Mediana sahifasining manbasini koʻrish

{{Maʼnolari|Mediana (maʼnolari)}}[[Fayl:Triangle.Centroid.svg|thumb|Medianalar]]
'''Mediana''' ({{lang-la|mediāna}} – oʻrta) – G uchburchak medianasi – [[Uchburchak|uchburchakning]] bir uchi bilan shu uchi qarshisidagi tomoni oʻrtasini tutashtiruvchi kesma. Uchburchakning uchala medianalari bir nuqtada kesishadi va kesishish nuqtasida uchburchak uchidan hisoblaganda 2 : 1 nisbatda boʻlinadi. Uchburchak medianalarining kesishish nuqtasi, uning ogʻirlik markazi bilan ustma-ust tushadi. 2° [[tetraedr]] (uchburchakli [[Piramida (matematika)|piramida]]) medianasi – tetraedr bir uchi bilan shu uchi qarshisidagi yoq ogʻirlik markazini tutashtiruvchi kesma. Tetraedrning toʻrttala medianasi bir nuqtada kesishadi; <ref>[[OʻzME]]. Birinchi jild. Toshkent, 2000-yil</ref>

== Asosiy nisbatlar ==
Mediananing uzunligini hisoblash uchun uchburchak tomonlarining uzunliklari maʼlum boʻlganda, [[Apolloniy teoremasi]] qoʻllanadi ([[Styuart teoremasi]] orqali yoki parallelogrammaga choʻzilgan va kvadratlar yigʻindisining [[Parallelogramm|parallelogrammasidagi]] tenglikdan foydalanib olingan). yon tomonlari va diagonallar kvadratlari yigʻindisi:

: <math>m_a = \dfrac{1}{2}\sqrt {2 b^2 + 2 c^2 - a^2}, </math>

: <math>m_b = \dfrac{1}{2}\sqrt{2 a^2 + 2 c^2 - b^2}, </math>

: <math>m_c = \dfrac{1}{2}\sqrt{2 a^2 + 2 b^2 - c^2}, </math>

: bu yerda <math>m_a,\ m_b,\ m_c</math> mos ravishda <math>a,\ b,\ c</math> uchburchak tomonlari medianalaridir.

Xususan, ixtiyoriy uchburchakning medianalari kvadratlari yigʻindisi uning tomonlari kvadratlari yigʻindisining 3/4 qismini tashkil qiladi:
: <math>m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac34 (a^2 + b^2 + c^2)</math>.
Aksincha, uchburchakning ixtiyoriy tomonining uzunligini medianalarda ifodalash mumkin:

: <math>a = \frac{2}{3} \sqrt{-m_a^2 + 2m_b^2 + 2m_c^2} = \sqrt{2(b^2+c^2)-4m_a^2} = \sqrt{\frac{b^2}{2} - c^2 + 2m_b^2} = \sqrt{\frac{c^2}{2} - b^2 + 2m_c^2},</math>

: <math>b = \frac{2}{3} \sqrt{-m_b^2 + 2m_a^2 + 2m_c^2} = \sqrt{2(a^2+c^2)-4m_b^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} - c^2 + 2m_a^2} = \sqrt{\frac{c^2}{2} - a^2 + 2m_c^2},</math>

: <math>c = \frac{2}{3} \sqrt{-m_c^2 + 2m_b^2 + 2m_a^2} = \sqrt{2(b^2+a^2)-4m_c^2} = \sqrt{\frac{b^2}{2} - a^2 + 2m_b^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} - b^2 + 2m_a^2},</math>

: bu yerda <math>m_a, m_b, m_c</math> uchburchakning mos tomonlariga medianalar, <math>a, b, c</math> uchburchakning tomonlari.
Har qanday uchburchakning maydoni <math>S</math>, uning medianalari uzunligi bilan ifodalangan:
: <math>S = \frac{4}{3} \sqrt{\sigma (\sigma - m_a)(\sigma - m_b)(\sigma - m_c)},</math>

: bu yerda <math>\sigma = (m_a + m_b + m_c)/2</math> mediana uzunliklari yigʻindisining yarmi.

== Yana qarang ==

* [[Mediana (statistika)]]

== Manbalar ==
{{manbalar}}

{{OʻzME}} <!-- Bot tomonidan yaratildi -->

{{chala}}

{{Turkumsiz|date=avgust 2024}}