Sferik koordinatalar

Sferik koordinatalar sistemasi — uch oʻlchamli koordinatalar sistemasi boʻlib, fazodagi nuqtaning vaziyati uchta kattalik bilan ($r,\theta ,\phi$) bilan aniqlanadi. Bu yerda $r$ — koordinatalar boshigacha boʻlgan masofa, $\theta$ va $\phi$— mos holda zenit va azimutal burchaklar.

Zenit va azimut tushunchalari astronomiyada keng qoʻllanadi. Zenit — ixtiyoriy tanlangan nuqta (kuzatish nuqtasi) dan vertikal yuqoriga yoʻnalgan boʻlib, fundamental tekislikda yotadi. Astronomiyada fundamental tekislik sifatida ekvator yotgan tekislik yoki ekliptika tekisligi olinadi. Azimut — fundamental tekislikdagi ixtiyoriy tanlangan nur bilan boshlangʻich kuzatish nuqtasi orasidagi burchak.

1-rasm. Ixtiyoriy nuqtaning fazodagi vaziyatini uchta dekart koordinatalari yoki uchta sferik koordinatalar orqali aniqlash mumkin.

Boshqa koordinata sistemalariga oʻtish

Dekart koordinatalar sistemasi

Agar nuqtaning sferik koordinatalari $(r,\theta ,\phi )$ berilgan boʻlsa, dekart koordinatalariga oʻtish uchun quyidagi formulalardan foydalaniladi:

$\{\begin{array}{c}x=r\sin \theta \cos \phi ,\\ y=r\sin \theta \sin \phi ,\\ z=r\cos \theta .\end{array}$

Dekart koordinatalaridan sferik koordinatalarga oʻtish uchun esa:

$\{\begin{array}{c}r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\\ \theta =\arccos \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z},\\ \phi =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{y}{x}.\end{array}$

Sferik koordinatalarga oʻtish yakobiani:

$\begin{array}{cc}J& =\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\phi )}=\left|\begin{array}{ccc}\sin \theta \cos \phi & r\cos \theta \cos \phi & -r\sin \theta \sin \phi \\ \sin \theta \sin \phi & r\cos \theta \sin \phi & r\sin \theta \cos \phi \\ \cos \theta & -r\sin \theta & 0\end{array}\right|=\\ & =\cos \theta (r^2\cos {\phi }^2\cos \theta \sin \theta +r^2{\sin }^2\phi \cos \theta \sin \theta )+r\sin \theta (r{\sin }^2\theta {\cos }^2\phi +r{\sin }^2\theta {\sin }^2\phi )=\\ & =r^2{\cos }^2\theta \sin \theta +r^2{\sin }^2\theta \sin \theta =\\ & =r^2\sin \theta .\end{array}$

Shunday qilib, dekart koordinatalaridan sferik koordinatalarga oʻtishdagi hajm elementi quyidagi koʻrinishga ega boʻladi:

$\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=J(r,\theta ,\phi )\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi =r^2\sin \theta \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi$

Silindrik koordinatalar sistemasi

Agar nuqtaning silindrik koordinatalari berilgan boʻlsa, sferik koordinatalarga oʻtish uchun quyidagi formulalardan foydalaniladi:

$\{\begin{array}{c}\rho =r\sin \theta \\ \phi =\phi \\ z=r\cos \theta \end{array}$

Yoki aksincha, sferik koordinatalardan silindrik koordinatalarga oʻtish uchun quyidagi formulalardan foydalaniladi:

$\{\begin{array}{c}r=\sqrt{{\rho }^2+z^2},\\ \theta =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\rho }{z},\\ \phi =\phi .\end{array}$

Silindrik koordinatalardan sferik koordinatalarga oʻtish yakobiani :

$J=r$

Sferik koordinatalar sistemasida differensiallash va integrallash

$(r,\theta ,\phi )$ nuqtadan $(r+\mathrm{d}r,\theta +\mathrm{d}\theta ,\phi +\mathrm{d}\phi )$ nuqtaga oʻtkazilgan vektor $\mathrm{d}𝐫$ ning uzunligi quyidagiga teng:

$\mathrm{d}𝐫=\mathrm{d}r\widehat{𝒓}+r\mathrm{d}\theta \hat{\mathit{\theta }}+r\sin \theta \mathrm{d}\phi \hat{\mathit{\phi }},$

bu yerda

$\widehat{𝒓}=\sin \theta \cos \phi \hat{\mathit{ı}}+\sin \theta \sin \phi \hat{\mathit{ȷ}}+\cos \theta \widehat{𝒌}$

$\hat{\mathit{\theta }}=\cos \theta \cos \phi \hat{\mathit{ı}}+\cos \theta \sin \phi \hat{\mathit{ȷ}}-\sin \theta \widehat{𝒌}$

$\hat{\mathit{\phi }}=-\sin \phi \hat{\mathit{ı}}+\cos \phi \hat{\mathit{ȷ}}$

Sferik koordinatalar ortogonal hisoblanadi. Shu sababli ularning metrik tenzori diagonal koʻrinishda boʻladi:

$g_{ij}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& r^2& 0\\ 0& 0& r^2{\sin }^2\theta \end{array}\right),g^{ij}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \frac{1}{r^2}& 0\\ 0& 0& \frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\end{array}\right)$

• $\det (g_{ij})=r^4{\sin }^2\theta .$
• Yoy uzunligi differensialining kvadrati:

$d{s}^2=d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta d{\phi }^2.$

• Lame koeffitsiyentlari:

$H_r=1,H_{\theta }=r,H_{\phi }=r\sin \theta .$

• Kristoffel belgilari $\{r,\theta ,\phi \}$:

${\mathrm{\Gamma }}_{22}^1=-r,{\mathrm{\Gamma }}_{33}^1=-r{\sin }^2\theta ,$

${\mathrm{\Gamma }}_{21}^2={\mathrm{\Gamma }}_{12}^2={\mathrm{\Gamma }}_{13}^3={\mathrm{\Gamma }}_{31}^3=\frac{1}{r},$

${\mathrm{\Gamma }}_{33}^2=-\cos \theta \sin \theta ,{\mathrm{\Gamma }}_{23}^3={\mathrm{\Gamma }}_{32}^3=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\theta .$

Sferik koordinatalar sistemasida birlik vektorlar

Sferik koordinatalar sistemasida masofa

Fazodagi vaziyati sferik koordinatalar sistemasida berilgan ikki nuqtaning joylashuvi quyidagicha boʻlsin:

$\begin{array}{cc}𝐫& =(r,\theta ,\phi ),\\ {𝐫}^{\prime }& =(r^{\prime },{\theta }^{\prime },{\phi }^{\prime })\end{array}$

U holda ushbu nuqtalar orasidagi masofani quyidagi formula orqali hisoblash mumkin:

$\begin{array}{cc}𝐃& =\sqrt{r^2+r{\text{'}}^2-2r{r}^{\prime }(\sin \theta \sin {\theta }^{\prime }\cos (\phi -{\phi }^{\prime })+\cos \theta \cos {\theta }^{\prime })}\end{array}$

Harakat tenglamasi

Nuqtaning vaziyati sferik koordinatalarda quyidagi koʻrinishda berilgan boʻlsin:

$𝐫=r\widehat{𝐫}.$

U holda uning tezligi:

$𝐯=\dot{r}\widehat{𝐫}+r\dot{\theta }\hat{\mathit{\theta }}+r\dot{\phi }\sin \theta \hat{\mathit{\phi }},$

hamda tezlanishi:

$\begin{array}{cc}𝐚=& (\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2-r{\dot{\phi }}^2{\sin }^2\theta )\widehat{𝐫}\\ & +(r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta }-r{\dot{\phi }}^2\sin \theta \cos \theta )\hat{\mathit{\theta }}\\ & +(r\ddot{\phi }\sin \theta +2\dot{r}\dot{\phi }\sin \theta +2r\dot{\theta }\dot{\phi }\cos \theta )\hat{\mathit{\phi }}.\end{array}$

ga teng boʻladi.

Burchak momenti:

$𝐋=m𝐫\times 𝐯=m{r}^2(\dot{\theta }\hat{\mathit{\phi }}-\dot{\phi }\sin \theta \hat{\mathit{\theta }}).$

$\phi$ oʻzgarmas boʻlganda yoki $\theta =\frac{\pi }{2}$ boʻlganda, moddiy nuqtaning harakat tenglamasi qutb koordinatalar sistemasiga oʻtadi.

$𝐋=-i\hslash 𝐫\times \mathrm{\nabla }=i\hslash (\frac{\hat{\mathit{\theta }}}{\sin (\theta )}\frac{\partial }{\partial \varphi }-\hat{\mathit{\varphi }}\frac{\partial }{\partial \theta }).$

Yana qarang

• Eyler burchaklari
• Gipersferik koordinatalar

Manbalar

• Andoza:Kitob manbasi
• Andoza:Kitob manbasi
• Andoza:Kitob manbasi
• Andoza:Kitob manbasi
• Andoza:Kitob manbasi
• Andoza:Kitob manbasi
• Python tilida yozilgan programma