Kepler masalasi sahifasining manbasini koʻrish

[[Klassik mexanika|Klassik mexanikada]] '''Kepler masalasi''' [[Ikki jism masalasi|ikki jismli masalaning]] alohida holati boʻlib, bunda ikkala jism ''F'' [[markaziy kuch]] bilan oʻzaro taʼsir qiladi, bu kuch ular orasidagi ''r'' masofaning teskari kvadrati sifatida oʻzgaradi. Quvvat foydali yoki zararli boʻlishi mumkin. Muammo ikki jismning vaqt oʻtishi bilan ularning [[Massa|massalari]], [[Holat (geometriya)|pozitsiyalari]] va [[Tezlik|tezligini]] hisobga olgan holda pozitsiyasini yoki tezligini topishdir. Klassik mexanikadan foydalanib, yechim oltita orbital elementdan foydalangan holda Kepler orbitasi sifatida ifodalanishi mumkin.

Kepler muammosi [[Kepler qonunlari|Keplerning sayyoralar harakati qonunlarini]] ([[Klassik mexanika|klassik mexanikaning]] bir qismi boʻlgan va sayyoralar orbitalari uchun muammoni hal qilgan) taklif qilgan va orbitalarning ushbu qonunlarga boʻysunishiga olib keladigan kuchlar turlarini oʻrgangan [[Kepler Iogann|Yoxannes Kepler]] sharafiga nomlangan. ''Keplerning teskari muammosi'')<ref name="goldstein_1980">{{Kitob manbasi |last=Goldstein |first=H. |authorlink=Herbert Goldstein |date=1980 |title=Classical Mechanics |edition=2nd |publisher=[[Addison Wesley]]}}</ref>.

Radial orbitalarga xos Kepler muammosini muhokama qilish uchun Radial traektoriyaga qarang. [[Umumiy nisbiylik nazariyasi]] ikki jism muammosiga, ayniqsa kuchli tortishish maydonlarida aniqroq echimlarni beradi.

== Ilovalar ==
Kepler muammosi koʻplab kontekstlarda paydo boʻladi, baʼzilari Keplerning oʻzi oʻrgangan fizikadan tashqari. Kepler muammosi [[Samoviy mexanika|samoviy mexanikada]] muhim ahamiyatga ega, chunki [[Gravitatsiya|Nyuton tortishish kuchi]] teskari kvadrat qonuniga boʻysunadi. Misollar, sayyora atrofida harakatlanuvchi sunʼiy yoʻldosh, uning quyosh atrofida sayyora yoki bir-birining atrofida ikki qoʻshaloq yulduz. Kepler muammosi ikkita zaryadlangan zarrachalar harakatida ham muhimdir, chunki [[Kulon qonuni|Kulonning]] [[elektrostatika]] qonuni teskari kvadrat qonuniga ham boʻysunadi. Misollar [[vodorod]] atomi, pozitroniy va muoniyni oʻz ichiga oladi, ularning barchasi fizik nazariyalarni sinab koʻrish va tabiat konstantalarini oʻlchash uchun namunaviy tizim sifatida muhim rol oʻynagan.

Kepler muammosi va oddiy harmonik osilatör muammosi [[Klassik mexanika|klassik mexanikada]] eng asosiy ikkita muammodir. Ular har bir mumkin boʻlgan boshlangʻich shartlar toʻplami uchun yopiq orbitalarga ega boʻlgan, yaʼni bir xil tezlikda boshlangʻich nuqtasiga qaytadigan ''yagona'' ikkita muammodir ([[Bertrand teoremasi|Bertran teoremasi]]). Kepler muammosi koʻpincha klassik mexanikada Lagranj mexanikasi, [[Gamilton mexanikasi]], Gamilton-Jakobi tenglamasi va [[Harakat-burchak koordinatalari|harakat burchagi koordinatalari]] kabi yangi usullarni ishlab chiqish uchun ishlatilgan.  Kepler muammosi Laplas-Runge-Lenz vektorini ham saqlaydi, keyinchalik u boshqa oʻzaro taʼsirlarni oʻz ichiga oladi. Kepler muammosining yechimi olimlarga sayyoralar harakati toʻliq klassik mexanika va [[Gravitatsiya|Nyutonning tortishish qonuni]] bilan izohlanishi mumkinligini koʻrsatishga imkon berdi; sayyoralar harakatining ilmiy izohi [[Maʼrifatchilik|maʼrifatning]] boshlanishida muhim rol oʻynadi.

== Matematik taʼrif ==
Ikki jism orasidagi markaziy '''F''' [[Markaziy kuch|kuch]] ular orasidagi masofa ''r'' ning teskari kvadrati sifatida oʻzgaradi:

: <math>
\mathbf{F} = \frac{k}{r^{2}} \mathbf{\hat{r}}
</math>

bu yerda ''k'' doimiy va <math>\mathbf{\hat{r}}</math> ular orasidagi chiziq boʻylab [[Birlik vektor|birlik vektorini]] ifodalaydi<ref>{{Kitob manbasi |last=Arnold |first=VI |authorlink=Vladimir Arnold |date=1989 |title=Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed. |publisher=[[Springer-Verlag]] |location=New York |isbn=978-0-387-96890-2 |page=[https://archive.org/details/mathematicalmeth0000arno/page/38 38] |url=https://archive.org/details/mathematicalmeth0000arno/page/38}}</ref>. Kuch jozibali (''k'' <0) yoki itaruvchi ( ''k'' >0) boʻlishi mumkin. Tegishli skalyar potensial:

: <math>
V(r) = \frac{k}{r}
</math>

== Kepler masalasining yechimi ==
Radius uchun harakat tenglamasi <math>r</math> massa zarrasining <math>m</math> [[Markaziy kuch|markaziy potensialda]] harakat qiladi <math>V(r)</math> Lagranj tenglamalari bilan berilgan:

: <math>
m\frac{d^2 r}{dt^2} - mr \omega^2 = 
m\frac{d^2 r}{dt^2} - \frac{L^2}{mr^3} = -\frac{dV}{dr}
</math>

<math>\omega \equiv \frac{d\theta}{dt}</math> va burchak momenti <math>L = mr^{2}\omega</math> saqlanib qolgan. Misol uchun, chap tomondagi birinchi atama dumaloq orbitalar uchun nolga teng va qoʻllaniladigan ichki kuch <math>\frac{dV}{dr}</math> [[Markazga intilma kuch|markazlashtiruvchi kuch talabiga]] teng <math>mr \omega^{2}</math>, kutilganidek.

Agar ''L'' nolga teng boʻlmasa, burchak momentumining taʼrifi mustaqil oʻzgaruvchining oʻzgarishiga imkon beradi <math>t</math> uchun <math>\theta</math>

: <math>
\frac{d}{dt} = \frac{L}{mr^{2}} \frac{d}{d\theta}
</math>

vaqtga bogʻliq boʻlmagan yangi harakat tenglamasini berish

: <math>
\frac{L}{r^2} \frac{d}{d\theta} \left( \frac{L}{mr^2} \frac{dr}{d\theta} \right)- \frac{L^2}{mr^3} = -\frac{dV}{dr}
</math>

Birinchi muddatning kengayishi hisoblanadi

: <math>\frac{L}{r^2} \frac{d}{d\theta} \left( \frac{L}{mr^2} \frac{dr}{d\theta} \right) = -\frac{2L^2}{mr^5} \left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2 + \frac{L^2}{mr^4} \frac{d^2 r}{d\theta^2}
</math>

Oʻzgaruvchilar oʻzgarishini amalga oshirishda bu tenglama kvazichiziqli boʻladi <math>u \equiv \frac{1}{r}</math> va ikkala tomonni koʻpaytirish <math>\frac{mr^2}{L^2}</math>

: <math>
\frac{du}{d\theta} = \frac{-1}{r^2} \frac{dr}{d\theta} 
</math>

: <math>
\frac{d^2 u}{d\theta^2} = \frac{2}{r^3} \left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2 - \frac{1}{r^2} \frac{d^2 r}{d\theta^2} </math>

Oʻzgartirish va qayta tartibga solishdan keyin:

: <math>
\frac{d^2 u}{d\theta^2} + u = -\frac{m}{L^2} \frac{d}{du} V\left(\frac 1 u\right)
</math>

[[Gravitatsiya|Gravitatsion]] yoki [[Elektrostatika|elektrostatik potensial]] kabi teskari kvadrat kuch qonuni uchun [[potensial]] yozilishi mumkin.

: <math>
V(\mathbf{r}) = \frac{k}{r} = ku
</math>

Orbita <math>u(\theta)</math> umumiy tenglamadan chiqarish mumkin

: <math>
\frac{d^2 u}{d\theta^2} + u = -\frac{m}{L^2} \frac{d}{du} V\left( \frac 1 u\right) = -\frac{km}{L^2}
</math>

uning yechimi doimiy hisoblanadi <math>-\frac{km}{L^2}</math> Bundan tashqari, oddiy sinusoid

: <math>
u \equiv \frac{1}{r} = -\frac{km}{L^2} \left[ 1 + e \cos(\theta - \theta_0) \right]
</math>

bu yerda <math>e</math> ('''eksentriklik''') va <math>\theta_{0}</math> ('''faza ofseti''') integratsiya konstantalaridir.

Bu boshlangʻichda bitta fokusga ega boʻlgan [[Konus kesimlari|konus kesimining]] umumiy formulasi; <math>e=0</math> [[Aylana|doiraga]] toʻgʻri keladi, <math>e<1</math> ellipsga toʻgʻri keladi, <math>e=1</math> [[Parabola (chiziq)|parabolaga]] mos keladi va <math>e>1</math> [[Giperbola|giperbolaga]] mos keladi. Eksantriklik <math>e</math> umumiy [[energiya]] bilan bogʻliq <math>E</math> (qarang. Laplas-Runge-Lenz vektori)

: <math>
e = \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{k^2 m}}
</math>

Bu formulalarni solishtirish shuni koʻrsatadi <math>E<0</math> ellipsga toʻgʻri keladi (yopiq orbitalar boʻlgan barcha eritmalar ellipsdir), <math>E=0</math> [[Parabola (chiziq)|parabolaga]] mos keladi va <math>E>0</math> [[Giperbola|giperbolaga]] mos keladi. Ayniqsa, <math>E=-\frac{k^2 m}{2L^2}</math> mukammal [[Aylana|dumaloq]] orbitalar uchun (markaziy kuch [[Markazga intilma kuch|markazga qoʻyiladigan kuch talabiga]] toʻliq tengdir, bu maʼlum bir dumaloq radius uchun kerakli burchak tezligini belgilaydi).

Qaytaruvchi kuch uchun (''k''>0) faqat ''e''>1 amal qiladi.

==Manbalar==
{{reflist}}

[[Turkum:Mexanika]]
[[Turkum:Fizika]]