Elementar funksiyalar sahifasining manbasini koʻrish

'''Elementar funksiyalar''' — koʻphadlar, [[Ratsional sonlar|ratsional]], koʻrsatkichli, darajali, logarifmik, trigonometrik, teskari trigonometrik funksiyalar, shuningdek, bu funksiyalardan toʻrt arifmetik amal va chekli marta qoʻllangan superpozitsiyalar yordamida hosil qilinadigan funksiyalarni oʻz ichiga olgan funksiyalar sinfi.

Elementar funksiyalar sinfi yaxshi oʻrganilgan va u amaliy matematikada koʻp qoʻllanadi. Elementar funksiyalar ning hosilasi hamisha Elementar funksiyalar boʻladi, lekin Elementar funksiyalardan olingan integral Elementar funksiyalar boʻlmasligi ham mumkin.

== Butun ratsional funksiyalar ==
Ushbu<math display="block">y=a_0+a_1x+a_2{x}^2+...a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n</math>koʼrinishdagi funksiya butun ratsional funksiya deyiladi. Bunda <math>a_0, a_1,...,a_n</math>  - oʻzgarmas sonlar, <math>n\in N</math>. Bu funksiya <math>R=(-\infty, +\infty)</math> da aniqlangan. 
Butun ratsional funksiyaning baʻzi xususiy hollari:

=== Chiziqli funksiya ===
Bu funksiya <math>y=ax+b</math> <math>(a\neq0)</math> koʻrinishga ega, bunda a, b, c - oʻzgarmas sonlar.

Chiziqli funksiya <math>(-\infty, +\infty)</math> da aiqlangan <math>a>0</math> boʻlganda oʻsuvchi, <math>a<0</math> boʻlganda kamayuvchi: grafigi tekislikdagi toʻgʻri chiziqdan iborat.

=== Kvadrat funksiya ===
[[Fayl:Parabolaning tekislikda joylashishi.jpg|thumb|Parabolaning tekislikda joylashishi <math>a</math> hamda <math>D=b^2-4ac</math> larning ishorasiga bogʻliq boʻladi. Masalan, <math>a>0</math>, <math>D>0</math> va <math>a<0</math>, <math>D<0</math> boʻlganda uning grafigi shunday boʻladi. ]]
Bu funksiya <math>y=ax^2+bx+c</math>  <math>(a\neq0)</math> koʻrinishga ega, bunda a, b, c - oʻzgarmas sonlar.

Kvadrat funktsiya R da aniqlangan boʼlib, uning grafigi parabolani ifodalaydi.

Ravshanki <math>y=ax^2+bx+c=a\Bigl(x+\frac{b}{2a}\Bigr)-\frac{b^2-4ac}{4a}</math>

== Kasr ratsional funksiyalar ==
Ushbu <math>y=\frac{a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n}{b_0+b_1x+b_2x^2+...+b_mx^m}</math> koʻrinishdagi funksiya kasr ratsional funksiya deyiladi. Bunda <math>a_0, a_1,...,a_n</math> va <math>b_0, b_1,...,b_m</math> lar oʻzgarmas sonlar <math>n\in N</math>, <math>m\in N</math>. Bu funksiya <math>X=(-\infty, +\infty) \ \{x\mid b_0+b_1x+...+b_mx^m=0</math> toʻplamda aniqlangan. 

Kasr ratsional funksiyaning baʻzi xususiy hollari:

=== Teskari proporsional bogʻlanish ===
[[Fayl:Elementar funksiyalar.jpg|thumb|Bu funksiya <math>X=(-\infty,0)\bigcup(0,+\infty)=R\backslash\{0\}</math> toʻplamda aniqlangan, toq funksiya, <math>a</math> ning ishorasiga qarab funksiya <math>(-\infty,0)</math> va <math>(0,+\infty)</math> oraliqlarning har bir kamayuvchi yoki oʻsuvchi boʻladi.]]
U <math>y=\frac{a}{x}</math> (<math>x\neq0</math> <math> a=const</math>) koʻrinishga ega. 

=== Kasr chiziqli funksiya ===
U ushbu <math>y=\frac{ax+b}{cx+d}</math> korinishga ega. Bu funksiya <math>X=R\backslash\{-\frac{d}{c}\}</math> <math>(c\neq0)</math> toʻplamda aniqlangan:

Ravshanki, <math>y=\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{bc-ad}{c^2}*\frac{1}{x+\frac{d}{c}}+\frac{a}{c}</math>. Demak, <math>y=\frac{a}{x+\beta}+\gamma</math>, <math>\Bigr(a=\frac{bc-ad}{c^2}, \beta=\frac{d}{c}, \gamma=\frac{a}{c}\Bigr)</math>. Uning grafigini <math>y=\frac{a}{x}</math> funksiya grafigi yordamida chizish mumkin.

== Darajali funksiya ==
Ushbu <math>y=x^a</math>, <math>(x\geq0)</math> koʻrinishdagi funksiya darajali funksiya deyiladi.

Bu funksiyaning aniqlanish toʻplami <math>a</math> ga bogʻliq. Darajali funksiya <math>a>0</math>, boʻlganda <math>(0, +\infty)</math> da oʻsuvchi, <math>a<0</math> boʻlganda kamayuvchi boʻladi. <math>y=x^a</math> funksiya grafigi tekislikning (0,0) va (1,1) nuqtalardan oʻtadi.

== Koʻrsatkichli funksiya ==
Ushbu <math>y=a^x</math> koʻrinishdagi funksiya koʻrsatkichli funksiya deyiladi. Bunda <math>a\in R</math>, <math>a>0</math>, <math>a\neq1</math>. Koʻrsatkichli funksiya <math>(-\infty, +\infty)</math> aniqlangan, <math>\forall x\in R</math> da <math>a^x>0</math>; <math>a>0</math> boʻlganda oʻsuvchi; <math>0<a<1</math> boʻlganda kamayuvchi boʻladi.

Xususan, <math>a=e</math> boʻlsa, matematikada muhim roʻl oʻynaydigan <math>y=e^x</math> funksiya hosil bovladi.

Koʻrsatkichli funksiyaning grafigi <math>Ox</math> oʻqidan yuqoridan joylashgan va tekislikning (0,1) nuqtasidan oʻtadi.

== Logarifimik funksiya ==
Ushbu <math>y=\log_yx</math> koʻrinishdagi funksiya logarifmik funksiya deyiladi. Bunda <math>a>0</math>, <math>a\neq1</math>. 

Logarifimlik funksiya <math>(0, +\infty)</math> da aniqlangan, <math>y=a^x</math> funksiyaga nisbatan teskari; <math>a>1</math> boʻlganda oʻsuvchi, <math>0<a<1</math> boʻlganda kamayuvchi boʻlad.

Logarifmik funksiyaning grafigi <math>Oy</math> oʻqining oʻng tomonida joylashgan va tekislikning (0,1) nuqtasidan oʻtadi.

== Trigonometrik funksiyalar ==
Ushbu <math>y=\sin x</math>, <math>y=\cos x</math>, <math>y=tgx</math>, <math>y=ctgx</math>, <math>y=secx</math>, <math>y=cosecx</math> funksiyalar trigonometrik funksiyalar deyiladi.

<math>y=\sin x</math>, <math>y=\cos x</math> funksiyalar  <math>R=(-\infty, +\infty)</math> da aniqlangan, <math>2\pi</math> davrli funksiyalar <math>\forall x\in R</math> da <math>-1\leq sinx\leq 1</math>, <math>-1\leq cosx\leq 1</math> boʻladi. Ushbu  <math>y=tgx</math> funksiya <math>X=R\backslash\{x\in R |x=(2k+1)\frac{\pi}{2}; k=0, \pm1,\pm2,...\}</math> toʻplamda aniqlangan <math>\pi</math> davrli funksiya <math>ctgx</math>, <math>secx</math>, <math>cosecx</math> funksiyalar <math>sinx</math>, <math>cosx</math>, <math>tgx</math> lar orqali quyidagicha ifodalaydi: <math>ctgx=\frac{1}{tgx}, secx=\frac{1}{cosx}, cosecx=\frac{1}{sinx}</math>.

== Giperbolik funksiyalar ==
Koʻrsatkichli <math>y=e^x</math> funksiya yordamida tuzilgan ushbu <math>\frac{e^x-e^{-x}}{2}, \frac{e^x+e^{-x}}{2}, \frac{e^x-e^{-x}}{{e^x+e^{-x}}}, \frac{e^x+e^{-x}}{{e^x-e^{-x}}}</math> funksiyalar giperbolik (mos ravishda giperbolik sinus, giperbolik kosinus, giperbolik tangens, giperbolik katangens) funksiyalar deyiladi va ular quyidagicha <math>shx=\frac{e^x-e^{-x}}{2}, chx=\frac{e^x+e^{-x}}{2}, thx=\frac{e^x-e^{-x}}{{e^x+e^{-x}}}, cthx=\frac{e^x+e^{-x}}{{e^x-e^{-x}}}</math> belgilanadi.

== Teskari trigonometrik funksiyalar ==
Maʻlumki, <math>y=sinx</math> funksiya R da aniqlangan va uning qiymatlari toʻplami <math>Y_f= [-1,1]</math> boʻladi.

Agar <math>x\in \left (- \frac{\pi}{2} \right ) \left ( \frac{\pi}{2} \right )</math> boʻlsa, u holda <math>X= \left (- \frac{\pi}{2} \right ) \left ( \frac{\pi}{2} \right )</math> va <math>Y_f= [-1,1]</math> toʻlamlarining elementlari oʻzaro bir qiymatli moslikda boʻladi.

<math>y=sinx</math> funksiyaga nisbatan teskari funksiya <math>y=arcsinx</math> kabi belgilanadi

Shunga oʻxshash <math>y=cosx, y=tgx, y=ctgx</math> funksiyalarga nisbatan ts=ekari funksiya mos ravishda <math>y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx</math>, kabi belgilanadi.

Ushbu <math>y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx</math> funksiyalar teskari trigonometrik deyiladi<ref>{{Kitob manbasi|title=Элементар функциялар|year=2010|author=Гулмирза Худойберганов, Азизжон Ворисов|pages=67-70|others=МАТЕМАТИК АНАЛИЗДАН МАЪРУЗАЛАР}}</ref>.

== Manbalar ==
[[Turkum:Differensial algebra]]
[[Turkum:Kompyuter algebra]]
[[Turkum:Funksiyalarning turlari]]