Plastik raqam sahifasining manbasini koʻrish

[[Fayl:Plastic_number_square_spiral.svg|thumb|Tomonlarning nisbati boʻlgan kvadratlar <math>\rho</math> yopiq spiral hosil qiladi]]
[[Matematika]]da '''plastik raqam''' {{Math|''ρ''}} (shuningdek, '''plastik konstanta''', '''plastik nisbat''', '''minimal Pisot raqami''', '''platina raqami'''<ref>{{Citation|last=Choulet|first1=Richard|date=January–February 2010|title=Alors argent ou pas ? Euh ... je serais assez platine|url=http://www.apmep.fr/IMG/pdf/AAA10014.pdf|journal=Le Bulletin Vert|publisher=Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public (APMEP) Paris|issue=486|pages=89–96|issn=0240-5709|oclc=477016293|archiveurl=https://web.archive.org/web/20171114033114/http://www.apmep.fr/IMG/pdf/AAA10014.pdf|archivedate=2017-11-14|access-date=2017-11-14}}</ref> '''[[Carl Siegel|Siegel]] raqami''' yoki fransuzcha, '''{{Lang|fr|le nombre radiant}}''' deb ham ataladi) — [[Yarim kubik parabola|kub tenglamaning]] yagona haqiqiy yechimi boʻlgan matematik doimiy hisoblanadi

: <math>x^3 = x + 1.</math>

U aniq irratsional qiymatga ega

: <math>\rho = \sqrt[3]{\frac{9+\sqrt{69}}{18}}+\sqrt[3]{\frac{9-\sqrt{69}}{18}}.</math>

Uning kasrli kengayishi 1.3247179572 44746 02596 09088 54…. dan boshlanadi.

== Xususiyatlari ==

=== Takrorlanishlar ===
{{Math|''A''(''n'') {{=}} ''ρ''<sup>''n''</sup>}} plastik sonining vakolatlari {{Math|''n'' > 2}} uchun {{Math|''A''(''n'') {{=}} ''A''(''n'' − 2) + ''A''(''n'' − 3)}} uchinchi tartibli chiziqli takrorlanish munosabatini qondiradi. Demak, bu takrorlanishni qondiruvchi har qanday (noldan farqli) butun sonlar ketma-ketligining ketma-ket hadlarining chegaraviy nisbati, masalan, Padovan ketma-ketligi (Kordonnier raqamlari deb ham ataladi), Perrin raqamlari va Van der Laan raqamlari va [[Oltin kesim|oltin nisbatning]] ikkinchi tartibli [[Fibonacci sonlari|Fibonachchi]] va Lukas raqamlariga, kumush nisbati va Pell raqamlari oʻrtasidagi munosabatlarga oʻxshash bu ketma-ketliklarga boʻlgan munosabatlar hisoblanadi<ref>{{Harvard citation text|Shannon|Anderson|Horadam|2006}}.</ref>.

Plastik raqam oʻrnatilgan radikal takrorlanishni qondiradi.

: <math>\rho = \sqrt[3]{1 + \sqrt[3]{1 + \sqrt[3]{1 + \cdots}}}.</math>

=== Raqamlar nazariyasi ===
Plastmassa son {{Math|''x''<sup>3</sup> − ''x'' − 1 {{=}} 0,}} minimal ko‘phadga ega bo‘lgani uchun u {{math|''x''<sup>3</sup> − ''x'' − 1,}} ga karrali bo‘lgan har bir {{Math|''p''}} polinom uchun {{Math|''p''(''x'') {{=}} 0}} polinom tenglamasining yechimi {{Math|''x''<sup>3</sup> − ''x'' − 1,}} bu emas. butun sonli koeffitsientli boshqa har qanday polinomlar uchun. Uning minimal koʻphadining [[diskriminant]]i −23 boʻlgani uchun uning ratsionallarga boʻlinish maydoni <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-23}, \rho).</math> Bu maydon, shuningdek, Hilbert sinfiga tegishli <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-23}).</math> Shunday qilib, uni Dedekind eta funksiyasi bilan ifodalash mumkin <math>\eta(\tau)</math> argument bilan <math>\tau = \tfrac{1+\sqrt{-23}}2</math>ga teng ,

: <math>\rho= \frac{-1}{z^{23}}\frac{\eta(\tau)}{\sqrt2\,\eta(2\tau)} = 1.3247\dots</math>

va birlikning ildizi <math>z = e^{2\pi i/48}</math> . Xuddi shunday, argument bilan superoltin nisbati uchun <math>\beta = \tfrac{1+\sqrt{-31}}2</math> oʻrinli boʻladi,

: <math>\psi= \frac{-1}{z^{23}}\frac{\eta(\beta)}{\sqrt2\,\eta(2\beta)} = 1.4655\dots</math>

Bundan tashqari, plastik raqam eng kichik Pisot-Vijayaraghavan raqamidir . Uning algebraik konjugatlari quyidagilar

: <math>\left(-\tfrac12 \pm \tfrac{\sqrt3}{2}i\right) \sqrt[3]{\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{6} \sqrt{\tfrac{23}{3}}} + \left(-\tfrac12 \mp \tfrac{\sqrt3}{2}i\right) \sqrt[3]{\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{6} \sqrt{\tfrac{23}{3}}} \approx -0.662359 \pm 0.56228i,</math>

mutlaq qiymatga ega&nbsp;≈&nbsp;0,868837. Bu qiymat ham <math>\frac{1}{\sqrt{\rho}}</math> chunki minimal ko‘phadning uchta ildizining ko‘paytmasi 1 ga teng boʻladi.

=== Trigonometriya ===
Plastik raqamni [[Giperbolik funksiyalar|giperbolik kosinus]] ({{Math|cosh}}) va uning teskarisi yordamida yozish mumkin boʻladi:

: <math>\rho = \tfrac{1}{c} \cosh\left(\tfrac{1}{3} \cosh^{-1} (3 c)\right), \qquad
c = \cos\left(\tfrac{2 \pi}{12}\right) = \sin\left(\tfrac{2 \pi}{6}\right) = \tfrac{\sqrt{3}}{2} \, .</math>

=== Geometriya ===
[[Fayl:Plastic_square_partitions.svg|thumb|Kvadratning uchta boʻlimi oʻxshash toʻrtburchaklar]]
Kvadratni uchta oʻxshash toʻrtburchaklarga boʻlishning uchta usuli mavjud<ref>Ian Stewart, A Guide to Computer Dating (Feedback), Scientific American, Vol. 275, No. 5, November 1996, p. 118
</ref><ref>{{Citation|last=de Spinadel|first1=Vera W.|author1-link=Vera W. de Spinadel|last2=Antonia|first2=Redondo Buitrago|title=Towards van der Laan's plastic number in the plane|journal=Journal for Geometry and Graphics|volume=13|issue=2|year=2009|pages=163–175|url=http://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg13/j13h2spin.pdf}}.</ref> va ular quyidagilar:

# Tomonlar nisbati 3:1 boʻlgan uchta kongruent toʻrtburchaklar tomonidan berilgan yechim.
# Uchta toʻrtburchakning ikkitasi mos keladigan, uchinchisi esa qolgan ikkitasidan ikki baravar kattaroq boʻlgan yechim, bunda toʻrtburchaklar tomonlar nisbati 3:2 boʻlishi kerak.
# Uchta toʻrtburchaklar oʻzaro mos boʻlmagan (barcha oʻlchamdagi) va tomonlar nisbati ''ρ''<sup>2</sup> boʻlgan yechim. Uchta toʻrtburchakning chiziqli oʻlchamlari nisbati: ''r'' (katta: oʻrta); ''ρ''<sup>2</sup> (oʻrta: kichik); va ''ρ''<sup>3</sup> (katta: kichik). Eng katta toʻrtburchakning ichki, uzun qirrasi (kvadratning yoriq chizigʻi) kvadratning toʻrt chetidan ikkitasini har biri ''r nisbatda bir-biriga bogʻlangan ikkita segmentga ajratadi.'' Oʻrta toʻrtburchakning ichki, bir-biriga toʻgʻri keladigan qisqa qirrasi va kichik toʻrtburchakning uzun qirrasi kvadratning ikkinchi, ikkita chetidan birini ''ρ''<sup>4</sup> nisbatda bir-biriga bogʻlangan ikkita segmentga ajratadi.

Toʻrtburchaklar nisbati ''ρ''<sup>2</sup> boʻlgan toʻrtburchakdan kvadratni oʻxshash toʻrtburchaklarga ajratish uchun foydalanish mumkinligi Rut-Hurvits teoremasi bilan bogʻliq ''ρ''<sup>2</sup> sonining algebraik xususiyatiga teng: uning barcha konjugatlari ijobiy haqiqiy qismga ega boʻladi<ref>{{Citation|last=Freiling|first1=C.|last2=Rinne|first2=D.|doi=10.4310/MRL.1994.v1.n5.a3|issue=5|journal=Mathematical Research Letters|mr=1295549|pages=547–558|title=Tiling a square with similar rectangles|volume=1|year=1994}}</ref><ref>{{Citation|last=Laczkovich|first1=M.|last2=Szekeres|first2=G.|author2-link=George Szekeres|doi=10.1007/BF02574063|issue=3–4|journal=[[Discrete & Computational Geometry]]|mr=1318796|pages=569–572|title=Tilings of the square with similar rectangles|volume=13|year=1995}}</ref>.

''x'' <sup>2</sup> + ''y'' <sup>2</sup> = 1 aylananing ''x'' <sup>3</sup> = ''y'' <sup>2</sup> egri chizigʻi bilan kesishgan joylari Dekart koordinatalarida(''ρ''<sup>−1</sup>,''ρ''<sup>-3/2</sup>) va (''ρ''<sup>−1</sup>,-''ρ''<sup>-3/2</sup>) nuqtalarda boʻladi.

== Tarix va nomlar ==
[[Fayl:Interieur_bovenkerk,_zicht_op_de_middenbeuk_met_koorbanken_voor_de_monniken_-_Mamelis_-_20536587_-_RCE.jpg|thumb|Hans van der Laan tomonidan 1967-yilgi Sankt-Benediktusberg Abbey cherkovi plastik-raqamli nisbatlarga ega.]]
Gollandiyalik arxitektor va Benedikt rohibi Dom Xans van der Laan 1928-yilda ''plastik raqam'' nomini bergan ({{Lang-nl|het plastische getal}}). 1924-yilda, van der Laan raqam nomini suvga choʻmishidan toʻrt yil oldin, fransuz muhandisi {{Tarjima qilinmagan|Gérard Cordonnier|fr}} raqamni allaqachon kashf etgan va uni ''nurli raqam'' deb atagan ({{Lang-fr|le nombre radiant}})). [[Oltin kesim|Oltin nisbat]] va kumush nisbat nomlaridan farqli oʻlaroq, plastmassa soʻzi van der Laan tomonidan maʼlum bir moddaga murojaat qilish uchun emas, balki uning sifatdosh maʼnosida, uch oʻlchamli shakl berilishi mumkin boʻlgan narsani anglatadi<ref>{{Harvard citation text|Padovan|2002}}; {{Harvard citation text|Shannon|Anderson|Horadam|2006}}.</ref>. Richard Padovanning soʻzlariga koʻra, bu raqamning xarakterli nisbatlari,{{Sfrac|3|4}} va {{Sfrac|1|7}} jismoniy oʻlchamni boshqasiga bogʻlashda inson idrokining chegaralari bilan bogʻliq edi. Van der Laan 1967-yilgi Sankt-Benediktusberg Abbey cherkovini ushbu plastik son nisbatlariga mos ravishda ishlab chiqdi<ref>{{Harvard citation text|Padovan|2002}}.</ref>.

Plastik raqam baʼzan '''kumush raqam''' deb ham ataladi, unga Midhat J. Gazalé<ref>{{Citation|title=Gnomon: From Pharaohs to Fractals|last=Gazalé|first1=Midhat J.|date=April 19, 1999|publisher=Princeton University Press|isbn=9780691005140|place=Princeton, N.J.|pages=135–150|chapter=Chapter VII: The Silver Number|oclc=40298400|author-link=Midhat J. Gazalé}}</ref> tomonidan berilgan va keyinchalik Martin Gardner tomonidan qoʻllangan<ref>[[Martin Gardner]], ''A Gardner’s Workout'' (2001), Chapter 16, pp. 121-128.</ref> lekin bu nom koʻproq kumush nisbati uchun ishlatiladi. <math>1 + \sqrt{2},</math> birinchi marta 1998-yilda Vera V. de Spinadel tomonidan tasvirlangan metall vositalar oilasining nisbatlaridan biridir<ref>{{Citation|first1=Vera W.|last=de Spinadel|title=The Metallic Means and Design|pages=141–157|url=https://www.nexusjournal.com/the-nexus-conferences/nexus-1998/119-n1998-spinadel.html|journal=Nexus II: Architecture and Mathematics|editor-first=Kim|editor-last=Williams|editor-link=Kim Williams (architect)|place=Fucecchio (Florence)|publisher=Edizioni dell'Erba|date=1998}}</ref>.

Martin Gardner murojaat qilishni taklif qildi <math>\rho^2</math> „yuqori phi“ sifatida va [[Donald Knut]] bu nom uchun maxsus tipografik belgi yaratdi, gruzincha pari („Ⴔ“) harfiga oʻxshash markaziy doirasi koʻtarilgan yunoncha phi (" &#x3C6; ") harfining variantidir<ref>{{Citation|title=Six challenging dissection tasks|journal=Quantum|date=May–June 1994|volume=4|issue=5|pages=26–27|url=http://static.nsta.org/pdfs/QuantumV4N5.pdf}}</ref>.

== Yana qarang ==

* Snub ikozidokadodekaedr
* Superoltin nisbati

== Manbalar ==
{{Manbalar|30em}}

== Havolalar ==

* Ian Styuart tomonidan [https://web.archive.org/web/20120320051231/http://members.fortunecity.com/templarser/padovan.html „Beparvo qilingan raqam haqidagi ertaklar“]
* Giorgio Pietrocola tomonidan Tartapelagodagi [http://www.maecla.it/tartapelago/museo/oro/rettangoli/en%20plasticrectangle.htm plastik toʻrtburchaklar va Padovan ketma] -ketligi
*

 {{Turkumsiz|date=Aprel 2024}}