b_{1}x+...+b_m{x}^m=0$ toʻplamda aniqlangan.

Kasr ratsional funksiyaning baʻzi xususiy hollari:

Teskari proporsional bogʻlanish

Bu funksiya $X=(-\mathrm{\infty },0)\bigcup (0,+\mathrm{\infty })=R\mathrm{\setminus }\{0\}$ toʻplamda aniqlangan, toq funksiya, $a$ ning ishorasiga qarab funksiya $(-\mathrm{\infty },0)$ va $(0,+\mathrm{\infty })$ oraliqlarning har bir kamayuvchi yoki oʻsuvchi boʻladi.

U $y=\frac{a}{x}$ ($x\ne 0$ $a=const$) koʻrinishga ega.

Kasr chiziqli funksiya

U ushbu $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ korinishga ega. Bu funksiya $X=R\mathrm{\setminus }\{-\frac{d}{c}\}$ $(c\ne 0)$ toʻplamda aniqlangan:

Ravshanki, $y=\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{bc-ad}{c^2}*\frac{1}{x+\frac{d}{c}}+\frac{a}{c}$. Demak, $y=\frac{a}{x+\beta }+\gamma$, $(a=\frac{bc-ad}{c^2},\beta =\frac{d}{c},\gamma =\frac{a}{c})$. Uning grafigini $y=\frac{a}{x}$ funksiya grafigi yordamida chizish mumkin.

Darajali funksiya

Ushbu $y=x^a$, $(x\ge 0)$ koʻrinishdagi funksiya darajali funksiya deyiladi.

Bu funksiyaning aniqlanish toʻplami $a$ ga bogʻliq. Darajali funksiya $a>0$, boʻlganda $(0,+\mathrm{\infty })$ da oʻsuvchi, $a<0$ boʻlganda kamayuvchi boʻladi. $y=x^a$ funksiya grafigi tekislikning (0,0) va (1,1) nuqtalardan oʻtadi.

Koʻrsatkichli funksiya

Ushbu $y=a^x$ koʻrinishdagi funksiya koʻrsatkichli funksiya deyiladi. Bunda $a\in R$, $a>0$, $a\ne 1$. Koʻrsatkichli funksiya $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ aniqlangan, $\mathrm{\forall }x\in R$ da $a^x>0$; $a>0$ boʻlganda oʻsuvchi; $0<a<1$ boʻlganda kamayuvchi boʻladi.

Xususan, $a=e$ boʻlsa, matematikada muhim roʻl oʻynaydigan $y=e^x$ funksiya hosil bovladi.

Koʻrsatkichli funksiyaning grafigi $Ox$ oʻqidan yuqoridan joylashgan va tekislikning (0,1) nuqtasidan oʻtadi.

Logarifimik funksiya

Ushbu $y={\log }_{y}x$ koʻrinishdagi funksiya logarifmik funksiya deyiladi. Bunda $a>0$, $a\ne 1$.

Logarifimlik funksiya $(0,+\mathrm{\infty })$ da aniqlangan, $y=a^x$ funksiyaga nisbatan teskari; $a>1$ boʻlganda oʻsuvchi, $0<a<1$ boʻlganda kamayuvchi boʻlad.

Logarifmik funksiyaning grafigi $Oy$ oʻqining oʻng tomonida joylashgan va tekislikning (0,1) nuqtasidan oʻtadi.

Trigonometrik funksiyalar

Ushbu $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=tgx$, $y=ctgx$, $y=secx$, $y=cosecx$ funksiyalar trigonometrik funksiyalar deyiladi.

$y=\sin x$, $y=\cos x$ funksiyalar $R=(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ da aniqlangan, $2\pi$ davrli funksiyalar $\mathrm{\forall }x\in R$ da $-1\le sinx\le 1$, $-1\le cosx\le 1$ boʻladi. Ushbu $y=tgx$ funksiya $X=R\mathrm{\setminus }\{x\in R|x=(2k+1)\frac{\pi }{2};k=0,\pm 1,\pm 2,...\}$ toʻplamda aniqlangan $\pi$ davrli funksiya $ctgx$, $secx$, $cosecx$ funksiyalar $sinx$, $cosx$, $tgx$ lar orqali quyidagicha ifodalaydi: $ctgx=\frac{1}{tgx},secx=\frac{1}{cosx},cosecx=\frac{1}{sinx}$.

Giperbolik funksiyalar

Koʻrsatkichli $y=e^x$ funksiya yordamida tuzilgan ushbu $\frac{e^x-e^{-x}}{2},\frac{e^x+e^{-x}}{2},\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}},\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$ funksiyalar giperbolik (mos ravishda giperbolik sinus, giperbolik kosinus, giperbolik tangens, giperbolik katangens) funksiyalar deyiladi va ular quyidagicha $shx=\frac{e^x-e^{-x}}{2},chx=\frac{e^x+e^{-x}}{2},thx=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}},cthx=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$ belgilanadi.

Teskari trigonometrik funksiyalar

Maʻlumki, $y=sinx$ funksiya R da aniqlangan va uning qiymatlari toʻplami $Y_f=[-1,1]$ boʻladi.

Agar $x\in (-\frac{\pi }{2})\left(\frac{\pi }{2}\right)$ boʻlsa, u holda $X=(-\frac{\pi }{2})\left(\frac{\pi }{2}\right)$ va $Y_f=[-1,1]$ toʻlamlarining elementlari oʻzaro bir qiymatli moslikda boʻladi.

$y=sinx$ funksiyaga nisbatan teskari funksiya $y=arcsinx$ kabi belgilanadi

Shunga oʻxshash $y=cosx,y=tgx,y=ctgx$ funksiyalarga nisbatan ts=ekari funksiya mos ravishda $y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgx$, kabi belgilanadi.

Ushbu $y=arcsinx,y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgx$ funksiyalar teskari trigonometrik deyiladi.