Gamma-funksiya

Haqiqiy oʻzgaruvchili gamma-funksiya grafigi

Gamma-funksiya — matematik funksiya, belgilanishi $\mathrm{\Gamma }(z)$. Leonard Eiler tomonidan kiritilgan.

Gamma-funksiya fanda juda keng qoʻllaniladigan funksiya hisoblanadi. Uning qoʻllanilish sohalari — matematik tahlil, ehtimollar nazariyasi, komninatorika, statistika, atom fizikasi, astrofizika, gidrodinamika, seysmologiya, iqtisodiyot va boshqalar.

Xususan, gamma-funksiya argumentning haqiqiy va murakkab qiymatlari toʻplamlarida faktorial tushunchasini umumlashtirish uchun ishlatiladi.

Taʼrifi

Integral boʻyicha

Agar $z$ kompleks sonning haqiqiy qismi musbat boʻlsa, u holda gamma-funksiya absolyut yaqinlashuvchi integral nuqtai nazaridan aniqlanadi:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{e}^{-t}dt,z\in ℂ,\mathrm{R}\mathrm{e}(z)>0$

Legendre tomonidan kiritilgan ushbu taʼrif, Eiler tomonidan 1730-yilda gamma-funksiyaga berilgan taʼrifdan kelib chiqqan, deyishimiz mumkin:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(-\ln x{)}^{z-1}dx$

$x=e^{-t}$ oʻzgaruvchi kiritilgani tufayli, hozirgi kunda aynan Legendre taʼrifi — gamma-funksiyaning klassik taʼrifi deb tan olinadi. Ushbu integralni boʻlaklarga boʻlib integrallasak, $\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\mathrm{\Gamma }(z)$ ekanligini koʻrishmiz mumkin.