Feynman–Kac formulasi sahifasining manbasini koʻrish

'''Feynman-Kac formulasi''' — [[Richard Feynman]] va [[Mark Kac]] nomi bilan ataladigan formula boʻlib, xususiy hosilali parabolik differensial tenglamalar hamda tasodifiy jarayonlarni oʻzaro bogʻlashga xizmat qiladi.

Xususan, ushbu formula xususiy hosilali differensial tenglamalarni tasodifiy hodisalar trayektoriyasi ([[Monte-Karlo metodi]] deb ham ataladi) yordamida yechish imkonini beradi. Shuningdek, tasodifiy jarayonning [[matematik kutilma]]si, xususiy hosilali differensial tenglamaning yechimi sifatida hisoblanishi mumkin.

== Bir oʻlchamli holat ==
Quyidagi differensial tenglamani koʻrib chiqamiz:
: <math>\frac{\partial u}{\partial t} + \mu(x,t) \frac{\partial u}{\partial x} + \tfrac{1}{2} \sigma^2(x,t) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - V(x,t) u + f(x,t) = 0 \qquad (*)</math>
bu yerda <math>u=u(x,t)</math> nomaʼlum funksiya, <math>x \in \mathbb{R}</math> va <math>t \in [0,T]</math> esa — mustaqil oʻzgaruvchilar, <math>\mu, \sigma, V, f</math> — maʼlum funksiyalar.
Feynman-Kac formulasiga binoan, (*) tenglamaning boshlangʻich shartlarga nisbatan yechimi
: <math>u(x,T)=\psi(x), </math>
[[shartli matematik kutilma]] koʻrinishida ifodalanishi mumkin:
: <math> u(x,t) = E^Q\left[ \int_t^T e^{-  \int_t^s V(X_\tau)\, d\tau}f(X_s,s)ds + e^{-\int_t^T V(X_\tau)\, d\tau}\psi(X_T) \ \bigg| \ X_t=x \right],</math>
bu yerda <math>Q</math> — tasodifiy oʻlcham, <math>X_t</math> esa [[Ito protsessi]] deb ataladi. Ushbu protsess quyidagi tasodifiy tenglama bilan ifodalanadi:
: <math>dX_t = \mu(X_t,t)\,dt + \sigma(X_t,t)\,dW_t^Q, 
\qquad (**)
</math>
bu yerda <math>W_t^Q</math> jarayon uchun boshlangʻich shart quyidagi koʻrinishda boʻladi:
: <math>X_0=x</math>.

== Koʻp oʻlchamli holat ==
Feynman-Kac formulasining koʻp oʻlchamli analogi ham mavjud boʻlib, oʻzgaruvchi quyidagi shartga boʻysunsagina uni qoʻllash mumkin:
<math>x = (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n</math>.

Bu holda (*) differensial tenglama quyidagi koʻrinishga keladi:
: <math>\frac{\partial u}{\partial t} + \sum_{i=1}^n \mu_i(x,t) \frac{\partial u}{\partial x_i} + \tfrac{1}{2} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \gamma_{ij}(x,t) \frac{\partial^2 u}{\partial x_i\partial x_j} - V(x,t) u + f(x,t) = 0
</math>
va ''n''-oʻchamli <math>X_t</math> tasodifiy jarayon quyidagi tenglama orqali ifodalanadi:
: <math>dX_t = \mu(X_t,t)\,dt + \Sigma(X_t,t)\,dW_t^Q,</math>
bu yerda <math>\mu</math> — <math>(\mu_1,\ldots,\mu_n)</math> elementlardan tuzilgan vektor-ustun,
<math>W_t^Q</math> — ''n''-oʻlchamli tasodifiy protsess, <math>\Sigma = (\sigma_{ij})</math> — n-tartibli kvadat matritsa boʻlib, <math>\Gamma = (\gamma_{ij})</math> matritsa bilan quyidagi formula orqali bogʻlangan:
: <math>\Gamma = \Sigma \cdot \Sigma^*,</math>
yulduzcha (*) belgisi transponirlashni bildiradi.
[[Turkum: qisman differentsial tenglamalar]]
[[Turkum: statistik fizika]]
[[Turkum: tasodifiy jarayonlar]]
[[Turkum: shaxsiy qonunlar va qoidalar / Feinman-Katz]]