Oltin spiral sahifasining manbasini koʻrish

[[Fayl:GoldenSpiralLogarithmic_color_in.gif|thumb| Oltin spirallar oʻziga oʻxshashdir . Shakl kattalashtirilganda cheksiz takrorlanadi.]]
[[Geometriya|Geometriyada]] '''oltin spiral''' [[logarifmik spiral]] boʻlib, uning oʻsish omili {{Math|&phi;}}, [[Oltin kesim|oltin nisbati]].hisoblanadi. Yaʼni, oltin spiral har chorak burilish uchun {{Math|&phi;}} koeffitsientiga kengaytiriladi (yoki kelib chiqishidan uzoqroq).

== Oltin spiralning oʻlchamlari ==
[[Fayl:FakeRealLogSpiral.svg|right|thumb| Taxminiy va haqiqiy oltin spirallar: <span style="color:white;background-color:green">yashil</span> spiral har bir kvadratning ichki qismiga teguvchi chorak doiralardan yasalgan, <span style="color:red;">qizil</span> spiral esa oltin spiral, [[Logarifmik spiral|logarifmik spiralning]] maxsus turi boʻladi. Bir-biriga yopishgan qismlar <span style="background-color:yellow;color: black">sariq rangda</span> koʻrinadi. Kattaroq kvadratning yon tomonining keyingi kichik kvadratga uzunligi [[Oltin kesim|oltin nisbatdia]] boʻladi. Yon uzunligi 1 boʻlgan kvadrat uchun keyingi kichikroq kvadrat {{Nobr|1/φ}} kengligida boʻladi. Keyingi kenglik {{Nobr|1/φ²}}, keyin {{Nobr|1/φ³}} va hokazo.]]
Oltin spiralga yaqin boʻlgan, ammo toʻliq teng kelmaydigan bir nechta taqqoslanadigan spirallar mavjuddir<ref name="madden">{{Kitob manbasi|last=Madden|first=Charles B.|title=Fib and Phi in Music: The Golden Proportion Musical Form|isbn=978-0967172767|publisher=High Art Press|year=2005|origyear=1999|pages=14–16|url=https://books.google.com/books?id=JhnERQLm4lUC}}</ref>.

Misol uchun, oltin spiralni birinchi navbatda uning uzunligi va kengligi oʻrtasidagi nisbat oltin nisbat boʻlgan [[Toʻgʻri toʻrtburchak|toʻrtburchakdan]] boshlab tashkil topgan. Keyin bu toʻrtburchakni [[Kvadrat|kvadratga]] va [[Oʻxshashlik (geometriya)|shunga oʻxshash]] toʻrtburchakga boʻlish mumkin va keyin bu toʻrtburchakni xuddi shu tarzda ajratish mumkin. Ushbu jarayonni ixtiyoriy miqdordagi qadamlar uchun davom ettirgandan soʻng, natijada toʻrtburchaklar kvadratlarga deyarli toʻliq boʻlinadi. Ushbu kvadratlarning burchaklarini chorak [[Aylana|doiralar]] bilan bogʻlash mumkin. Natijada, haqiqiy [[logarifmik spiral]] boʻlmasa ham, oltin spiralga yaqinroq boʻladi shakl boʻladi<ref name="madden"/>.

Yana bir taxminiy [[Fibonacci sonlari|Fibonachchi spirali]] boʻlib, u biroz boshqacha tarzda qurilgan boʻlib fibonachchi spirali 2 kvadratga boʻlingan toʻrtburchakdan boshlanadi. Har bir qadamda toʻrtburchakka toʻrtburchakning eng uzun tomoni uzunligiga teng kvadrat qoʻshiladi. Fibonachchi raqamlari cheksizlikka yaqinlashganda, ketma-ket [[Fibonacci sonlari|Fibonachchi raqamlari]] orasidagi nisbat [[Oltin kesim|oltin nisbatga]] yaqinlashganligi sababli, bu spiral ham oldingi taxminga oʻxshash boʻlib, rasmda koʻrsatilganidek, koʻproq kvadrat qoʻshiladi.

== Tabiatdagi spirallar ==
Tabiatda taxminiy [[Logarifmik spiral|logarifmik spirallar]] paydo boʻlishi mumkin, masalan, spiral galaktikalarning qoʻllari<ref>
{{Kitob manbasi|title=Gnomon: From Pharaohs to Fractals|last=Midhat Gazale|publisher=Princeton University Press|year=1999|isbn=9780691005140|page=3|url=https://books.google.com/books?id=R0d76m-Be10C&pg=PR17}}</ref> — oltin spirallar bu logarifmik spirallarning alohida holatlaridan biridir, garchi bu holatning paydo boʻlishiga nisbatan umumiy tendentsiya mavjudligi haqida hech qanday dalil yoʻq boʻlsa ham. Fillotaksis oltin nisbat bilan bogʻliq, chunki u ketma-ket barglar yoki gulbarglarning oltin burchak bilan ajratilishini oʻz ichiga oladi; bu shuningdek, spirallarning paydo boʻlishiga olib keladi, garchi ularning hech biri (majburiy) oltin spiral boʻlmaydi. Baʼzida aytilishicha, spiral galaktikalar va nautilus qobiqlari oltin spiral shaklida kengayadi va shuning uchun ham {{Math|&phi;}}, ham Fibonachchi qatorlari bilan bogʻliq boʻladi. Darhaqiqat, koʻplab [[mollyuskalar]], shu jumladan nautilus qobigʻi logarifmik spiral oʻsishini namoyish etadi, ammo turli [[Burchak|burchaklarda]] odatda oltin spiralnikidan aniq farq qiladi<ref>
{{Kitob manbasi|title=The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes|last=David Darling|publisher=John Wiley & Sons|year=2004|isbn=9780471270478|page=188|url=https://books.google.com/books?id=nnpChqstvg0C&pg=PA188}}</ref><ref>{{Veb manbasi|muallif=Devlin|ism=Keith|sarlavha=The myth that will not go away|url=http://www.maa.org/external_archive/devlin/devlin_05_07.html|sana=May 2007|qaralgan sana=2022-11-26|arxivsana=2020-11-12|arxivurl=https://web.archive.org/web/20201112034625/https://www.maa.org/external_archive/devlin/devlin_05_07.html}}</ref><ref>{{Veb manbasi|muallif=Peterson|ism=Ivars|sarlavha=Sea Shell Spirals|url=http://www.sciencenews.org/view/generic/id/6030/title/Sea_Shell_Spirals|ish=Science News|nashriyot=Society for Science & the Public|sana=2005-04-01|qaralgan sana=2022-11-26|arxivsana=2012-10-03|arxivurl=https://web.archive.org/web/20121003045834/http://www.sciencenews.org/view/generic/id/6030/title/Sea_Shell_Spirals}}</ref>. Bu naqsh organizmning shaklini oʻzgartirmasdan oʻsishiga imkon beradi. Spiral galaktikalar koʻpincha logarifmik spirallar [[Arximed spirali|yoki]] [[Giperbolik spiral|giperbolik spirallar]] sifatida modellashtirilgan boʻlsa-da, ularning qadam burchaklari logarifmik spirallardan farqli oʻlaroq (bu burchak oʻzgarmaydi) galaktika markazidagi masofaga qarab oʻzgaradi. Ularni modellashtirish uchun boshqa matematik spirallardan foydalaniladi<ref>{{Cite journal|last=Savchenko|first1=S. S.|last2=Reshetnikov|first2=V. P.|date=September 2013|doi=10.1093/mnras/stt1627|issue=2|journal=Monthly Notices of the Royal Astronomical Society|pages=1074–1083|title=Pitch angle variations in spiral galaxies|volume=436}}</ref>.

== Matematika ==
[[Fayl:Fibonacci_Spiral.svg|thumb| Fibonachchi spirali [[Fibonacci sonlari|Fibonachchi ketma-ketligidan]] olingan kvadratlarga yozilgan chorak doira yoylari yordamida oltin spiralga yaqinlashadi.]]
Boshlangʻich radiusi 1 boʻlgan oltin spiral qutb koordinatalari nuqtalarining joylashuvidir <math>(r,\theta)</math> qoniqarlidir<math display="block">r=\varphi^{2\theta/\pi}</math>Oltin spiral uchun qutb tenglamasi boshqa [[Logarifmik spiral|logarifmik spirallar]] bilan bir xil, lekin oʻsish omilining b ning maxsus qiymati quyidagilar<ref>{{Kitob manbasi|title=Divine Proportion: {{math|&Phi;}} Phi in Art, Nature, and Science|url=https://archive.org/details/divineproportion0000heme|last=Priya Hemenway|isbn=1-4027-3522-7|publisher=Sterling Publishing Co|year=2005|pages=[https://archive.org/details/divineproportion0000heme/page/127 127]-129}}</ref>: <math>r = ae^{b\theta}</math>yoki<math>\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a),</math>{{Mvar|[[e (mathematical constant)|e]]}} — natural logarifmlarning asosi, {{Mvar|a}} — spiralning boshlangʻich radiusi va {{Mvar|b}} shundayki, {{Mvar|&theta;}} [[Toʻgʻri burchak|toʻgʻri burchak]] boʻlganda (har ikki yoʻnalishda chorak burilish) quyidagilarga ega boʻlamiz:<math>e^{b\theta_\mathrm{right}} = \varphi.</math>Shuning uchun {{Mvar|b}} tomonidan berilgan<math>b = {\ln{\varphi} \over \theta_\mathrm{right}}.</math>
[[Fayl:Lucas_number_spiral.svg|right|thumb|194x194px| Lukas spirali oltin spiralga uning shartlari katta boʻlganda yaqinlashadi, lekin ular kichik boʻlganda emas. 2 dan 76 gacha boʻlgan 10 ta atama kiritilgan.]]
{{Mvar|b}} ning raqamli qiymati toʻgʻri burchak 90 gradus yoki kabi oʻlchanganiga bogʻliq <math>\textstyle\frac{\pi}{2}</math> [[Radian|radyanlar]]; va burchak ikkala yoʻnalishda boʻlishi mumkinligi sababli, {{Mvar|b}} ning mutlaq qiymati uchun formulani yozish eng osonusuldir (yaʼni, {{Mvar|b}} bu qiymatning manfiy ham boʻlishi mumkin):<math display="block">|b| = {\ln{\varphi} \over 90} \doteq0.0053468</math>{{Mvar|&theta;}} uchun darajalarda yoki<math display="block">|b| = {\ln{\varphi} \over \pi/2} \doteq0.3063489</math>{{Mvar|&theta;}} uchun radyanlarda.

Logarifmik va oltin spiralning muqobil formulalari<ref>{{Kitob manbasi|title=Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science|last=Klaus Mainzer|pages=45, 199–200|year=1996|url=https://books.google.com/books?id=rqzaQo6CaA0C&dq=%22golden+spiral%22+log&pg=PA200|isbn=3-11-012990-6|publisher=Walter de Gruyter}}</ref>.<math display="block">r =ac^{\theta}</math>Bu yerda {{Mvar|c}} doimiysi orqali berilgan<math display="block">c =e^b</math>bu oltin spiral uchun {{Mvar|c}} qiymatlarini beradi<math display="block">c = \varphi ^ \frac{1}{90}\doteq1.0053611</math>agar {{Mvar|&theta;}} darajalarda oʻlchanadigan boʻlsa va u<math display="block">c = \varphi ^ \frac{2}{\pi} \doteq1.358456</math>agar {{Mvar|&theta;}} radianlarda oʻlchanadi.

Logarifmik spirallarga nisbatan oltin spiral oʻziga xos xususiyatga ega boʻlib, {{Math|&theta;}}, {{Math|&theta; + &pi;}}, {{Math|&theta; + 2&pi;}}, {{Math|&theta; + 3&pi;}} argumentlariga tegishli toʻrtta [[Kollinear vektorlar|kollinear]] spiral nuqta ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' uchun ''C'' nuqtasi proyektiv garmonik hisoblanadi. ''B'' ''ning A'', ''D'' ga nisbatan konjugati, yaʼni oʻzaro nisbati (''A'', ''D'' ; ''B'', ''C'') yagona qiymat −1 ga ega boʻladi. Oltin spiral (''A'', ''D'' ; ''B'', ''C'') = (''A'', ''D'' ; ''C'', ''B'') boʻlgan yagona logarifmik spiral hisoblanadi.
[[Fayl:Spiral-log-st-se.svg|thumb| Nishab burchagi va sektorining taʼrifi]]
[[Logarifmik spiral]] uchun qutb tenglamasida:<math display="block">r =ae^{b\theta}</math>{{Mvar|b}} parametri qutb qiyalik <math>\alpha</math> burchagi bilan bogʻliq :<math display="block">\tan\alpha=b </math>Oltin spiralda, <math>b</math> doimiy va teng <math>|b| = {\ln{\varphi} \over \pi/2} </math> (yuqorida aniqlanganidek, radianlarda {{Mvar|&theta;}} uchun), qiyalik burchagi <math>\alpha</math> hisoblanadi<math display="block">\alpha = \arctan(|b|) = \arctan\left({\ln{\varphi}\over\pi/2}\right),</math>shuning uchun<math display="block">\alpha \doteq17.03239113</math>darajalarda oʻlchangan boʻlsa, yoki<math display="block">\alpha \doteq0.2972713047</math>agar radianlarda oʻlchangan boʻlsa u holda:

Uning [[Burchak|toʻldiruvchi burchagi]]<math display="block">\beta = \pi/2 — \alpha \doteq1.273525022</math>radianlarda yoki<math display="block">\beta = 90 — \alpha \doteq73</math>darajalarda, oltin spiral qoʻllarining spiral markazidan chiziq bilan hosil qilgan burchagi boʻladi.

== Yana qarang ==

* [[Fibonacci sonlari|Fibonachchi raqami]]
* Oltin burchak
* [[Oltin kesim|Oltin nisbat]]
* Oltin toʻrtburchak
* Spirallar roʻyxati
* [[Logarifmik spiral]]

== Manbalar ==
{{Manbalar|30em}}{{Metallic ratios}}{{Spirals}}