Uch jism muammosi sahifasining manbasini koʻrish

[[Fayl:Three-body_Problem_Animation_with_COM.gif|thumb|300x300px| Turli tomonli uchburchakning uchlarida joylashgan va boshlangʻich tezligi nolga teng boʻlgan uchta bir xil jismning taxminiy traektoriyalari. Koʻrinib turibdiki, [[massa markazi]] [[Impuls|impulsning saqlanish qonuniga]] muvofiq, oʻz joyida qoladi.]]
[[Fizika]] va [[Klassik mexanika|klassik mexanikada]] '''uch jism muammosi''' uch nuqtali massalarning boshlangʻich pozitsiyalari va tezliklarini (yoki [[Impuls|momentlarini]]) olish va ularning keyingi harakatini [[Newton qonunlari|Nyutonning harakat qonunlari]] va Nyutonning butun dunyo tortishish qonuniga muvofiq hal qilish masalasidir<ref name="PrincetonCompanion">{{Ensiklopediya manbasi|last=Barrow-Green|first=June|year=2008|title=The Three-Body Problem|editor=Gowers|encyclopedia=The Princeton Companion to Mathematics|pages=726–728|publisher=Princeton University Press}}</ref>. Uch tana muammosi — tana muammosining alohida holatidir. [[Ikki jism masalasi|Ikki tanali masalalardan]] farqli oʻlaroq, umumiy yopiq shakldagi yechim mavjud emas <ref name="PrincetonCompanion" />, chunki natijada paydo boʻlgan dinamik tizim koʻpchilik boshlangʻich sharoitlar uchun xaotikdir va odatda raqamli usullar talab qilinadi.

Tarixiy jihatdan, kengaytirilgan oʻrganish uchun birinchi maxsus uch tana muammosi [[Oy]], [[Yer]] va [[Quyosh|Quyoshni]] oʻz ichiga olgan muammo edi<ref name="first">{{Veb manbasi |url=http://www.wolframscience.com/reference/notes/972d |sarlavha=Historical Notes: Three-Body Problem |qaralgan sana=19 July 2017}}</ref>. Kengaytirilgan zamonaviy maʼnoda uch jismli muammo [[klassik mexanika]] yoki [[Kvant mexanika|kvant mexanikasidagi]] uchta zarrachaning harakatini modellashtiradigan har qanday muammodir.

== Matematik tavsifi ==
Uch jismli masalaning matematik bayoni vektor pozitsiyalari uchun Nyuton harakat tenglamalari nuqtai nazaridan berilishi mumkin. <math>\mathbf{r_i} = (x_i, y_i, z_i)</math> massalari bilan gravitatsiyaviy taʼsir qiluvchi uchta jism <math>m_i</math> :

: <math>\begin{align}
 \ddot\mathbf{r}_{\mathbf{1}} &= -G m_2 \frac{\mathbf{r_1} - \mathbf{r_2}}{|\mathbf{r_1} - \mathbf{r_2}|^3} - G m_3 \frac{\mathbf{r_1} - \mathbf{r_3}}{|\mathbf{r_1} - \mathbf{r_3}|^3}, \\
 \ddot\mathbf{r}_{\mathbf{2}} &= -G m_3 \frac{\mathbf{r_2} - \mathbf{r_3}}{|\mathbf{r_2} - \mathbf{r_3}|^3} - G m_1 \frac{\mathbf{r_2} - \mathbf{r_1}}{|\mathbf{r_2} - \mathbf{r_1}|^3}, \\
 \ddot\mathbf{r}_{\mathbf{3}} &= -G m_1 \frac{\mathbf{r_3} - \mathbf{r_1}}{|\mathbf{r_3} - \mathbf{r_1}|^3} - G m_2 \frac{\mathbf{r_3} - \mathbf{r_2}}{|\mathbf{r_3} - \mathbf{r_2}|^3}.
\end{align}</math>

bu yerda <math>G</math> [[Gravitatsion doimiy|tortishish doimiysi]] hisoblanadi<ref name="Barrow-Green1997">{{Kitob manbasi |first=June |last=Barrow-Green |title=Poincaré and the Three Body Problem |url=https://archive.org/details/poincarethreebod0011barr |year=1997 |publisher=American Mathematical Society |isbn=978-0-8218-0367-7 |pages=[https://archive.org/details/poincarethreebod0011barr/page/8 8]–12}}</ref> <ref>{{Veb manbasi |url=http://www.phys.lsu.edu/faculty/gonzalez/Teaching/Phys7221/ThreeBodyProblem.pdf |sarlavha=The Three-Body Problem}}</ref>. Bu toʻqqizta ikkinchi darajali [[Differensial tenglama|differentsial tenglamalar]] toʻplamidir. Muammoni [[Gamilton mexanikasi|Gamilton formalizmida]] ham ekvivalent tarzda ifodalash mumkin, bu holda u pozitsiyalarning har bir komponenti uchun bittadan boʻlgan 18 ta birinchi tartibli differensial tenglamalar toʻplami bilan tavsiflanadi. <math>\mathbf{r_i}</math> va momenta <math>\mathbf{p_i}</math> :

: <math>
\frac{d \mathbf{r_i}}{dt} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{p_i}}, \qquad \frac{d\mathbf{p_i}}{dt} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{r_i}},
</math>

bu yerda <math>\mathcal{H}</math> [[Gamilton mexanikasi|Gamiltonian]] :

: <math>
\mathcal{H} = -\frac{G m_1 m_2}{|\mathbf{r_1} - \mathbf{r_2}|}-\frac{G m_2 m_3}{|\mathbf{r_3} - \mathbf{r_2}|} -\frac{G m_3 m_1}{|\mathbf{r_3} - \mathbf{r_1}|} + \frac{\mathbf{p_1}^2}{2m_1} + \frac{\mathbf{p_2}^2}{2m_2} + \frac{\mathbf{p_3}^2}{2m_3}.
</math>

Ushbu holatda <math>\mathcal{H}</math> oddiygina tizimning umumiy energiyasi, tortishish va kinetik.

=== Cheklangan uch tana muammosi ===
[[Fayl:Restricted_Three-Body_Problem_-_Energy_Potential_Analysis.png|thumb|300x300px| Dairesel cheklangan uch tana muammosi  - bu [[Quyosh tizimi|Quyosh tizimidagi]] elliptik orbitalarning haqiqiy taxminiy koʻrinishi va buni ikkita asosiy jismning tortishish kuchi va ularning aylanishidan kelib chiqadigan markazdan qochma taʼsiridan kelib chiqadigan potentsiallarning kombinatsiyasi sifatida tasavvur qilish mumkin ([[Sayyora uchun Koriolis kuchi|Koriolis effektlari]] dinamik va koʻrsatilmagan). Keyin [[Lagranj nuqtasi|Lagrange nuqtalarini]] natijada yuzaga keladigan gradient nolga teng boʻlgan beshta joy sifatida koʻrish mumkin, bu u yerda kuchlar muvozanatida ekanligini koʻrsatadi.]]
''Cheklangan uch jismli muammoda'' arzimas massali jism („planetoid“) ikkita massiv jismning taʼsiri ostida harakat qiladi. Arzimas massaga ega boʻlgan holda, planetoidning ikkita massiv jismga taʼsir qiladigan kuchini eʼtiborsiz qoldirish mumkin va tizimni tahlil qilish va shuning uchun ikki jismli harakat nuqtai nazaridan tasvirlash mumkin. Odatda bu ikki jismli harakat [[massa markazi]] atrofida aylana orbitalardan iborat deb qabul qilinadi va planetoid dumaloq orbitalar bilan belgilangan tekislikda harakat qiladi deb taxmin qilinadi.

Cheklangan uch tanali muammoni nazariy jihatdan tahlil qilish toʻliq muammodan koʻra osonroqdir. Bu amaliy qiziqish uygʻotadi, chunki u koʻplab real muammolarni aniq tasvirlaydi, eng muhim misol Yer-Oy-Quyosh tizimidir. Shu sabablarga koʻra, u uch tana muammosining tarixiy rivojlanishida muhim rol oʻynadi.

Matematik jihatdan muammo quyidagicha ifodalanadi. Mayli <math>m_{1,2}</math> (tekislik) koordinatali ikkita massiv jismning massalari boʻlsin <math>(x_1, y_1)</math> va <math>(x_2, y_2)</math>, va ruxsat bering <math>(x, y)</math> planetoidning koordinatalari boʻlsin. Oddiylik uchun ikkita massiv jism orasidagi masofa va tortishish doimiysi ikkalasi <math>1</math> ga teng boʻladigan birliklarni tanlanadi. Keyin, planetoidning harakati bilan beriladi


: <math>
\begin{align}
\frac{d^2 x}{dt^2} = -m_1 \frac{x - x_1}{r_1^3} - m_2 \frac{x - x_2}{r_2^3}, \\
\frac{d^2 y}{dt^2} = -m_1 \frac{y - y_1}{r_1^3} - m_2 \frac{y - y_2}{r_2^3},
\end{align}
</math>

bu yerda <math>r_i = \sqrt{(x - x_i)^2 + (y - y_i)^2}</math> . Ushbu shaklda harakat tenglamalari koordinatalar orqali aniq vaqtga bogʻliqlikni olib boradi <math>x_i(t), y_i(t)</math> . Biroq, bu vaqtga bogʻliqlikni aylanadigan mos yozuvlar tizimiga aylantirish orqali olib tashlash mumkin, bu esa har qanday keyingi tahlilni soddalashtiradi.

== Yechimlari ==

=== Umumiy yechimi ===
[[Fayl:3bodyproblem.gif|thumb|600x600px| Gravitatsiyaviy oʻzaro taʼsir qiluvchi 3 ta jismdan iborat tizim xaotik boʻlsa-da, [[Kuch|elastik tarzda]] oʻzaro taʼsir qiluvchi 3 ta jismdan iborat sistema xaotik emas.]]
Uch tanali masalaning umumiy yopiq shakldagi yechimi yoʻq, yaʼni chekli sonli standart matematik amallar bilan ifodalanadigan umumiy yechim yoʻq. Bundan tashqari, uchta jismning harakati odatda takrorlanmaydi, maxsus holatlar bundan mustasno<ref name="13solutions">{{Cite journal|first1=Jon|last=Cartwright|title=Physicists Discover a Whopping 13 New Solutions to Three-Body Problem|journal=Science Now|url=https://www.science.org/content/article/physicists-discover-whopping-13-new-solutions-three-body-problem|date=8 March 2013|access-date=2013-04-04}}</ref>.

Biroq, 1912 yilda [[Finlandiya|Finlandiya]] matematigi Karl Fritiof Sundman {{Math|''t''<sup>1/3</sup>}} kuchlari boʻyicha [[Darajali qatorlar|darajalar qatori]] koʻrinishidagi uch tanali muammoning analitik yechimi mavjudligini isbotladi<ref>Barrow-Green, J. (2010). [http://oro.open.ac.uk/22440/2/Sundman_final.pdf The dramatic episode of Sundman], Historia Mathematica 37, pp. 164-203.</ref>. Bu qator nol burchak momentumiga mos keladigan boshlangʻich shartlar bundan mustasno, barcha haqiqiy {{Mvar|t}} uchun birlashadi. Amalda, oxirgi cheklov ahamiyatsiz, chunki nol burchak momentiga ega boʻlgan dastlabki shartlar kamdan-kam uchraydi, Lebesg oʻlchovi nolga teng.


Bu natijani isbotlashda muhim masala shundaki, bu qator uchun yaqinlashish radiusi eng yaqin singulyarlikgacha boʻlgan masofa bilan belgilanadi. Shuning uchun uch tanali masalalarning mumkin boʻlgan yagonaligini oʻrganish kerak. Quyida qisqacha muhokama qilinganidek, uch jismli muammoning yagona oʻziga xosligi ikkilik toʻqnashuvlar (bir lahzada ikkita zarracha oʻrtasidagi toʻqnashuv) va uch marta toʻqnashuv (bir lahzada uchta zarracha oʻrtasidagi toʻqnashuv).

Toʻqnashuvlar ikkilik yoki uchlik (aslida har qanday raqam) boʻlsin, bir oz ehtimoldan yiroq emas, chunki ular nol oʻlchovining boshlangʻich shartlari toʻplamiga mos kelishi koʻrsatilgan. Biroq, mos keladigan yechim uchun toʻqnashuvlarni oldini olish uchun dastlabki holatga qoʻyiladigan hech qanday mezon yoʻq. Shunday qilib, Sundmanning strategiyasi quyidagi bosqichlardan iborat edi:

# Regulyatsiya deb nomlanuvchi jarayonda ikkilik toʻqnashuvdan tashqari yechimni tahlil qilishni davom ettirish uchun oʻzgaruvchilarning tegishli oʻzgarishidan foydalanish.
# Uch marta toʻqnashuvlar faqat burchak momenti {{Math|'''L'''}} yoʻqolganda sodir boʻlishini isbotlash. Dastlabki maʼlumotlarni {{Math|'''L''' ≠ '''0'''}} ga cheklab, u uch tanali muammo uchun oʻzgartirilgan tenglamalardan barcha ''haqiqiy'' yagonaliklarni olib tashladi.
# Agar {{Math|'''L''' ≠ '''0'''}} boʻlsa, u holda nafaqat uch karra toʻqnashuv boʻlishi mumkin emas, balki tizim uch karra toʻqnashuvdan qatʼiy chegaralanganligini koʻrsatadi. Bu shuni anglatadiki, differensial tenglamalar uchun [[Augustin-Louis Cauchy|Koshining]] mavjudlik teoremasidan foydalanib, haqiqiy oʻq (Kovalevskaya soyalari) atrofida joylashgan kompleks tekislikdagi chiziqda ({{Math|'''L'''}} qiymatiga bogʻliq holda) murakkab birliklar mavjud emas.
# Ushbu chiziqni birlik diskiga tushiradigan konformal transformatsiyani toping. Misol uchun, agar {{Math|1=''s'' = ''t''<sup>1/3</sup>}} (regulyatsiyadan keyingi yangi oʻzgaruvchi) va agar |ln''s''| ≤ ''β'',  keyin bu xarita tomonidan berilgan <math display="block">\sigma = \frac{e^\frac{\pi s}{2\beta} - 1}{e^\frac{\pi s}{2\beta} + 1}.</math>

Bu Sundman teoremasining isbotini tugatadi.

Biroq, mos keladigan seriyalar juda sekin yaqinlashadi. Yaʼni, maʼnoli aniqlik qiymatini olish uchun juda koʻp atamalar talab qilinadi, bu yechim juda kam amaliy ahamiyatga ega. Darhaqiqat, 1930 yilda Devid Beloriski hisoblab chiqdiki, agar Sundman seriyasi astronomik kuzatishlar uchun ishlatilsa, hisob-kitoblar kamida 10 <sup>{{Val|8000000}}</sup> atamani oʻz ichiga oladi<ref>{{Cite journal|last=Beloriszky|first1=D.|year=1930|title=Application pratique des méthodes de M. Sundman à un cas particulier du problème des trois corps|journal=Bulletin Astronomique|volume=6|series=Série 2|pages=417–434|bibcode=1930BuAst...6..417B}}</ref>.

=== Maxsus holatlar uchun echimlar ===
1767 yilda [[Leonhard Euler|Leonhard Eyler]] davriy eritmalarning uchta turkumini topdi, ularda uchta massa har bir lahzada kollinear boʻladi. Eylerning uch tana muammosiga qarang.

1772 yilda [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] yechimlar oilasini topdi, unda uchta massa har bir lahzada teng qirrali uchburchak hosil qiladi. Eylerning kollinear yechimlari bilan birgalikda bu yechimlar uch jismli muammoning [[Markaziy konfiguratsiya|markaziy konfiguratsiyasini]] tashkil qiladi. Ushbu yechimlar har qanday massa nisbati uchun amal qiladi va massalar Kepler ellipslari boʻylab harakatlanadi. Ushbu toʻrtta oila aniq analitik formulalar mavjud boʻlgan yagona maʼlum echimlardir. Dumaloq cheklangan uch tanali muammoning maxsus holatida, birlamchi nuqtalar bilan aylanadigan ramkada koʻrib chiqilgan bu yechimlar L<sub>1</sub>, L<sub>2</sub>, L<sub>3</sub>, L<sub>4</sub> va L<sub>5</sub> deb ataladigan nuqtalarga aylanadi va [[Lagranj nuqtasi|Lagranj nuqtalari]] deb ataladi., L<sub>4</sub> va L<sub>5</sub> bilan Lagranj yechimining simmetrik misollari.

1892-1899 yillarda umumlashtirilgan ishida [[Henri Poincaré|Anri Puankare]] cheklangan uch tanali muammoning cheksiz koʻp davriy yechimlari mavjudligini va ushbu echimlarni umumiy uch tanali muammoga aylantirish usullarini aniqladi.

1893 yilda Meissel Pifagorning uch jismli muammosi deb ataladigan narsani aytdi: 3:4:5 nisbatda uchta massa 3:4:5 oʻlchamdagi toʻgʻri burchakli uchburchakning uchlarida tinch holatda joylashgan. Burrau <ref name="Burrau">{{Cite journal|last=Burrau|title=Numerische Berechnung eines Spezialfalles des Dreikörperproblems|journal=Astronomische Nachrichten|volume=195|issue=6|pages=113–118|date=1913|bibcode=1913AN....195..113B|doi=10.1002/asna.19131950602|url=https://zenodo.org/record/1424886}}</ref> bu muammoni 1913 yilda qoʻshimcha ravishda oʻrganib chiqdi. 1967 yilda Viktor Szebeheli va [[C. Frederick Peters|C. Frederik Peters]] raqamli integratsiyadan foydalangan holda ushbu muammoni hal qilishning yakuniy yoʻllarini oʻrnatdilar va shu bilan birga yaqin davriy yechim topdilar<ref>{{Cite journal|last=Victor Szebehely|last2=C. Frederick Peters|title=Complete Solution of a General Problem of Three Bodies|journal=Astronomical Journal|volume=72|page=876|date=1967|doi=10.1086/110355|bibcode=1967AJ.....72..876S}}</ref>.

[[Fayl:Three_body_problem_figure-8_orbit_animation.gif|thumb|400x400px| T ≃ 6.3259. T ≃ 6.3259. Bir davr mobaynida uchta tanali muammoning 8-rasm yechimining animatsiyasi<ref>Here the gravitational constant ''G'' has been set to 1, and the initial conditions are '''r'''<sub>1</sub>(0) = -'''r'''<sub>3</sub>(0) = (-0.97000436, 0.24308753); '''r'''<sub>2</sub>(0) = (0,0); '''v'''<sub>1</sub>(0) = '''v'''<sub>3</sub>(0) = (0.4662036850, 0.4323657300); '''v'''<sub>2</sub>(0) = (-0.93240737, −0.86473146). The values are obtained from Chenciner & Montgomery (2000).</ref>.]]
[[Fayl:5_4_800_36_downscaled.gif|thumb|400x400px| Uch tanali muammoning davriy yechimlariga 20 ta misol.]]
1970-yillarda Mishel Xenon va Rojer A. Broukning har biri bir xil yechimlar oilasining bir qismini tashkil etuvchi yechimlar toʻplamini topdilar: Brouk-Xenon-Xadjidemetriu oilasi. Ushbu oilada uchta ob’ektning barchasi bir xil massaga ega va retrograd va toʻgʻridan-toʻgʻri shakllarni namoyish qilishi mumkin. Broukning baʼzi yechimlarida ikkita jism bir xil yoʻldan boradi<ref name="TBG">{{Veb manbasi |muallif=Šuvakov, M. |sarlavha=Three-body Gallery |url=http://suki.ipb.ac.rs/3body/ |qaralgan sana=12 August 2015}}</ref>.

1993-yilda Santa-Fe institutida fizik Kris Mur tomonidan 1993-yilda uchta teng massali sakkizta shakl atrofida harakatlanadigan nolga teng burchak momentum eritmasi aniqlangan<ref>{{Cite journal|last=Moore|first1=Cristopher|bibcode=1993PhRvL..70.3675M|doi=10.1103/PhysRevLett.70.3675|issue=24|journal=Physical Review Letters|pages=3675–3679|pmid=10053934|title=Braids in classical dynamics|url=http://tuvalu.santafe.edu/~moore/braids-prl.pdf|volume=70|year=1993|access-date=2016-01-01|archivedate=2018-10-08|archiveurl=https://web.archive.org/web/20181008213647/http://tuvalu.santafe.edu/~moore/braids-prl.pdf}}</ref>. Uning rasmiy mavjudligi keyinchalik 2000 yilda matematiklar Alen Chenciner va Richard Montgomery tomonidan isbotlangan<ref>{{Cite journal|last=Chenciner, Alain|last2=Montgomery, Richard|title=A remarkable periodic solution of the three-body problem in the case of equal masses|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_2000-11_152_3/page/881|journal=Annals of Mathematics|series=Second Series|volume=152|issue=3|year=2000|pages=881–902|doi=10.2307/2661357|arxiv=math/0011268|jstor=2661357|bibcode=2000math.....11268C}}</ref> <ref>{{Cite journal|last=Montgomery|first1=Richard|volume=48|journal=Notices of the American Mathematical Society|pages=471–481|title=A new solution to the three-body problem|url=https://www.ams.org/notices/200105/fea-montgomery.pdf|year=2001}}</ref> Eritma massa va orbital parametrlarning kichik buzilishlari uchun barqaror ekanligi koʻrsatilgan, bu esa bunday orbitalarni fizik koinotda kuzatish imkonini beradi. Biroq, barqarorlik doirasi kichik boʻlgani sababli, bu hodisaning mumkin emasligi taʼkidlangan. Masalan, ikkilik-ikkilik [[Yorug'likning sochilishi|tarqalish]] hodisasining ehtimoli  natijada raqam-8 orbitasi foizning kichik bir qismi sifatida baholandi<ref>{{Cite journal|last=Heggie|first1=Douglas C.|doi=10.1046/j.1365-8711.2000.04027.x|volume=318|issue=4|journal=Monthly Notices of the Royal Astronomical Society|pages=L61–L63|title=A new outcome of binary–binary scattering|year=2000|arxiv=astro-ph/9604016|bibcode=2000MNRAS.318L..61H}}</ref>.

2013-yilda Belgraddagi Fizika instituti fiziklari Milovan Šuvakov va Velko Dmitrashinovich teng massali nol burchakli momentli uch jism muammosi yechimlarining 13 ta yangi oilasini topdilar.

2015-yilda fizik Ana Hudomal teng massali nol burchakli impulsli uch jism muammosi uchun 14 ta yangi yechimlar turkumini topdi<ref>{{Cite journal|last=Hudomal|first1=Ana|title=New periodic solutions to the three-body problem and gravitational waves|journal=Master of Science Thesis at the Faculty of Physics, Belgrade University|date=October 2015|url=http://www.scl.rs/theses/msc_ahudomal.pdf|access-date=5 February 2019}}</ref>.

2017 yilda tadqiqotchilar Xiaoming Li va Shijun Liao teng massali nol burchakli impulsli uch jism muammosining 669 ta yangi davriy orbitalarini topdilar<ref>{{Cite journal|last=Li|first1=Xiaoming|last2=Liao|first2=Shijun|title=More than six hundreds new families of Newtonian periodic planar collisionless three-body orbits|journal=Science China Physics, Mechanics & Astronomy|date=December 2017|volume=60|issue=12|page=129511|doi=10.1007/s11433-017-9078-5|arxiv=1705.00527|issn=1674-7348|bibcode=2017SCPMA..60l9511L}}</ref>. Buning ortidan 2018 yilda teng boʻlmagan massalarning nol burchakli impuls tizimi uchun qoʻshimcha 1223 ta yangi yechim paydo boʻldi<ref>{{Cite journal|last=Li|first1=Xiaoming|last2=Jing|first2=Yipeng|last3=Liao|first3=Shijun|title=The 1223 new periodic orbits of planar three-body problem with unequal mass and zero angular momentum|journal=Publications of the Astronomical Society of Japan|volume=70|issue=4|date=August 2018|arxiv=1709.04775|doi=10.1093/pasj/psy057}}</ref>.

2018 yilda Li va Liao teng boʻlmagan massali „erkin tushish“ uchta tana muammosiga 234 ta yechim haqida xabar berishdi<ref>{{Cite journal|last=Li|first1=Xiaoming|last2=Liao|first2=Shijun|title=Collisionless periodic orbits in the free-fall three-body problem|journal=New Astronomy|volume=70|pages=22–26|year=2019|arxiv=1805.07980|doi=10.1016/j.newast.2019.01.003|bibcode=2019NewA...70...22L}}</ref>. Uchta jism muammosining erkin yiqilish formulasi barcha uch jism dam olishdan boshlanadi. Shu sababli, erkin tushish konfiguratsiyasidagi massalar yopiq „halqa“ boʻylab aylanmaydi, balki ochiq „iz“ boʻylab oldinga va orqaga harakat qiladi.

== Raqamli yondashuvlar ==

Kompyuterdan foydalanib, muammoni raqamli integratsiya yordamida oʻzboshimchalik bilan yuqori aniqlik bilan hal qilish mumkin, ammo yuqori aniqlik uchun katta miqdordagi CPU vaqtini talab qiladi. Elektromagnit va tortishish oʻzaro taʼsirini oʻz ichiga olgan uch tana muammosini (va kengaytmasi, n-tana muammosini) raqamli hal qiladigan va maxsus nisbiylik kabi zamonaviy fizika nazariyalarini oʻz ichiga olgan kompyuter dasturlarini yaratishga urinishlar mavjud<ref>{{Veb manbasi |sarlavha=3body simulator |url=https://3body.hk/ |qaralgan sana=2022-11-17 |ish=3body simulator |til=en |arxivsana=2022-11-17 |arxivurl=https://web.archive.org/web/20221117041052/https://3body.hk/ }}</ref>. Bundan tashqari, tasodifiy yurishlar nazariyasidan foydalanib, turli natijalarning taxminiy ehtimolini hisoblash mumkin<ref>{{Yangiliklar manbasi |last=Technion |date=6 October 2021 |title=A Centuries-Old Physics Mystery? Solved |work=SciTechDaily |publisher=[[SciTech (magazine)|SciTech]] |url=https://scitechdaily.com/a-centuries-old-physics-mystery-solved/ |access-date=12 October 2021}}</ref> <ref>{{Cite journal|last=Ginat|first1=Yonadav Barry|last2=Perets|first2=Hagai B.|title=Analytical, Statistical Approximate Solution of Dissipative and Nondissipative Binary-Single Stellar Encounters|journal=[[Physical Review]]|date=23 July 2021|volume=11|issue=3|page=031020|doi=10.1103/PhysRevX.11.031020|arxiv=2011.00010|bibcode=2021PhRvX..11c1020G|url=https://journals.aps.org/prx/abstract/10.1103/PhysRevX.11.031020|access-date=12 October 2021}}</ref>.

== Tarixi ==
Anʼanaviy maʼnoda uchta jismning tortishish muammosi 1687 yilda [[Isaac Newton|Isaak Nyuton]] oʻzining ''[[Naturfalsafaning matematik tamoyillari|"Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica"]] asarini nashr etganida,'' Nyuton uzoq muddatli barqarorlik mumkinmi yoki yoʻqligini aniqlashga harakat qilgan paytda, xususan, bizning [[Yer|Yerimiz]], [[Oy]] tizimi bilan bogʻliq., va [[Quyosh|Quyosh.]] U Uygʻonish davrining yirik astronomlari [[Nicolaus Copernicus|Nikolay Kopernik]], [[Brage Tixo|Tyxo Brahe]] va [[Kepler Iogann|Yoxannes Kepler]] qoʻl ostida gravitatsiyaviy uch jism muammosining boshlanishiga rahbarlik qilgan<ref name=":1">{{Kitob manbasi |last=Valtonen |first=Mauri |title=The Three-body Problem from Pythagoras to Hawking |url=https://archive.org/details/threebodyproblem0000valt |date=3 May 2016 |publisher=Springer |isbn=978-3-319-22726-9 |oclc=1171227640}}</ref>. ''Prinsipiyaning'' 1-kitobining 66-taklifida va uning 22 ta xulosasida Nyuton uchta massiv jismning bir-birini bezovta qiluvchi tortishish kuchiga bogʻliq boʻlgan harakati muammosini aniqlash va oʻrganishda birinchi qadamlarni qoʻydi. 3-kitobning 25 dan 35 gacha boʻlgan takliflarida Nyuton, shuningdek, 66-taklif natijalarini Oy nazariyasiga, Yer va Quyoshning tortishish taʼsiri ostida Oyning harakatiga tatbiq etishda birinchi qadamlarni qoʻydi<ref>{{Kitob manbasi |last=Newton |first=Isaac |title=Philosophiæ naturalis principia mathematica |location=London |publisher=G. & J. Innys |date=1726 |url=https://lbezone.hkust.edu.hk/bib/b706487 |accessdate=2022-10-05 |doi=10.14711/spcol/b706487}}</ref>. Keyinchalik bu muammo boshqa sayyoralarning Yer va Quyosh bilan oʻzaro taʼsirida ham qoʻllandi<ref name=":1" />.

Jismoniy muammoni birinchi boʻlib [[Amerigo Vespuchchi]], keyin esa [[Galileo Galilei|Galileo Galiley]], shuningdek, Simon Stevin koʻrib chiqdi, ammo ular nima hissa qoʻshganini tushunmadilar. Galiley barcha jismlarning yiqilish tezligi bir xil va bir xil tarzda oʻzgarishini aniqlagan boʻlsa-da, uni sayyoralar harakatlariga qoʻllamagan<ref name=":1" />. 1499 yilda Vespuchchi Braziliyadagi oʻrnini aniqlash uchun Oyning holati haqidagi bilimlaridan foydalangan<ref>{{Veb manbasi |sarlavha=Amerigo Vespucci |url=https://www.biography.com/explorer/amerigo-vespucci |qaralgan sana=2022-10-05 |ish=Biography |sana=23 June 2021 |til=en-us}}</ref>. Bu 1720-yillarda texnik ahamiyatga ega boʻldi, chunki aniq yechim navigatsiyada qoʻllanishi mumkin edi, ayniqsa dengizda uzunlikni aniqlash uchun, amalda Jon Xarrisonning dengiz xronometrini ixtiro qilish orqali hal qilindi. Biroq, Oy nazariyasining aniqligi Quyosh va sayyoralarning Oyning Yer atrofidagi harakatiga bezovta qiluvchi taʼsiri tufayli past edi.

Uzoq muddatli raqobatni rivojlantirgan [[Dʼalamber Jan Leron|Jan le Rond d’Alember]] va Aleksis Kler muammoni qandaydir umumiylik darajasida tahlil qilishga harakat qildilar; ular 1747 yilda Fanlar Akademiyasi Royale des Fansga oʻzlarining raqobatbardosh birinchi tahlillarini taqdim etishdi<ref>The 1747 memoirs of both parties can be read in the volume of ''Histoires'' (including ''Mémoires'') of the Académie Royale des Sciences for 1745 (belatedly published in Paris in 1749) (in French):
</ref>. 1740-yillarda Parijda olib borilgan tadqiqotlari tufayli „uch tana muammosi“ nomi paydo boʻldi ({{Lang-fr|Problème des trois Corps}}) keng foydalanila boshlandi. Jan le Rond d’Alember tomonidan 1761 yilda nashr etilgan hisobda bu nom birinchi marta 1747 yilda ishlatilganligini koʻrsatadi <ref>[[Jean le Rond d'Alembert]], in a paper of 1761 reviewing the mathematical history of the problem, mentions that Euler had given a method for integrating a certain differential equation „in 1740 (seven years before there was question of the Problem of Three Bodies)“: see d’Alembert, „Opuscules Mathématiques“, vol.&nbsp;2, Paris 1761, Quatorzième Mémoire („Réflexions sur le Problème des trois Corps, avec de Nouvelles Tables de la Lune …“) pp.&nbsp;329-312, at sec.&nbsp;VI, p.&nbsp;245.</ref>.

19-asrning oxiridan 20-asrning boshlariga qadar, PF Bedaque, H.-V.ni taklif qilgan olimlar tomonidan qisqa masofali jozibali ikki tanali kuchlardan foydalangan holda uch tana muammosini hal qilish yondashuvi ishlab chiqilgan. Hammer va U. van Kolk qisqa masofali uch tana muammosini qayta normallashtirish gʻoyasini ishlab chiqdilar, bu olimlarga 21-asr boshidagi renormalizatsiya guruhining chegara tsiklining noyob namunasini taqdim etdi<ref name=":0">{{Cite journal|last=Mohr|first1=R.F.|last2=Furnstahl|first2=R.J.|last3=Hammer|first3=H.-W.|last4=Perry|first4=R.J.|last5=Wilson|first5=K.G.|date=January 2006|title=Precise numerical results for limit cycles in the quantum three-body problem|journal=Annals of Physics|volume=321|issue=1|pages=225–259|doi=10.1016/j.aop.2005.10.002|arxiv=nucl-th/0509076|bibcode=2006AnPhy.321..225M|issn=0003-4916}}</ref>. Jorj Uilyam Xill 19-asr oxirida [[Venera (sayyora)|Venera]] va [[Merkuriy|Merkuriyning]] harakatini qoʻllash orqali cheklangan muammo ustida ishladi<ref>[https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.32106020676935&view=1up&seq=122&skin=2021 „Coplanar Motion of Two Planets, One Having a Zero Mass“]. [[Annals of Mathematics]], Vol. III, pp. 65-73, 1887.</ref>.

20-asrning boshlarida Karl Sundman vaqtning barcha qiymatlari uchun amal qiladigan masalaga funktsiya nazariy isbotini taqdim etish orqali muammoga matematik va tizimli yondashdi. Bu olimlar birinchi marta nazariy jihatdan uch tana muammosini hal qilishdi. Biroq, bu tizimning sifatli yechimi yetarli boʻlmagani va olimlar uni amalda qoʻllashlari juda sekin boʻlgani sababli, bu yechim haligacha baʼzi masalalarni yechilmay qoldi<ref>{{Kitob manbasi |last=Barrow-Green |first=June |title=Poincaré and the Three Body Problem |date=1996-10-29 |publisher=American Mathematical Society |isbn=978-0-8218-0367-7 |series=History of Mathematics |location=Providence, Rhode Island |doi=10.1090/hmath/011 |url=http://oro.open.ac.uk/57403/1/335423.pdf}}</ref>. Oʻtgan asrning 70-yillarida V. Efimov tomonidan ikki tanali kuchlarning uch tanaga taʼsiri aniqlangan va u [[Efimov holati|Efimov effekti]] deb nomlangan<ref>{{Cite journal|last=Efimov|first1=V.|date=1970-12-21|title=Energy levels arising from resonant two-body forces in a three-body system|journal=Physics Letters B|language=en|volume=33|issue=8|pages=563–564|doi=10.1016/0370-2693(70)90349-7|bibcode=1970PhLB...33..563E|issn=0370-2693}}</ref>.

2017-yilda Shijun Liao va Xiaoming Li tartibsiz tizimlar uchun raqamli simulyatsiyaning yangi strategiyasini milliy superkompyuterdan foydalangan holda toza raqamli simulyatsiya (CNS) yordamida uch jismli tizimning davriy yechimlarining 695 oilasini teng massasini muvaffaqiyatli qoʻlga kiritdilar.<ref>{{Cite journal|last=Liao|first1=Shijun|last2=Li|first2=Xiaoming|date=2019-11-01|title=On the periodic solutions of the three-body problem|url=https://academic.oup.com/nsr/article/6/6/1070/5537324|journal=National Science Review|language=en|volume=6|issue=6|pages=1070–1071|doi=10.1093/nsr/nwz102|pmid=34691975|pmc=8291409|issn=2095-5138}}</ref>.

2019 yilda Breen va boshqalar. raqamli integrator yordamida oʻqitilgan uch tanali muammo uchun tezkor neyron tarmoq hal qiluvchi eʼlon qildi<ref>{{Cite journal|last=Breen|first1=Philip G.|last2=Foley|first2=Christopher N.|last3=Boekholt|first3=Tjarda|last4=Portegies Zwart|first4=Simon|title=Newton versus the machine: Solving the chaotic three-body problem using deep neural networks|arxiv=1910.07291|doi=10.1093/mnras/staa713|journal=Monthly Notices of the Royal Astronomical Society|volume=494|issue=2|date=2020|pages=2465–2470}}</ref>.

== Uch jism bilan bogʻliq boshqa muammolar ==
"Uch jism muammosi" atamasi baʼzan umumiy maʼnoda uchta jismning oʻzaro taʼsirini oʻz ichiga olgan har qanday jismoniy muammoga nisbatan qoʻllanadi.

Klassik va kvant mexanikasida, teskari kvadrat kuchdan tashqari, aniq analitik uch tanali yechimlarga olib keladigan noanʼanaviy oʻzaro taʼsir qonunlari mavjud. Bunday modellardan biri garmonik tortishish va itaruvchi teskari kub kuchining kombinatsiyasidan iborat<ref name="Crandall1984">{{Cite journal|last=Crandall|first1=R.|last2=Whitnell|first2=R.|last3=Bettega|first3=R.|title=Exactly soluble two-electron atomic model|journal=American Journal of Physics|volume=52|issue=5|pages=438–442|year=1984|doi=10.1119/1.13650|bibcode=1984AmJPh..52..438C}}</ref>. Ushbu model notrivial deb hisoblanadi, chunki u oʻz ichiga oʻziga xosliklarni oʻz ichiga olgan chiziqli boʻlmagan differentsial tenglamalar toʻplami bilan bogʻliq (masalan, chiziqli differensial tenglamalarning oson yechiladigan tizimini keltirib chiqaradigan harmonik oʻzaro taʼsirlar bilan solishtirganda). Bu ikki jihatdan u Coulomb oʻzaro taʼsiriga ega (erimaydigan) modellarga oʻxshaydi va natijada geliy atomi kabi jismoniy tizimlarni intuitiv tushunish uchun vosita sifatida taklif qilingan<ref name="Crandall1984" /> <ref>{{Cite journal|last=Calogero|first1=F.|title=Solution of a Three-Body Problem in One Dimension|journal=Journal of Mathematical Physics|volume=10|issue=12|pages=2191–2196|year=1969|doi=10.1063/1.1664820|bibcode=1969JMP....10.2191C}}</ref>.

Nuqtali vorteks modeli doirasida ikki oʻlchovli ideal suyuqlikdagi girdoblarning harakati faqat birinchi tartibli vaqt hosilalarini oʻz ichiga olgan harakat tenglamalari bilan tavsiflanadi. Yaʼni Nyuton mexanikasidan farqli oʻlaroq, ularning nisbiy pozitsiyalari bilan tezlanish emas, balki ''tezlik'' aniqlanadi. Natijada, uch vorteks muammosi hali ham integral boʻlib qolmoqda <ref>{{Cite journal|last=Aref|first1=Hassan|date=1979-03-01|title=Motion of three vortices|url=https://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.862605|journal=The Physics of Fluids|volume=22|issue=3|pages=393–400|doi=10.1063/1.862605|bibcode=1979PhFl...22..393A|issn=0031-9171}}</ref>, xaotik xatti-harakatni olish uchun kamida toʻrtta vorteks kerak<ref>{{Cite journal|last=Aref|first1=Hassan|last2=Pomphrey|first2=Neil|date=1980-08-18|title=Integrable and chaotic motions of four vortices|journal=Physics Letters A|language=en|volume=78|issue=4|pages=297–300|doi=10.1016/0375-9601(80)90375-8|bibcode=1980PhLA...78..297A|issn=0375-9601}}</ref>. Passiv kuzatuvchi zarrachaning uchta vorteksning tezlik maydonidagi harakati va Nyuton mexanikasining cheklangan uch jismli muammosi oʻrtasida parallellik oʻtkazish mumkin<ref>{{Cite journal|last=Neufeld|first1=Z|last2=Tél|first2=T|date=1997-03-21|title=The vortex dynamics analogue of the restricted three-body problem: advection in the field of three identical point vortices|url=https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0305-4470/30/6/043|journal=Journal of Physics A: Mathematical and General|volume=30|issue=6|pages=2263–2280|doi=10.1088/0305-4470/30/6/043|bibcode=1997JPhA...30.2263N|issn=0305-4470}}</ref>.

Uch jismli tortishish muammosi ham [[umumiy nisbiylik nazariyasi]] yordamida oʻrganilgan. Jismoniy jihatdan, juda kuchli tortishish maydonlari boʻlgan tizimlarda, masalan, [[Qora tuynuk|qora tuynukning]] [[Voqealar gorizonti|hodisa gorizonti]] yaqinida relativistik davolash zarur boʻladi. Biroq, relyativistik muammo Nyuton mexanikasiga qaraganda ancha qiyin va [[Sonli nisbiylik|murakkab raqamli texnikalar]] talab qilinadi. Hatto toʻliq ikki tana muammosi (yaʼni massalarning ixtiyoriy nisbati uchun) umumiy nisbiylik nazariyasida qatʼiy analitik yechimga ega emas<ref>{{Cite journal|last=Musielak|first1=Z. E.|last2=Quarles|first2=B.|title=The three-body problem|journal=Reports on Progress in Physics|volume=77|issue=6|page=065901|year=2014|issn=0034-4885|doi=10.1088/0034-4885/77/6/065901|pmid=24913140|arxiv=1508.02312|bibcode=2014RPPh...77f5901M}}</ref>.

== {{Mvar|n}} ta jism masalasi ==
Uch jism muammosi n-jism muammosining alohida holati boʻlib, u {{Mvar|n}} jismning [[Gravitatsiya|tortishish]] kabi jismoniy kuchlardan biri ostida qanday harakatlanishini tavsiflaydi. Karl F. Sundman tomonidan {{Math|''n'' {{=}} 3}} uchun va Qiudong Vang tomonidan {{Math|''n'' > 3}} uchun isbotlanganidek, bu muammolar konvergent quvvat qatori koʻrinishidagi global analitik yechimga ega (batafsil maʼlumot uchun n-jism muammosiga qarang). Biroq, Sundman va Vang seriyalari shunchalik sekin birlashadiki, ular amaliy maqsadlar uchun foydasizdir<ref>[[Florin Diacu]]. [http://www.math.uvic.ca/faculty/diacu/diacuNbody.pdf „The Solution of the ''n''-body Problem“] {{Webarxiv|url=https://web.archive.org/web/20160304092935/http://www.math.uvic.ca/faculty/diacu/diacuNbody.pdf |date=2016-03-04 }}, ''[[The Mathematical Intelligencer]]'', 1996.</ref>; shuning uchun hozirgi vaqtda raqamli integratsiya yoki baʼzi hollarda klassik trigonometrik qatorlar yaqinlashuvi koʻrinishidagi [[Hisoblash matematikasi|raqamli tahlil]] orqali yechimlarni taxminiy aniqlash kerak (qarang :n-tana simulyatsiyasi). Atom tizimlari, masalan, atomlar, ionlar va molekulalar kvant {{Mvar|n}} -tana muammosi nuqtai nazaridan koʻrib chiqilishi mumkin. Klassik fizik tizimlar orasida {{Mvar|n}} -tana muammosi odatda [[galaktika]] yoki galaktikalar klasteriga ishora qiladi; yulduzlar, sayyoralar va ularning sunʼiy yoʻldoshlari kabi sayyora tizimlarini ham {{Mvar|n}} — tana tizimlari sifatida koʻrib chiqish mumkin. Baʼzi ilovalar tebranish nazariyasi bilan qulay tarzda koʻrib chiqiladi, bunda tizim ikki tanali muammo va gipotetik bezovtalanmagan ikki tanali trayektoriyadan chetga chiqishga olib keladigan qoʻshimcha kuchlar sifatida qaraladi.

== Zamonaviy qarashda ==

1951 yilgi klassik ilmiy-fantastik filmda ''"Yer tik turgan kun" filmida'' musofir Klaatu janob duradgor taxallusidan foydalanib, prof. Barnhardtning doskasi. Bu tenglamalar uch tanali muammoning muayyan shaklining aniq tavsifidir.

Xitoylik yozuvchi Lyu Tsisinning ''"Yerning oʻtmishini eslash"'' trilogiyasining birinchi jildi ''"Uch jism muammosi"'' deb nomlanadi va markaziy syujet qurilmasi sifatida uch jism muammosini aks ettiradi<ref>{{Veb manbasi |url=https://www.nytimes.com/2014/11/11/books/liu-cixins-the-three-body-problem-is-published-in-us.html |sarlavha=In a Topsy-Turvy World, China Warms to Sci-Fi |muallif=Qin |ism=Amy |sana=November 10, 2014 |ish=[[The New York Times]] |qaralgan sana=February 5, 2020 |arxivurl=https://web.archive.org/web/20191209034122/https://www.nytimes.com/2014/11/11/books/liu-cixins-the-three-body-problem-is-published-in-us.html |arxivsana=December 9, 2019}}</ref>.

==Manbalar==
{{reflist}}

==Adabiyotlar==
{{refbegin}}
* {{cite book |last=Aarseth |first=S. J. |title=Gravitational n-Body Simulations |url=https://archive.org/details/gravitationalnbo0000aars |date=2003 |publisher=Cambridge University Press |location=New York |isbn=978-0-521-43272-6 }}
* {{cite journal |last=Bagla |first=J. S. |title=Cosmological N-body simulation: Techniques, scope and status |date=2005 |journal=[[Current Science]] |volume=88 |pages=1088–1100  |arxiv=astro-ph/0411043 |bibcode = 2005CSci...88.1088B }}
* {{cite journal |last1=Chambers |first1=J. E. |last2=Wetherill |first2=G. W. |title=Making the Terrestrial Planets: N-Body Integrations of Planetary Embryos in Three Dimensions |date=1998 |journal=[[Icarus (journal)|Icarus]] |volume=136 |issue=2 |pages=304–327 |doi=10.1006/icar.1998.6007 |bibcode = 1998Icar..136..304C |citeseerx=10.1.1.64.7797 }}
* {{cite journal |last1=Efstathiou |first1=G. |last2=Davis |first2=M. |last3=White |first3=S. D. M. |last4=Frenk |first4=C. S. |title=Numerical techniques for large cosmological N-body simulations |url=https://archive.org/details/sim_astrophysical-journal_1985-02_57_2/page/241 |date=1985 |journal=[[Astrophysical Journal]] |volume= 57 |pages=241–260 |doi=10.1086/191003 |bibcode = 1985ApJS...57..241E }}
* {{cite journal |last=Hulkower |first=Neal D. |title=The Zero Energy Three Body Problem |journal=[[Indiana University Mathematics Journal]] |volume=27 |issue=3 |date=1978 |pages=409–447 |doi= 10.1512/iumj.1978.27.27030|bibcode=1978IUMJ...27..409H |doi-access=free }}
* {{cite journal |last=Hulkower |first=Neal D. |title=Central Configurations and Hyperbolic-Elliptic Motion in the Three-Body Problem |journal=[[Celestial Mechanics (journal)|Celestial Mechanics]] |volume=21 |date=1980 |issue=1 |pages=37–41 |doi=10.1007/BF01230244 |bibcode = 1980CeMec..21...37H |s2cid=123404551 }}
* {{cite journal |last1=Li |first1=Xiaoming |last2=Liao |first2=Shijun |arxiv=1312.6796 |title=On the stability of the three classes of Newtonian three-body planar periodic orbits |date=2014 |journal=[[Science China Physics, Mechanics & Astronomy]] |volume=57 |issue=11 |pages= 2121–2126 |doi=10.1007/s11433-014-5563-5 |bibcode = 2014SCPMA..57.2121L |s2cid=73682020 }}
* {{cite journal |last=Moore |first=Cristopher |year=1993 |title=Braids in Classical Dynamics |url=http://tuvalu.santafe.edu/~moore/braids-prl.pdf |journal=Physical Review Letters |volume=70 |issue=24 |pages=3675–3679 |bibcode=1993PhRvL..70.3675M |doi=10.1103/PhysRevLett.70.3675 |pmid=10053934 |access-date=2016-01-01 |archive-date=2018-10-08 |archive-url=https://web.archive.org/web/20181008213647/http://tuvalu.santafe.edu/~moore/braids-prl.pdf |archivedate=2018-10-08 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20181008213647/http://tuvalu.santafe.edu/~moore/braids-prl.pdf }}
* {{cite book |last=Poincaré |first=H. |date=1967 |title=New Methods of Celestial Mechanics |url=https://archive.org/details/newmethodsofcele0000poin |url-access=registration |edition=3 vol. English translated |publisher=American Institute of Physics |isbn=978-1-56396-117-5 }}
* {{cite journal |last1=Šuvakov |first1=Milovan |last2=Dmitrašinović |first2=V. |arxiv=1303.0181 |title=Three Classes of Newtonian Three-Body Planar Periodic Orbits |date=2013 |journal=[[Physical Review Letters]] |volume=110 |issue=10 |page=114301 |doi=10.1103/PhysRevLett.110.114301 |pmid=25166541 |bibcode = 2013PhRvL.110k4301S |s2cid=118554305 }}
{{refend}}

==Havolalar==
* {{cite journal |first=Alain |last=Chenciner |date=2007 |title=Uch jism muammosi |journal=[[Scholarpedia]] |volume=2 |number=10 |page=2111 |doi=10.4249/scholarpedia.2111 |bibcode=2007SchpJ...2.2111C |doi-access=free }}
* [https://www.science.org/content/article/physicists-discover-whopping-13-new-solutions-three-body-problem Physicists Discover a Whopping tomonidan uch jism muammosi uchun 13 ta yangi yangi yechim] (''Science'')
* [https://3body.hk 3body simulator] {{Webarxiv|url=https://web.archive.org/web/20230603191443/https://3body.hk/ |date=2023-06-03 }} - uch tana masalasini sonli yechuvchi kompyuter dasturiga misol

[[Turkum:Mexanika]]
[[Turkum:Fizika]]
[[Turkum:Astronomiya]]