Leonardo raqami

Leonardo raqamlari takrorlanish orqali berilgan raqamlar ketma-ketligi hisoblanadi:

$L(n)=\{\begin{array}{cc}1& \text{uchun }n=0\\ 1& \text{uchun }n=1\\ L(n-1)+L(n-2)+1& \text{uchun }n>1\end{array}$

Edsger W. Dijkstra ularni silliq tartiblash algoritmining ajralmas qismi sifatida ishlatgan va shuningdek, ularni batafsil tahlil qilganlar.

Leonardo tubi Leonardo soni boʻlib, u ham tub son hisoblanadi.

Qiymatlari

Birinchi bir nechta Leonardo raqamlari quyidagilar:

1, 1, 3, 5, 9, 15, 25, 41, 67, 109, 177, 287, 465, 753, 1219, 1973, 3193, 5167,…

Leonardoning birinchi bir necha asosiy sonlari:

3, 5, 41, 67, 109, 1973, 5167, 2692537, 11405773, 126491971, 331160281, 535828591, 279167724889, 145446920496281, 28944668049352441, 5760134388741632239, 63880869269980199809, 167242286979696845953, 597222253637954133837103, …

Modul sikllari

Leonardo raqamlari har qanday modulda n≥2 sikl hosil qiladi. Uni koʻrishning oson yoʻli quyidagilar:

• Agar juftlik moduli n ketma-ketlikda ikki marta paydo boʻlsa, unda sikl mavjud.
• Agar oldingi bayonotdan foydalanib, asosiy bayonotni notoʻgʻri deb hisoblasak, bu 0 va n-1 oʻrtasida cheksiz aniq juft raqamlar mavjudligini bildiradi, chunki bu notoʻgʻri, chunki n² juftlik mavjud boʻladi.

n≤8 uchun sikllar:

Modul	Davr	Uzunlik
2	1	1
3	1,1,0,2,0,0,1,2	8
4	1,1,3	3
5	1,1,3,0,4,0,0,1,2,4,2,2,0,3,4,3,3,2,1,4	20
6	1,1,3,5,3,3,1,5	8
7	1,1,3,5,2,1,4,6,4,4,2,0,3,4,1,6	16
8	1,1,3,5,1,7	6

Davr har doim (1,n-1) juftlikda tugaydi, chunki bu juftlikdan (1,1) oldin kelishi mumkin boʻlgan yagona juftlik boʻladi.

Ifodalar

• Quyidagi tenglama qoʻllanadi:

$L(n)=2L(n-1)-L(n-3)$ IsbotAndoza:Math

Fibonachchi raqamlariga munosabat

Leonardo raqamlari Fibonachchi raqamlari bilan quyidagi munosabatlarga bogʻliq $L(n)=2F(n+1)-1,n\ge 0$ .

Bu munosabatdan Leonardo raqamlari uchun Binetning Fibonachchi raqamlari formulasiga oʻxshash yopiq shakldagi ifodani olish juda oson:

$L(n)=2\frac{{\phi }^{n+1}-{\psi }^{n+1}}{\phi -\psi }-1=\frac{2}{\sqrt{5}}({\phi }^{n+1}-{\psi }^{n+1})-1=2F(n+1)-1$

bu yerda oltin nisbat $\phi =(1+\sqrt{5})/2$ va $\psi =(1-\sqrt{5})/2$ kvadrat polinomning ildizlari $x^2-x-1=0$ shunga teng .

Havolalar

• OEIS sequence A001595