Uzluksiz funksiya

Uzluksiz funksiya – maʼlum shartni qanoatlantiruvchi funksiya; muhim tushunchalardan biri. f(x) funksiya £eL toʻplamda aniqlangan va xoyeYe shu toʻplamning limit nuqtasi boʻlsin. Agar limf(x) = f(x0) boʻlsa, f{x) funksiya x=x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. Funksiyaning uzluksizligini quyidagicha aytish ham mumkin: agar ixtiyoriy ye>0 son uchun shunday 5>0 son topilsinki, bunda hx— xp | <5 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha jce Ye da hf(x)—f(x^ I <e tengsizlik bajarilsa, fi x) funksiya x=x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. Agar fi x) funksiya Ye toʻplamning har bir nuktasida uzluksiz boʻlsa, u shu Ye toʻplamda uzluksiz deyiladi. Uzluksiz funksiyalarning xossalari: uzluksiz funksiyalarning yigʻindisi, ayirmasi, koʻpaytmasi hamda nisbati (mahraj nolga teng boʻlmagan holda) yana uzluksiz boʻladi; (fi x) (xe Rm) funksiya FczR1" toʻplamda berilgan boʻlsa, uning xoye Gʻ nuqtada uzluksizligi yuqoridagiday taʼriflanadi.

Birinchi taʻrif

Agar $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$ boʻlsa, $f(x)$ funksiya $x_0$ nuqtada uzluksiz deyiladi.

Demak, $f(x)$ funksiyaning $x_0$ nuqtada uzluksiz ushbu 1) $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=b$ ning mavjudligi, 2) $b=f(x_0)$ boʻlishi shartlarining bajarilishi bilan ifodalanadi.

Misollar

1. Ushbu $f(x)=x^4+x^2+1$ funksiya $\mathrm{\forall }{x}_0\in R$ nuqtada uzluksiz boʻladi, chunki $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }(x^4+x^2+1)=x_0^4+x_0^2+1=f(x_0)$
2. Ushbu $f(x)=(sinx{)}^2=\{\begin{array}{ccc}1,agar& x\ne 0& b{o}^{\prime }lsa\\ 0,agar& x=0& b{o}^{\prime }lsa\end{array}$ funksiyani qaraylik. Ravshanki, $\mathrm{\forall }{x}_0\in R$ nuqtada $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=1$ boʻladi. Demak, qaralyotgan funksiya $\mathrm{\forall }{x}_0\in R$, $x_0\ne 0$ nuqtada uzluksiz boʻladi. Ammo $f(0)=0$ boʻlgani sababli $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(0)$ boʻladi. Demak, $f(x)$ funksiya $x_0=0$ nuqtada uzluksiz boʻlmaydi. Funksiya limitning Geyne va Koshi taʻriflariga binoan funksiyaning $x_0$ nuqtadagi uzluksizligini quyidagicha taʻriflash mumkin.

Ikkinchi taʻrif

Agar $n\to \mathrm{\infty }$ da $x_n\to x_0$ $(x_n\in X,n=1,2...)$ boʻladigan ixtiyoriy $\{x_n\}$ ketma-ketlik uchun $n\to \mathrm{\infty }$ da $f(x_n)\to f(x_0)$ boʻlsa, $f(x)$ funksiya $x_0$ nuqtada uzluksiz deyiladi.

Uchinchi taʻrif

Agar $\mathrm{\forall }ϵ>0$ son olinganda ham shunday $\delta =\delta (ϵ)>0$ son topilsaki, $\mathrm{\forall }x\in X\bigcap U_{\delta }(x_0)$ uchun $\mid f(x)-f(x_0)\mid <ϵ$ tengsizlik bajarilsa, $f(x)$ funksiya $x_0$ nuqtada uzluksiz deyiladi.

Odatda, $x-x_0$ ayirma argument orttirmasi, $f(x)-f(x_0)$ esa funksiya orttirmasi deyilib, ular mmos ravishda $△x$ va $△f$ kabi belgilanadi: $△x=x-x_0$, $△f=f(x)-f(x_0)=f(x_0+△x)-f(x_0)$.

Unda funksiya uzluksizligining birinchi taʻrifidagi munosabat ushbu $\underset{△\to 0}{\lim }△f=0$ koʻrinishga keladi.

Demak, munosabatni funksiyaning $x_0$ nuqtada uzluksizligi taʻrifi sifatida qarash mumkin.

Aytaylik, $f(x)$ funksiya $X\subset R$ toʻplamda berilgan boʻlib, $x_0\in X$ nuqta X toʻplamning oʻng (chap) limit nuqtasi boʻlsin.

Toʻrtinchi taʻrif

Agar $\underset{x\to x_0+0}{\lim }f(x)=f(x_0)$ $(\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0))$ boʻlsa, $f(x)$ funksiya $x_0$ nuqtada oʻngdan (chapdan) uzluksiz deyiladi.

Demak, $f(x)$ funksiya $x_0$ nuqtada oʻngdan (chapdan) uzluksiz boʻlganda funksiyaning oʻng (chap) limiti uning $x_0$ nuqtadagi qiymatiga teng boʻladi: $f(x_0+0)=f(x_0)$ $(f(x_0-0)=f(x_0))$.

Keltirilgan taʻriflardan, $f(x)$ funksiya $x_0$ nuqtada ham boʻlganda, ham chapdan bir vaqtda uzluksiz boʻlsa, funksiya shu nuqtada uzluksiz boʻlishini topamiz.

Umuman, $f(x)$ funksiyaning $x_0$ nuqtada uzluksiz boʻlishi, $\mathrm{\forall }ϵ>0$ berilganda ham unga koʻra shunday $\delta =\delta (\epsilon )>0$ topilib, $\mathrm{\forall }x\in {\cup }_{\delta }(x_0)\subset X\Rightarrow f(x)\in {\cup }_{\epsilon }(f(x_0))$ boʻlishini bildiradi.

Beshinchi taʻrif

Agar $f(x)$ funksiya $X\subset R$ toʻplamining har bir nuqtasida uzluksiz boʻlsa, $f(x)$ funksiya $X$ toʻplamda uzluksiz deyiladi.

Oltinchi taʻrif

$X\subset R$ toʻplamda uzluksiz boʻlgan funksiyalardan iborat toʻplam uzluksiz funksiyalar toʻplami deyiladi va $C(X)$ kabi belgilanadi.

Masalan, $f(x)\in C[a,b]$ boʻlishi, $f(x)$ funksiyaning $[a,b]$ segmentining har bir nuqtasida uzluksiz, yaʻni $f(x)$ funksiya $(a,b)$ intervalning har bir nuqtasida uzluksiz, $a$ nuqtadan oʻngdan, $b$ nuqtadan esa chapdan uzluksiz boʻlishini bildiradi.

Funksiyaning uzulishi

Aytaylik, $f(x)$ funksiya $(a,b)$ da $(-\mathrm{\infty }\le a<b\le +\mathrm{\infty })$ berilgan boʻlib, $x_0\in (a,b)$ boʻlsin.

Maʻlumki, $f(x)$ funksiyaning $x_0$ nuqtadagi oʻng va chap limitlari $f(x_0+0)$, $f(x_0-0)$ mavjud boʻlib, $f(x_0-0)=f(x_0)=f(x_0+0)$ tenglik oʻrinli boʻlsa, u holda $f(x)$ funksiya $x_0$ nuqta $f(x)$ funksiyaning uzulish nuqtasi deyiladi.

Yettinchi taʻrif

Agar limitlar mavjud va chekli boʻlib, tengliklarning birortasi oʻrinli boʻlmasa, $x_0$ nuqta $f(x)$ funksiyaning birinchi tur uzulish nuqtasi deyiladi. Bunda $f(x_0+0)-f(x_0-0)$ ayirma funksiyning $x_0$ nuqtadagi sakrashi deyiladi.

Masalan, $f(x)=[x]$ funksiya $x=p$ $(p\in Z)$ nuqtada birinchi tur uzilishiga ega, chunki $f(p+0)=p$, $\mathrm{f}(\mathrm{p}{\phantom{A}}_0)=\mathrm{p}\text{-}1$ boʻlib $f(p+0)\ne f(p_0-0)$ boʻladi. Agar hech boʻlaganda limitlarning birortasi mavjud boʻlmasa yoki cheksiz boʻlsa, $x_0$ nuqta $f(x)$ funksiyaning ikkinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi.

Masalan, ushbu $f(x)=\{\begin{array}{ccc}sin\frac{1}{x},agar& x\ne 0& b{o}^{\prime }lsa\\ 0,agar& x=0& b{o}^{\prime }lsa\end{array}$ funksiya $x=0$ nuqtada ikkinchi tur uzilishiga ega boʻladi, chunki bu funksiya $x=0$ nuqtadagi oʻng va chap limitlari mavjud emas.

Murakkab funksiyaning uzluksizligi

Faraz qilaylik, $y=f(x)$ funksiya $X\subset R$ toʻplamda, $u=F(y)$ funksiya esa $Y_f$ toʻplamda aniqlangan boʻlib, ular yordamida $u=(f(x))$ murakkab funksiya tuzilgan.