Sonlar ketma-ketligi va ularning limiti sahifasining manbasini koʻrish

'''Sonlar ketma-ketligi va ularning limiti''' — sonli fazo elementlari ketma-ketligining chegarasi. Sonli fazo metrik fazo boʻlib, unda masofa elementlar orasidagi farq moduli sifatida aniqlanadi. [[Kompleks sonlar|Kompleks sonlarda]] ketma-ketlik chegarasining mavjudligi kompleks sonlarning haqiqiy va xayoliy qismlarining tegishli ketma-ketliklarining chegaralari mavjudligiga tengdir<ref>Здесь подразумевается повторение чисел в ''записи'' числа в некоторой фиксированной системе счисления.</ref>. 

Limit (sonli ketma-ketlik) matematik analizning asosiy tushunchalaridan biridir. Har bir [[Haqiqiy sonlar|haqiqiy son]] kerakli qiymatga yaqinlashishlar ketma-ketligining chegarasi sifatida ifodalanishi mumkin. [[Sanoq sistemasi]] bunday takomillashtirish ketma-ketligini taʼminlaydi. Butun va [[ratsional sonlar]] davriy yaqinlashishlar ketma-ketligi bilan, [[irratsional sonlar]] esa davriy boʻlmagan yaqinlashishlar ketma-ketligi bilan tavsiflanadi. Sonli usullarda sonlarni chekli sonli belgilar bilan tasvirlash qoʻllanadi, bunda yaqinlashishlar tizimini tanlash alohida oʻrin tutadi. Taxminlovchilar tizimining sifati mezoni yaqinlashuv tezligi hisoblanadi. Shu nuqtai nazardan, raqamlarning davomli kasrlar koʻrinishida ifodalanishi samaralidir.

== Tarixi ==
Ketma-ketlik chegarasi tushunchasi [[XVII asr|XVII asrning]] ikkinchi yarmida [[Isaac Newton|Nyuton]] va [[XVIII asr|XVIII asrning]] [[Leonhard Euler|Euler]] va [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] kabi matematiklari tomonidan qoʻllangan, lekin ular chegarani intuitiv ravishda tushungan. Ketma-ketlik chegarasining birinchi qatʼiy taʼriflari [[1816|1816-yilda]] Bolzano va [[1821|1821-yilda]] [[Augustin-Louis Cauchy|Cauchy]] tomonidan berilgan.

== Birinchi taʼrif ==
Birinchisi akslantirishning akslaridan iborat ushbu <math>x_1, x_2, x_3, ...,x_n,...</math> toʻplam sonlar ketma-ketligi deyiladi. Uni <math>\{x_n\}</math> yoki <math>x_n</math> kabi belgilanadi.

<math>x_n(n=1,2,3,...)</math> sonlar ketma-ketlikning hadlari deyiladi. Masalan, 1) <math>x_n=\frac{1}{n}:1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...,\frac{1}{n}</math>, 2) <math>x_n=(-1)^n:-1,1,-1,...(-1)^n</math>, 3) <math>x_n=\sqrt[n]{n}: 1, \sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, ..., \sqrt[n]{n}, ...</math> 4) <math>x_n=1: 1, 1, 1, ..., 1,...</math> 5) <math>0,3; 0.33; 0,333; ...;\underbrace{ 0,333...3;\cdots }_{n }</math> lar sonlar ketma-ketliklardir. Biror <math>\{x_n\}</math> ketma-ketlik berilgan boʻlsin.

== Ikkinchi taʼrif ==
Agar shunday oʻzgarmas <math>m</math> soni mavjud boʻlsaki, ixtiyoriy <math>x_n(n=1,2,3,...)</math> uchun <math>x_n\leq M</math> tengsizlik bajarilsa (yaʼni <math>\exists m, \forall n\in N:x_n\geq M</math> boʻlsa),<math>\{x_n\}</math> ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan deyiladi.

== Uchinchi taʼrif ==
Agar shunday oʻzgarmas <math>m</math> soni mavjud boʻlsaki, ixtiyoriy <math>x_n(n=1,2,3,...)</math> uchun <math>x_n\geq m</math> tengsizlik bajarilsa (yaʼni <math>\exists m, \forall n\in N:x_n\geq m</math> boʻlsa),<math>\{x_n\}</math> ketma-ketlik quyidan chegaralangan deyiladi.

== Toʻrtinchi taʼrif ==
Agar <math>\{x_n\}</math> ketma-ketlik ham yuqoridan, ham quyidan chegaralanga boʻlsa 
(yaʼni <math>\exists m, \forall n\in N:m\leq x_n\leq M</math> boʻlsa),<math>\{x_n\}</math> ketma-ketlik chegaralangan deyiladi. Misol uchun. Ushbu <math>x_n=\frac{n}{4+n^2}</math> <math>(n=1,2,3,...)</math> ketma-ketlikning chegaralanganligi isbotlansin. Ravshanki, <math>\forall n\in N</math> uchun <math>x_n=\frac{n}{4+n^2}>0</math> boʻladi. Demak, qaralyotgan ketma-ketlik quyidagi chegaralangan. Maʼlumki, <math>0\leq(n-2)^2=n^2-4n+4</math> boʻlib, undan <math>4n\leq4+n^2</math> yaʼni <math>\frac{n}{4+n^2}\leq\frac{1}{4}</math> boʻlishi kelib chiqadi. Bu esa berilgan ketma-ketlikning yuqoridan chegaralanganligin bildiradi. Demak, ketma-ketlik chegaralangan. 

== Beshinchi taʼrif ==
Agar <math>\{x_n\}</math> ketma-ketlik uchun  <math>\forall M\in R, \exists n_0\in N:x_0> M</math> boʻlsa, ketma-ketlik yuqoridan chegaralanmagan deyiladi. 

=== Sonlar ketma-ketligining limiti ===
Aytaylik, <math>a\in R</math> son hamda ixtiyoriy musbat <math>\varepsilon</math> son berilgan boʻlsin.

== Oltinchi taʼrif ==
Ushbu <math>U_\varepsilon(a)=\{x\in R\mid a-\varepsilon<x<a+\varepsilon\}=(a-\varepsilon,a+\varepsilon)</math> toʻplam <math>a</math> nuqtaning <math>\varepsilon</math> - atrofi deyiladi. Faraz qilaylik <math>\{x_n\}</math> ketma-ketlik  va <math>a\in R</math> soni berilgan boʻlsin.

== Yettinchi taʼrif ==
Agar ixtiyoriy <math>\varepsilon>0</math> son olingandan ham shunday <math>n_0</math> natural soni mavjud boʻlsaki, <math>n>n_0</math> tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha [[Natural son|natural sonlar]] uchun <math>\mid x_n-a\mid<\varepsilon</math> tengsizlik bajarilsa, (yaʼni <math>\forall \varepsilon>0, \exists n_0\in N, \forall n>n_0:\mid x_n-a\mid<\varepsilon</math> boʻlsa), <math>a</math> son <math>\{x_n\}</math> ketma-ketlikning limiti deyiladi va <math>a=\lim_{n \to \infty}x_n</math> yoki <math>n\rightarrow\infty</math> da <math>x_n\rightarrow a</math> kabi belgilanadi.

Ravshanki, yuqoridagi tengsizlik uchun <math>\mid x_n-a\mid<\varepsilon \Leftrightarrow a-\varepsilon<x_n<a+\varepsilon</math> yaʼni, <math>x_n\in U_\varepsilon (a)</math>, <math>(n>n_0)</math> boʻladi. Shuni eʼtiborga olib, ketma-ketlikning limitini quyidagicha taʼriflasa boʻladi.

== Sakkizinchi taʼrif ==
Agar <math>a</math> nuqtaning ixtiyoriy <math>U_\varepsilon(a)</math> ham <math>\{x_n\}</math> ketma-ketlikning biror hadidan keyingi barcha hadlari shu atrofga tegishli boʻlsa, <math>a</math> soni <math>\{x_n\}</math> ketma-ketlikning limiti deyiladi.

Yuqorida keltirilgan taʼriflardan koʻrinadiki <math>\varepsilon</math> ixtiyoriy musbat son boʻlib, natural <math>n_0</math> soni esa <math>\varepsilon</math> ga qaraliyotgan ketma-ketlikka bogʻliq ravishda topiladi<ref>{{Kitob manbasi|title=Сонлар кетма-кетлиги ва уларнинг лимити|year=2010|author=Гулмирза Худойберганов, Азизжон Ворисов|pages=30-32}}</ref>.

== Manbalar ==
[[Turkum:Cheklovlar]]
[[Turkum:Qatorlar va ketma-ketliklar]]