Darajaga koʻtarish sahifasining manbasini koʻrish

{{Belgi bilgiqutisi
| sign                    = {{math|''b''<sup>''n''</sup>}}
| name = izoh
| other names =
| unicode =
| variant1 =
| variant1 caption = ''b'' – asos, ''n'' – daraja
| variant2 =
| variant2 caption =
| image variants =
| image variants caption =
| different from =
| see also =
}}
{{Fan}}
{{Arifmetik operatsiyalar}}
[[File:Expo02.svg|thumb|315px|{{math|1=''y'' = ''b''<sup>''x''</sup>}} grafigida {{math|''b''}}:
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|green solid 2px|[[#10 ning darajalari|10 ning darajalari]],}}}}
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|red solid 2px|[[#Darajali funksiyalar|darajali funksiya]],}}}}
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|blue solid 2px|[[#2 ning darajalari|2 ning darajalari]],}}}}
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|cyan solid 2px|{{math|{{sfrac|1|2}}}} daraja.}}}}
Har bir chiziq {{math|(0, 1)}} nuqtadan oʻtadi. ]]

'''Darajaga koʻtarish''' – [[son]]ni oʻziga bir necha marta [[koʻpaytirish]] natijasida aniqlanadigan [[arifmetika|arifmetik]] [[amal]]<ref name=":1">{{cite web |last=Nykamp |first=Duane |title=Basic rules for exponentiation |website=Math Insight |url=https://mathinsight.org/exponentiation_basic_rules |access-date=August 27, 2020}}</ref><ref>{{kitob manbasi |last1=ҚАЮМОВ Ш |first1=АРЗИҚУЛОВ Ғ.П. |title=ОЛИЙ МАТЕМАТИКА |date=2019 |publisher=ИСЛОМ КАРИМОВ НОМИДАГИ ТОШКЕНТ ДАВЛАТ ТЕХНИКА УНИВЕРСИТЕТИ |location=Toshkent |pages=13 |accessdate=15-dekabr 2024-yil}}</ref>. Darajaga koʻtarilgan ifoda {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} shaklida yoziladi hamda „''b''ning n-darajasi“ deb oʻqiladi. Bunda {{mvar|b}} asos, {{mvar|n}} esa daraja koʻrsatkichi hisoblanadi. Agar ''n'' daraja musbat son boʻlsa, darajaga koʻtarish uchun son oʻziga ''n'' marotaba koʻpaytiriladi. Bu {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} – ''b'' ning ''n'' marotaba koʻpaytirilganiga teng:
<math display="block">b^n = \underbrace{b \times b \times \dots \times b \times b}_{n \text{ marta}}.</math>Bunda, <math>b^1=b</math>.

Daraja koʻrsatkichi asosning oʻng tomonida koʻrsatiladi. Shuningdek, bu fanda „''n'' darajaga koʻtarilgan ''b'' soni“, „''b''ning ''n''-darajasi“ sifatida ataladi.

Darajalarning koʻpaytirilishi quyidagi tartibda amalga oshiriladi:
<math display="block">\begin{align}
b^n \times b^m & = \underbrace{b \times \dots \times b}_{n \text{ marta}} \times \underbrace{b \times \dots \times b}_{m \text{ marta}} \\[1ex]
& = \underbrace{b \times \dots \times b}_{n+m \text{ marta}} \ =\ b^{n+m} .
\end{align}</math>
Bunda darajalar oʻzaro koʻpaytirilganda daraja koʻrsatkichlari qoʻshiladi. Qoʻshiluvchi daraja koʻrsatkichi 0 ga teng boʻlganda, yigʻindi 2-qoʻshiluvchi daraja koʻrsatkichiga teng boʻladi: <math>b^0 \times b^n = b^{0+n} = b^n</math>.

Biroq, daraja koʻrsatkichi manfiy boʻlgan hollarda darajaga koʻtarish quyidagicha amalga oshiriladi:
<math display="block">b^{-n} = 1/b^n.</math>

Shuningdek, qoʻshiluvchi daraja koʻrsatkichlardan biri manfiy hamda biri musbat boʻlgan hollarda yigʻindi manfiy va musbat sonlarni qoʻshish qoidasiga muvofiq amalga oshiriladi:
<math>b^{-n} \times b^n = b^{-n+n} = b^0 = 1 </math>

Daraja koʻrsatkichi kasr boʻlgan sonlar darajaga quyidagi tartibda koʻtariladi:
<math display="block">b^{n/m} = \sqrt[m]{b^n}.</math>
Misol uchun, <math> b^{1/2} \times b^{1/2} = b^{1/2 \,+\, 1/2} = b^1 = b  </math> ifodasida ''b'' ning qiymati <math> (b^{1/2})^2 </math> hisoblanadi.

[[Muavr formulasi]] orqali ham kompleks sonni darajaga koʻtarish mumkin.

Darajaga koʻtarish turli sohalarda keng qoʻllanadi, jumladan, [[iqtisodiyot]], [[biologiya]], [[kimyo]], [[fizika]], [[informatika]], [[kimyoviy reaksiya]]larning kinetik tezliklarini hisoblash sohalari.
== Etimologiyasi ==
„Darajaga koʻtarish“ atamasi [[lotin tili]]da ''exponent'' deb ataladi. Bu soʻz ''exponentem'' feʼlining hozirgi zamon shakli hisoblanib, oʻzbek tilida „oldinga qoʻymoq“ deya tarjima qilinadi<ref>{{yangiliklar manbasi |title=exponent (n.) |url=https://www.etymonline.com/word/exponent |accessdate=16-dekabr 2024-yil |agency=etymonline.com}}</ref>. „Daraja“ atamasi esa, lotin tilida ''dignitas'' deya nomlanadi<ref name="Rotman">{{cite book |last=Rotman |first=Joseph J. |author-link=Joseph J. Rotman |date=2015 |title=Advanced Modern Algebra, Part 1 |location=Providence, RI |publisher=[[American Mathematical Society]] |at=p. 130, fn. 4 |isbn=978-1-4704-1554-9 |edition=3rd |series=[[Graduate Studies in Mathematics]] |volume=165 |url=https://www.ams.org/books/gsm/165/04 |url-access=subscription}}</ref><ref>{{cite book |last=Szabó |first=Árpád |date=1978 |title=The Beginnings of Greek Mathematics |location=Dordrecht |publisher=[[D. Reidel]] |page=[https://archive.org/details/TheBeginningsOfGreekMathematics/page/n37 37] |isbn=90-277-0819-3 |series=Synthese Historical Library |volume=17 |translator=A.M. Ungar |url=https://archive.org/details/TheBeginningsOfGreekMathematics}}</ref>. Bu soʻz [[yunoncha]] ''dúnamis'' soʻzidan olingan boʻlib, „kuchaytirish“ degan maʼnoni anglatadi. Darajaga koʻtarish atamasi, ilk bor yunon matematigi [[Yevklid]] tomonidan [[chiziqli tenglama]]ni ifodalashda qoʻllanilgan<ref>{{cite book |last=Ball |first=W. W. Rouse |author-link=W. W. Rouse Ball |date=1915 |title=A Short Account of the History of Mathematics |location=London |publisher=[[Macmillan Publishers|Macmillan]] |page=[https://archive.org/details/shortaccountofhi00ballrich/page/38 38] |edition=6th |url=https://archive.org/details/shortaccountofhi00ballrich}}</ref>.

== Tarixi ==
=== Antik davr ===
==== The Sand Reckoner ====
Qadimgi [[yunon]] [[olim]]i [[Arximed]] „The Sand Reckoner“ asarida 10 ning darajalariga oid {{math|1=10<sup>''a''</sup> · 10<sup>''b''</sup> = 10<sup>''a''+''b''</sup>}} qonuniyat isbotlagan<ref>
Archimedes. (2009). THE SAND-RECKONER. In T. Heath (Ed.), The Works of Archimedes: Edited in Modern Notation with Introductory Chapters (Cambridge Library Collection – Mathematics, pp. 229-232). Cambridge: Cambridge University Press. </ref>. Arximed olamdagi barcha qum zarralarining umumiy hisobini topishda 10 sonini darajaga koʻtarish orqali topgan.
=== Islom oltin davri ===

==== ''Māl'' va ''kaʼbah'' („kvadrat“ va „kub“) ====
[[IX asr]]da [[Oʻrta Osiyo]] qomusiy olimi [[Al-Xorazmiy]]<ref>{{jurnal manbasi |last1=Нуралиев Ф.М., Анарова Ш.А |title=Муҳаммад ал - Хоразмий асарлари, алгоритм тушунчаси ва алгоритмлаш назарияси асослари |journal=Мухаммад ал-Хоразмий авлодлари |date=2019 |pages=6 |url=http://uzscite.uz/wp-content/uploads/2020/04/117-122.pdf}}</ref> sonning 2-darajasi [[kvadrat]] uchun مَال (''māl'', „mol-mulk“) hamda sonning 3-darajasi boʻlgan [[kub]] uchun كَعْبَة (''[[Kaaba|kaʿbah]]'', „kub“) atamalarini fanga kiritgan. [[Musulmonlar]] uchun oʻsha davrda yer maydonlarini oʻlchashda kvadratning oʻrni muhim boʻlgan. XV asrlarda Abu’l-Hasan ibn Ali al-Qalasadi asarlarida kvadratni ''mīm'' (m) tarzida hamda kubni esa, ''kāf'' (k) tarzida ifodalashgan<ref>{{MacTutor|id=Al-Qalasadi|title= Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi}}</ref>.

=== XV—XVIII asrlar ===
==== Darajalarning ifodalanishi ====
XV asrlarda oʻrta asrlar [[fransuz]] [[matematik|matematigi]] Nicolas Chuquet oʻz asarlarida darajalarga koʻtarishni koʻrsatkichlar bilan ifodalagan. Masalan, {{math|12<sup>2</sup>}}ni {{math|12''x''<sup>2</sup>}} sifatida belgilagan<ref>{{cite book |last=Cajori |first=Florian |title=A History of Mathematical Notations |date=1928 |publisher=The Open Court Company |volume=1 |page=102 |url=https://archive.org/details/historyofmathema031756mbp}}</ref>. Daraja koʻrsatkichlarini bu koʻrinishda ifodalash XVI asrlarda Henricus Grammateus va Michael Stifel tomonidan ham amalga oshirilgan. XVI asr oxirlarida shved matematigi Jost Bürgi sonlarni darajaga koʻtarishda {{math|4''x''<sup>3</sup>}}ni
4 sonining ustida 3 ta ''iii'' harflarini qoʻyish orqali ifodalagan<ref name="cajori">{{cite book |last=Cajori |first=Florian |author-link=Florian Cajori |date=1928 |title=A History of Mathematical Notations |location=London |publisher=[[Open Court Publishing Company]] |page=[https://archive.org/details/historyofmathema031756mbp/page/n363 344] |volume=1 |url=https://archive.org/details/historyofmathema031756mbp}}</ref>.
==== Darajalar ====
„Daraja“ atamasi ilk marotaba 1544-yilda Michael Stifel tomonidan qoʻllanilgan<ref>{{cite web|url=https://jeff560.tripod.com/e.html|title=Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (E)|date=June 23, 2017}}</ref><ref>{{cite book |last=Stifel |first=Michael |author-link=Michael Stifel |date=1544 |title=Arithmetica integra |location=Nuremberg |publisher=Johannes Petreius|page=235v |url=https://archive.org/details/bub_gb_fndPsRv08R0C/page/n491}}</ref>. XVI asrda matematik Robert Recorde asarlarida kvadrat, kub atamalaridan tashqari zenzizenzik (4-daraja), sursolid (5-daraja), zenzikub (6-daraja), ikkinchi sursolid (7-daraja) va zenzizenzizenzik (8-daraja) atamalaridan ham foydalangan<ref name="worldwidewords">{{cite web |title=Zenzizenzizenzic |publisher=World Wide Words |last=Quinion |first=Michael |author-link=Michael Quinion |url=https://www.worldwidewords.org/weirdwords/ww-zen1.htm |access-date=2020-04-16}}</ref>.
==== Hozirgi darajalarning ifodalanishi ====
1636-yilda [[matematik]] [[James Hume]] „L’algèbre de Viète“ asarida {{math|''A''<sup>3</sup>}}ni {{math|''A''<sup>iii</sup>}} sifatida ifodalagani hozirgi daraja koʻrsatkichining shakli uchun muhim rol oʻynagan. Dastlab, daraja koʻrsatkichi [[Rim raqamlari]]da ifodalangan, keyinchalik esa, [[XVII asr]]ning boshlarida [[fransuz]] [[matematik|matematigi]] [[René Descartes]] tomonidan „La Geométrie“ kitobida daraja koʻrsatkichlari Rim raqamidan [[Arab raqamlari]]ga oʻzgartirilgan. Olim bu haqida shunday degan<ref>{{cite book |last=Descartes |first=René |author-link=René Descartes |date=1637 |title=Discourse de la méthode [...] |location=Leiden |publisher=Jan Maire |page=299 |chapter=''[[La Géométrie]]'' |url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b86069594/f383.image |quote=Et ''aa'', ou {{math|''a''<sup>2</sup>}}, pour multiplier {{math|''a''}} par soy mesme; Et {{math|''a''<sup>3</sup>}}, pour le multiplier encore une fois par {{math|''a''}}, & ainsi a l’infini}} (And {{math|''aa''}}, or {{math|''a''<sup>2</sup>}}, in order to multiply {{math|''a''}} by itself; and {{math|''a''<sup>3</sup>}}, in order to multiply it once more by {{math|''a''}}, and thus to infinity).</ref>:
{{cquote|Men {{math|''a''}} sonini oʻz-oʻziga koʻpaytirishda ''aa'' yoki {{math|''a''<sup>2</sup>}} sifatida belgiladim va son 3 marta koʻpaytirilsa daraja yoniga yana bir son qoʻshiladi va davom etadi… }}
=== XX asr ===
[[XX asr]]da hisoblash jarayoni mexanizatsiyalashtirilgani sababli, darajalarni yozish qulayroq shaklda yozishga eʼtibor qaratildi. 1938-yilda [[nemis]] [[muhandis]]i [[Konrad Zuse]] tomonidan oʻzining Z1 kompyuteri yordamida qo‘zg‘aluvchan nuqta arifmetikasi ishlab chiqildi. Bunga koʻra, jadvalning 1-katakchasida sonning asosi hamda 2-katakchasida esa, 10 sonining darajasi yozilgan. 1946-yilda qo‘zg‘aluvchan nuqta arifmetikasiga asoslangan tizim Bell Labaratories kompyuterlariga oʻrnatilgan<ref>Janet Shiver & Terri Wiilard "[https://www.visionlearning.com/en/library/Math-in-Science/62/Scientific-Notation/250 Scientific notation: working with orders of magnitude] from Visionlearning</ref>.

== Terminologiyasi ==
{{math|1=''b''<sup>2</sup> = ''b'' · ''b''}} ifodasi „b kvadrat“ deya nomlanadi<ref group="sharh">''b''ning 2-darajasi deb aytsa ham boʻladi, biroq ''b kvadrat'' shakli keng ommalashgan.</ref>. Bunday nomlanishiga sabab, tomoni ''b''ga teng boʻlgan kvadratning yuzi {{math|''b''<sup>2</sup>}}ga teng boʻladi.

{{math|1=''b''<sup>3</sup> = ''b'' · ''b'' · ''b''}} ifodasi „b kub“ deb nomlanadi<ref group="sharh">''b''ning 3-darajasi deb aytsa ham boʻladi, biroq ''b kub'' shakli keng ommalashgan.</ref>. Bunday nomlanishiga sabab, tomoni ''b''ga teng boʻlgan kubning hajmi {{math|''b''<sup>3</sup>}}ga teng boʻladi.

Daraja koʻrsatkichi musbat son boʻlsa, koʻrsatkichning qiymati asosning oʻz-oʻziga necha marotaba koʻpaytirilganini bildiradi. Masalan, {{math|1=3<sup>5</sup> = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243}} ifodasida asosi oʻz-oʻziga 5 marotaba koʻpaytirilgan, chunki darajaning koʻrsatkichi 5 ga teng. Bu ifodada, {{math|243}} soni ''3 ning 5-darajasi'' hisoblanadi.

Ayrim hollarda ifodani oʻqishda ''darajasi'' soʻzi tushirilib qoldiriladi<ref>{{yangiliklar manbasi |title=Exponentiation |url=https://www.cuemath.com/numbers/exponentiation/ |accessdate=16-dekabr 2024-yil |agency=https://www.cuemath.com/}}</ref>. Misol uchun, {{math|3<sup>5</sup>}} ifodasi qisqa qilib ''3ning 5-si'' tarzida oʻqiladi.

== Butun sonli darajalar ==
Daraja koʻrsatkichi butun boʻlgan sonlarni darajaga koʻtarish amalini elementar matematik bilimlar orqali amalga oshirish mumkin.
=== Musbat darajalar ===
[[Induksiya (matematika)|Induksiya]] yordamida [[musbat sonlar|musbat]] darajali sonlarni darajaga koʻtarishni quyidagi tartibda amalga oshirish mumkin<ref>{{cite book |title=Abstract Algebra: an inquiry based approach |last1=Hodge |first1=Jonathan K. |last2=Schlicker |first2=Steven |last3=Sundstorm |first3=Ted |page=94 |date=2014 |publisher=CRC Press |isbn=978-1-4665-6706-1 |url=https://books.google.com/books?id=qToTAgAAQBAJ&pg=PA94}}</ref>:
: <math>b^1 = b</math>
[[Rekursiya]] qilinganda esa: <math>b^{n+1} = b^n \cdot b.</math>

Koʻpaytirishning assotsiativligiga koʻra, {{mvar|m}} va {{mvar|n}} ixtiyoriy sonlar boʻlishi mumkin:
: <math>b^{m+n} = b^m \cdot b^n,</math>
va
: <math>(b^m)^n=b^{mn}.</math>

=== Nol darajalar ===
Har qanday sonning 0 darajasi 1 ga teng<ref>{{cite book |title=Technical Shop Mathematics |last1=Achatz |first1=Thomas |page=101 |date=2005 |edition=3rd |publisher=Industrial Press |isbn=978-0-8311-3086-2 |url=https://books.google.com/books?id=YOdtemSmzQQC&pg=PA101}}</ref><ref name=":1"/>.
: <math>b^0=1.</math>
=== Manfiy darajalar ===
Daraja koʻrsatkichi manfiy boʻlgan ifoda quyidagicha aniqlanadi:
: <math>b^{-n} = \frac{1}{b^n}</math><ref name=":1"/><ref>{{cite book
 | last = Knobloch | first = Eberhard | author-link = Eberhard Knobloch
 | editor1 = Kostas Gavroglu |editor2=Jean Christianidis |editor3=Efthymios Nicolaidis
 | contribution = The infinite in Leibniz’s mathematics – The historiographical method of comprehension in context
 | doi = 10.1007/978-94-017-3596-4_20
 | isbn = 9789401735964
 | publisher = Springer Netherlands
 | series = Boston Studies in the Philosophy of Science
 | title = Trends in the Historiography of Science
 | year = 1994
 | volume = 151 |page = 276
 |quote=A positive power of zero is infinitely small, a negative power of zero is infinite.}}</ref>
Bunda, {{mvar|n}} – ixtiyoriy son, {{mvar|b}} – noldan farq qiluvchi ixtiyoriy son.
=== Ayniyatlar ===
Quyidagi [[ayniyat]]lar „darajalar qonuniyatlari“ deb ataladi hamda barcha daraja koʻrsatkichi butun son boʻlgan ifodalar uchun tegishli hisoblanadi<ref name=":1"/>:
: <math>\begin{align}
           b^m \cdot b^n &= b^{m + n} \\
  \left(b^m\right)^n &= b^{m \cdot n} \\
       b^n \cdot c^n &= (b \cdot c)^n
\end{align}</math>

[[Qoʻshish]] va [[koʻpaytirish]] amallarida qoʻshiluvchilar yoki koʻpayuvchilarni oʻrnini almashtirsa ham natija oʻzgarmaydi. Biroq, daraja koʻrsatkichlari hamda asosning oʻrni almashtirilsa oʻzaro natijalar bir-biridan farq qiladi. Masalan, <math>2^3 = 8</math>, ammo oʻrin almashtirilsa, ifoda <math>3^2=9</math> holatiga keladi.
=== Darajalar yigʻindisi ===
Odatda, darajalar yigʻindisi [[Nyuton binomi]]dan foydalanilgan holda hisoblanadi<ref>{{veb manbasi |title=Power Sum |url=https://mathworld.wolfram.com/PowerSum.html |website=mathworld.wolfram.com |accessdate=16-dekabr 2024-yil}}</ref>:
: <math>(a+b)^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i}=\sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!}a^ib^{n-i}.</math>

=== Kombinatorik roʻyxat ===
Kombinatorik roʻyxatda {{mvar|n}} toʻplamdan {{mvar|m}} toʻplamgacha boʻlgan funksiyalarning soni keltirilgan. Bunda, {{mvar|n}} hamda {{mvar|m}} – manfiy boʻlmagan sonlar hisoblanadi. {{mvar|m}} va {{mvar|n}} ning alohida qiymatlari uchun baʼzi misollar quyidagi jadvalda keltirilgan<ref>{{yangiliklar manbasi |last1=Michael Z. Spivey |title=A Combinatorial View of Sums of Powers |url=https://mathcs.pugetsound.edu/~mspivey/PowerSumsCombo.pdf |accessdate=16-dekabr 2024-yil |agency=https://mathcs.pugetsound.edu/ |date=05.20.2021}}</ref>:

{| class="wikitable"
!{{math|''n''<sup>''m''</sup>}}
!{1, …, n} toʻplamidagi {{math|''n''<sup>''m''</sup>}} qiymatlari
|-
|0{{sup|5}} = 0
|mavjud emas
|-
|1{{sup|4}} = 1
|(1, 1, 1, 1)
|-
|2{{sup|3}} = 8
|(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)
|-
|3{{sup|2}} = 9
|(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)
|-
|4{{sup|1}} = 4
|(1), (2), (3), (4)
|-
|5{{sup|0}} = 1
|()
|}

=== Maxsus asoslar ===
==== 10 ning darajalari ====
[[Oʻnlik sanoq sistemasi]]dagi 10 ning butun darajalari 1 raqamidan keyin yoki oldidan 0 raqamlarining ifodalanishi 10 ning darajalari hisoblanadi. Misol uchun, {{math|1={{val|e=3}} = {{val|1000}}}}, {{math|1={{val|e=-4}} = {{val|0.0001}}}}.

Asosi 10 soni boʻlgan 10 ning darajalari fanda keng qoʻllaniladi. Masalan, {{val|299792458|u=m/s}} qiymati ([[vakuum]]dagi [[yorugʻlik tezligi]]) {{val|2.99792458|e=8|u=m/s}} sifatida yozilishi ham mumkin. Taqriban esa, {{val|2.998|e=8|u=m/s}} shaklida 10 ning darajasi hisobiga qisqartirib, qulay holatda qoʻllaniladi.

[[Xalqaro birliklar tizimi]] ham 10 ning darajalariga asoslangan. Misol uchun, [[Kilo...|kilo]] old qoʻshimchasi {{math|1={{val|e=3}} = {{val|1000}}}} maʼnosini bildiradi<ref>{{yangiliklar manbasi |title=Kilo |url=https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/kilo |accessdate=14-dekabr 2024-yil |agency=dictionary.cambridge.org}}</ref>.
==== {{math|2}} ning darajalari ====
<math>2^{-1}</math> ifodasi yarim, <math>2^{-2}</math> ifodasi esa chorak deb ataladi. Kompyuter sohasida {{math|2}} ning darajalarining roli muhim hisoblanadi. Baytlar 2 ning darajalaridan foydalanib ifodalanadi. Masalan, {{math|1=2<sup>8</sup> = 256}}. Ikkilik sanoq tizimida har qanday sonni 2 ning darajalari yigʻindisi sifatida ifodalash mumkin<ref>{{cite book |title=Schaum's Outline of Theory and Problems of Essential Computer Mathematics |url=https://archive.org/details/schaumsoutlineof0000lips_b9v3 |first=Seymour |last=Lipschutz |year=1982 |isbn=0-07-037990-4 |page=[https://archive.org/details/schaumsoutlineof0000lips_b9v3/page/n12 3] |publisher=McGraw-Hill |location=New York}}</ref><ref>{{cite book |title=Mathematics Masterclasses |first=Michael J. |last=Sewell |year=1997 |isbn=0-19-851494-8 |page=[https://archive.org/details/mathematicsmaste0000unse/page/78 78] |publisher=Oxford University Press |location=Oxford |url=https://archive.org/details/mathematicsmaste0000unse/page/78 }}</ref>.
==== {{math|1}} ning darajalari ====
{{math|1}}ning har qanday darajasi 1 ga teng<ref>{{yangiliklar manbasi |title=Basic rules for exponentiation |url=https://mathinsight.org/exponentiation_basic_rules |accessdate=14-dekabr 2024-yil |agency=mathinsight.org}}</ref>:{{math|1=1<sup>''n''</sup> = 1}}.
==== −1 ning darajalari ====
Manfiy sonni boshqa bir manfiy songa koʻpaytirilsa, natija musbat son boʻladi<ref>{{yangiliklar manbasi |title=Negative Exponents |url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Algebra/Elementary_Algebra_(Arnold)/07%3A_Rational_Expressions/7.01%3A_Negative_Exponents |accessdate=16-dekabr 2024-yil |agency=math.libretexts.org}}</ref>:
<blockquote><math>(-1)^n = \left\{\begin{array}{rl} 
1 & \text{juft } n, \\
-1 & \text{toq } n. \\
\end{array}\right.</math></blockquote>

=== Darajali funksiyalar ===


[[File:Potenssi 2 4 6.svg|thumb|Juft darajali funksiyalar {{math|1=''n'' = 2, 4, 6}}]]
<math>f(x) = cx^n</math> shaklidagi funksiyalar „darajali funksiyalar“ deb ataladi<ref>{{cite book |last1=Hass |first1=Joel R. |last2=Heil |first2=Christopher E. |last3=Weir |first3=Maurice D. |last4=Thomas |first4=George B. |title=Thomas' Calculus |date=2018 |publisher=Pearson |isbn=9780134439020 |pages=7–8 |edition=14}}</ref>. Bunda <math>c \ne 0</math> boʻlishi lozim. Darajali funksiyalar 2 turga boʻlinadi, toq darajali funksiyalar hamda juft darajali funksiyalar. Juft darajali funksiyalar (<math>f(-x)= -f(x)</math>) shaklida belgilash ham mumkin.
==== Oʻngacha boʻlgan musbat sonlarning daraja qiymatlari ====
{|class="wikitable" style="text-align:right"
! ''n'' !! ''n''<sup>2</sup> !! ''n''<sup>3</sup> !! ''n''<sup>4</sup> !! ''n''<sup>5</sup> !! ''n''<sup>6</sup> !! ''n''<sup>7</sup> !! ''n''<sup>8</sup> !! ''n''<sup>9</sup> !! ''n''<sup>10</sup>
|-
|'''1''' || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1
|-
|'''2''' || 4 || 8 || 16 || 32 || 64 || 128 || 256 || 512 || 1024
|-
|'''3''' || 9 || 27 || 81 || 243 || 729 || {{val|2,187|fmt=gaps}} || {{val|6,561|fmt=gaps}} || {{val|19,683}} || {{val|59,049}}
|-
|'''4''' || 16 || 64 || 256 || {{val|1024|fmt=gaps}} || {{val|4,096|fmt=gaps}} || {{val|16,384}} || {{val|65,536}} || {{val|262,144}} || {{val|1,048,576}}
|-
|'''5''' || 25 || 125 || 625 || {{val|3,125|fmt=gaps}} || {{val|15,625}} || {{val|78,125}} || {{val|390,625}} || {{val|1,953,125}} || {{val|9,765,625}}
|-
|'''6''' || 36 || 216 || {{val|1,296|fmt=gaps}} || {{val|7,776|fmt=gaps}} || {{val|46,656}} || {{val|279,936}} || {{val|1,679,616}} || {{val|10,077,696}} || {{val|60,466,176}}
|-
|'''7''' || 49 || 343 || {{val|2,401|fmt=gaps}} || {{val|16,807}} || {{val|117,649}} || {{val|823,543}} || {{val|5,764,801}} || {{val|40,353,607}} || {{val|282,475,249}}
|-
|'''8''' || 64 || 512 || {{val|4,096|fmt=gaps}} || {{val|32,768}} || {{val|262,144}} || {{val|2,097,152}} || {{val|16,777,216}} || {{val|134,217,728}} || {{val|1,073,741,824}}
|-
|'''9''' || 81 || 729 || {{val|6,561|fmt=gaps}} || {{val|59,049}} || {{val|531,441}} || {{val|4,782,969}} || {{val|43,046,721}} || {{val|387,420,489}} || {{val|3,486,784,401}}
|-
|'''10''' || 100 || {{val|1,000|fmt=gaps}} || {{val|10,000}} || {{val|100,000}} || {{val|1,000,000}} || {{val|10,000,000}} || {{val|100,000,000}} || {{val|1,000,000,000}} || {{val|10,000,000,000}}
|}

== Ratsional darajalar ==
[[File:Mplwp roots 01.svg|right|thumb|300px|Tepadan pastga: {{math|''x''<sup>1/8</sup>}}, {{math|''x''<sup>1/4</sup>}}, {{math|''x''<sup>1/2</sup>}}, {{math|''x''<sup>1</sup>}}, {{math|''x''<sup>2</sup>}}, {{math|''x''<sup>4</sup>}}, {{math|''x''<sup>8</sup>}}.]]
Agar {{mvar|x}} nomanfiy butun son boʻlsa, {{mvar|n}} musbat butun son boʻlsa, <math>x^{1/n}</math> yoki <math>\sqrt[n]x</math> haqiqiy ildiz hisoblanadi. {{mvar|y}}ning qiymati esa musbat boʻladi<ref>{{kitob manbasi |last1=Б.И.Исломов |first1=П.И.Шарипова |title=АЛГEБРА, МАТEМАТИКА |date=16.12.2003 |publisher=Тошкент молия институти қошидаги "Солиқ ва молия" лицейи |pages=58}}</ref>.

Agar {{mvar|x}} musbat butun son boʻlsa, <math>\frac pq</math> [[Ratsional sonlar|ratsional son]] hamda {{mvar|p}} va {{mvar|q > 0}}ga teng boʻlsa, <math display="inline">x^{p/q}</math> quyidagicha aniqlanadi:
: <math>x^\frac pq= \left(x^p\right)^\frac 1q=(x^\frac 1q)^p.</math>

Oʻng tomondagi <math>y=x^\frac 1q</math> tengligini quyidagicha yozish mumkin:
<math>(x^\frac 1q)^p=y^p=\left((y^p)^q\right)^\frac 1q=\left((y^q)^p\right)^\frac 1q=(x^p)^\frac 1q.</math>

Agar {{mvar|r}} musbat ratsional son boʻlsa, unda {{math|1=0<sup>''r''</sup> = 0}} boʻladi.

Boshqa tomondan, bu taʼriflarni musbat haqiqiy son boʻlmagan asoslar bilan bogʻliq muammolar mavjud. Masalan, manfiy haqiqiy sonning haqiqiy n-darajali ildizi, n toq boʻlganda manfiy boʻladi, n juft boʻlganda esa haqiqiy ildizi boʻlmaydi. Shuningdek, <math>x^\frac 1n,</math> uchun har qanday n-ildiz tanlansa ham, <math>(x^a)^b=x^{ab}</math> ayniyatni qanoatlantirib boʻlmaydi<ref>{{yangiliklar manbasi |title=Radicals and rational exponents |url=https://www.khanacademy.org/test-prep/v2-sat-math/x0fcc98a58ba3bea7:advanced-math-easier/x0fcc98a58ba3bea7:radicals-and-rational-exponents-easier/a/v2-sat-lesson-radicals-and-rational-exponents |accessdate=16-dekabr 2024-yil |agency=https://www.khanacademy.org/}}</ref>:
: <math>\left((-1)^2\right)^\frac 12 = 1^\frac 12= 1\neq (-1)^{2\cdot\frac 12} =(-1)^1=-1.</math>

== Haqiqiy darajalar ==
[[Musbat sonlar|Musbat]] [[haqiqiy sonlar]] uchun haqiqiy darajalar koʻrsatkichni ikki usulda, ratsional hamda asos [[logarifm]]i hamda uning [[koʻrsatkichli funksiya]]si orqali aniqlash mumkin. [[Funksiya]] natijasi doim musbat son boʻladi<ref>{{kitob manbasi |last1=N.MJabborov, E.O.Aliqulov, Q.S.Axmedova |title=Oliy matematika |date=2010 |publisher=Qarshi davlat universiteti |location=Qarshi |pages=14}}</ref>.

Manfiy haqiqiy sonning darajaga koʻtarish oson jarayon emas, chunki darajaga koʻtarilganda natija haqiqiy son boʻlmasligi yoki bir necha qiymatlarga ega boʻlishi mumkin. Biroq, quyidagi ayniyat qiymatni aniqlashga yordam beradi:
: <math>\left(b^r\right)^s = b^{r s}</math>

Shu sababli, musbat haqiqiy son boʻlmagan asosni darajaga koʻtarishni [[koʻp qiymatli funksiya]] deb ham ataladi<ref>{{yangiliklar manbasi |title=Real Exponents |url=https://ccrma.stanford.edu/~jos/dft/Real_Exponents.html |accessdate=16-dekabr 2024-yil |agency=Stanford University}}</ref>.
=== Ratsional darajalarning limitlari ===
Har qanday [[Irratsional sonlar|irratsional son]] ratsional sonlar ketma-ketligining limiti sifatida ifodalanishi mumkin. Quyidagi [[ayniyat]]da {{mvar|x}} ixtiyoriy haqiqiy daraja koʻrsatkichi, {{mvar|b}} esa, ixtiyoriy haqiqiy son<ref name="Denlinger">{{cite book |title=Elements of Real Analysis |url=https://archive.org/details/elementsofrealan0000denl |last=Denlinger |first=Charles G. |publisher=Jones and Bartlett |date=2011 |pages=[https://archive.org/details/elementsofrealan0000denl/page/n311 278]–283 |isbn=978-0-7637-7947-4}}</ref>:
: <math> b^x = \lim_{r (\in \mathbb{Q}) \to x} b^r \quad (b \in \mathbb{R}^+,\, x \in \mathbb{R}),</math>
Bunda, {{mvar|r}} ratsional son qiymatlariga teng hisoblanadi<ref name="Denlinger">{{cite book |title=Elements of Real Analysis |url=https://archive.org/details/elementsofrealan0000denl |last=Denlinger |first=Charles G. |publisher=Jones and Bartlett |date=2011 |pages=[https://archive.org/details/elementsofrealan0000denl/page/n311 278]–283 |isbn=978-0-7637-7947-4}}</ref>.

Masalan, agar {{math|1=''x'' = {{pi}}}} boʻlsa, [[π]] qiymati {{math|1=''π'' = 3.14159...}} ratsional darajalarning monotonligi hamda chegaralangan intervallar orqali ifodalash mumkin<ref>{{cite book |chapter=Limits of sequences |chapter-url={{Google books |ecTsDAAAQBAJ |page=154 |plainurl=yes}} |title=Analysis I |series=Texts and Readings in Mathematics |year=2016 |last1=Tao |first1=Terence |volume=37 |pages=126–154 |isbn=978-981-10-1789-6 |doi=10.1007/978-981-10-1789-6_6}}</ref>:
<math>b^\pi:</math>
: <math>\left[b^3, b^4\right], \left[b^{3.1}, b^{3.2}\right], \left[b^{3.14}, b^{3.15}\right], \left[b^{3.141}, b^{3.142}\right], \left[b^{3.1415}, b^{3.1416}\right], \left[b^{3.14159}, b^{3.14160}\right], \ldots</math>
Bunda, intervallarning yuqori va quyi chegaralari bir xil limitga ega boʻlgan ikkita ketma-ketlikni hosil qiladi. Bu limit <math>b^\pi.</math> bilan belgilanadi.
=== Koʻrsatkichli funksiya ===
{{main|Koʻrsatkichli funksiya}}
Koʻrsatkichli funksiyani qisqacha qilib <math>x\mapsto e^x,</math> shaklida yozish mumkin<ref>{{Cite web|title=Exponential Function Reference|url=https://www.mathsisfun.com/sets/function-exponential.html|access-date=2020-08-28|website=www.mathsisfun.com}}</ref>. Bu yerda, <math>e\approx 2.718</math> „Eyler soni“ hisoblanadi. <math>\exp(x),</math> koʻrsatkichli funksiyaning <math>e=\exp(1)</math> qiymati quyidagicha:
<math>\exp(x)=e^x.</math>.

Koʻrsatkichli funksiyani aniqlashning koʻplab usullari mavjud boʻlib, ulardan biri shunday:
: <math>\exp(x) = \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n.</math>

Boshqa holatda, <math>\exp(0)=1,</math>, <math>\exp(x)\exp(y)=\exp(x+y)</math> boʻlganida, bu usul ham oʻrinli hisoblanadi:
: <math>\exp(x)\exp(y) = \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n\left(1 + \frac{y}{n}\right)^n = \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1 + \frac{x+y}{n} + \frac{xy}{n^2}\right)^n,</math>
=== Logarifmik darajalar ===
{{math|''e''<sup>''x''</sup>}}ni koʻrsatkichli funksiya sifatida har qanday musbat haqiqiy {{mvar|b}} soni uchun {{math|''b''<sup>''x''</sup>}}ni logarifmik funksiyalar orqali ifodalash mumkin. [[Natural logarifm]] {{math|ln(''x'')}} , koʻrsatkichli funksiya {{math|''e''<sup>''x''</sup>}}ning teskari funksiyasi ekanligidan kelib chiqib, quyidagi tenglik oʻrinli hisoblanadi<ref>{{yangiliklar manbasi |title=Using the Power Rule for Logarithms |url=https://learn.saylor.org/mod/book/view.php?id=54149&chapterid=39366 |accessdate=16-dekabr 2024-yil |agency=Saylor Academy}}</ref>:
: <math>b = \exp(\ln b)=e^{\ln b}</math>
bunda, {{math|''b'' > 0}}.
: <math>b^x=\left(e^{\ln b} \right)^x = e^{x \ln b}</math>

== Musbat asosli murakkab darajalar ==
Agar {{mvar|b}} asos musbat haqiqiy son boʻlsa, {{mvar|z}} kompleks koʻrsatkichli daraja boʻlsa, daraja koʻrsatkichi koʻrsatkichli funksiya yordamida aniqlanadi<ref>{{yangiliklar manbasi |title=6. The complex exponential |url=https://math.mit.edu/classes/18.03/sup/sup6.pdf |accessdate=16-dekabr 2024-yil |agency=MIT Mathematics}}</ref>.
: <math>b^z = e^{(z\ln b)},</math>
Bunda, <math>\ln b</math> [[natural logarifm]]ni bildiradi.

Quyidagi tenglik ayniyatni qanoatlantiradi:
: <math>b^{z+t} = b^z b^t,</math>

[[Euler formulalari]]ga koʻra tenglik oʻrinli hisoblanadi:
: <math>e^{iy} = \cos y + i \sin y,</math>

== Kompleks sonlarning butun boʻlmagan darajalari ==
=== Kompleks sonlarning n ildizlari ===
Har qanday [[nol]]ga teng boʻlmagan [[Kompleks sonlar|kompleks son]] quyidagicha yozilishi mumkin<ref>{{kitob manbasi |last1=Muhammedov |first1=Karim |title=Elementar matematikadan qo'llanma |date=1976 |publisher="O'qituvchi" nashriyoti |location=Toshkent |pages=94 |edition=SSSR Oliy va maxsus o'rta ta'lim ministrligi}}</ref><ref>{{yangiliklar manbasi |title=Lecture 39 |url=https://cs.uwaterloo.ca/~cbruni/pdfs/Math135SeptDec2015/Lecture39Typed.pdf |accessdate=16-dekabr 2024-yil |agency=University of Waterloo}}</ref>:
: <math>z=\rho e^{i\theta}=\rho(\cos \theta +i \sin \theta),</math>
Bunda, <math>\rho</math> – {{mvar|z}}ning mutlaq qiymati, <math>\theta</math> esa argumentdir.

Ikki kompleks sonning koʻpaytmasi mutlaq qiymatlarni koʻpaytirish va argumentlarni qoʻshish orqali topiladi. Shuningdek, kompleks sonning {{mvar|n}}-ta ildizining mutlaq qiymati esa, argumentni {{mvar|n}} ga boʻlish orqali aniqlanadi:
: <math>\left(\rho e^{i\theta}\right)^\frac 1n=\sqrt[n]\rho \,e^\frac{i\theta}n.</math>

=== Birlikning ildizlari ===
[[File:One3Root.svg|thumb|right|{{math|1}}ning 3 ta 3-darajali ildizlari]]
Birliklarning {{math|n}}-darajali ildizlari deb, {{math|1=''w''<sup>''n''</sup> = 1}} boʻlgan {{mvar|n}} kompleks sonlarga aytiladi. Birliklarning {{math|n}} ta ildizlari matematikaning turli sohalarida qoʻllaniladi<ref>{{kitob manbasi |last1=A. U. Abduhamidov, H. A. Nasimov, U. M . Nosirov, / . H. Husanov |first1=A kadem ik litseylar uchun darslik |title=Algebra va matematik analiz asoslari |date=2007 |publisher="O'qituvchi" nashriyoti |isbn=978-9943-02-072-6 |pages=160}}</ref>.

Birliklarning {{math|n}} ta ildizlari <math>\omega =e^\frac{2\pi i}{n}</math>ning {{math|n}}-darajalari hisoblanadi. Bunda, <math>1=\omega^0=\omega^n, \omega=\omega^1, \omega^2, \omega^{n-1}.</math>

Geometrik jihatdan, birlikning {{math|n}}-ta ildizlari kompleks tekislikdagi birlik doirasida joylashgan boʻlib, doiraning eng markazidagi koʻrsatkich 1 hisoblanadi<ref>{{cite book |title=Introduction to Algorithms |edition=second |author-last1=Cormen |author-first1=Thomas H. |author-last2=Leiserson |author-first2=Charles E. |author-last3=Rivest |author-first3=Ronald L. |author-last4=Stein |author-first4=Clifford |publisher=[[MIT Press]] |date=2001 |isbn=978-0-262-03293-3}} [http://highered.mcgraw-hill.com/sites/0070131511/student_view0/chapter30/glossary.html Online resource] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070930201902/http://highered.mcgraw-hill.com/sites/0070131511/student_view0/chapter30/glossary.html |date=2007-09-30}}.</ref><ref>{{cite book |title=Difference Equations: From Rabbits to Chaos |title-link= Difference Equations: From Rabbits to Chaos |edition=[[Undergraduate Texts in Mathematics]] |author-last1=Cull |author-first1=Paul |author-last2=Flahive |author-first2=Mary |author-link2=Mary Flahive |author-last3=Robson |author-first3=Robby |date=2005 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-23234-8}} Defined on p. 351.</ref>.

=== Kompleks darajaga koʻtarish ===
[[Kompleks sonlar]]ni darajaga koʻtarish bir qancha muammolarni keltirib chiqarishi mumkin. <math DISPLAY=textstyle>z^w</math> ifodasi uchun har qanday kompleks sonni oʻrniga qoʻyib ishlash mumkinligini inobatga olgan holda, biron-bir son qiymat oʻlaroq tanlanadi. Bunday holatda ifodani [[koʻp qiymatli funksiya]] orqali ishlash mumkin boʻladi<ref>{{jurnal manbasi |title=The Exponential Form of a Complex Number |journal=Newcastle University |date=2008 |pages=9 |url=https://www.ncl.ac.uk/webtemplate/ask-assets/external/maths-resources/images/Expo_form_complx_num.pdf}}</ref><ref>{{yangiliklar manbasi |title=Complex Exponentiation |url=https://brilliant.org/wiki/complex-exponentiation/ |accessdate=16-dekabr 2024-yil |agency=brilliant.org}}</ref>.

Barcha holatlarda kompleks [[logarifm]] orqali kompleks darajaga koʻtarishni amalga oshirish mumkin:
: <math>z^w=e^{w\log z},</math>
bu yerda, <math>\log z</math> – kompleks logarifm hisoblanib, funksiyani qanoatlantirish uchun quyidagi tenglikdan foydalanish lozim:
: <math>e^{\log z}=z</math>.
==== Asosiy qiymati ====
<math>z^w</math> murakkab ifodasining qiymati quyidagicha aniqlanadi<ref>{{yangiliklar manbasi |title=8.1: Non-Integer Powers as Multi-Valued Operations |url=https://phys.libretexts.org/Bookshelves/Mathematical_Physics_and_Pedagogy/Complex_Methods_for_the_Sciences_(Chong)/08%3A_Branch_Points_and_Branch_Cuts/8.01%3A_Non-Integer_Powers_as_Multi-Valued_Operations |accessdate=16-dekabr 2024-yil |agency=https://phys.libretexts.org/}}</ref>:
<math>z^w=e^{w\log z},</math>
bunda, <math>\log z</math> – logarifmning asosiy qiymati hisoblanadi.

==== Koʻp qiymatli funksiya ====
{{main|Koʻp qiymatli funksiya}}
Koʻp qiymatli funksiyalar deganda, biror argumentga bir nechta turli qiymatlarni beradigan funksiyalar tushuniladi. Masalan, logarifm funksiyasi koʻp qiymatli, chunki uning argumenti manfiy yoki kompleks sonlar boʻlishi mumkin va har bir argument uchun logarifmning bir nechta qiymatlari mavjud boʻladi<ref>{{yangiliklar manbasi |title=Multivalued Function |url=https://mathworld.wolfram.com/MultivaluedFunction.html |accessdate=16-dekabr 2024-yil |agency=https://mathworld.wolfram.com/}}</ref>.

Agar <math>\log z</math> koʻp qiymatli logarifmning bir qiymatini ifodalasa, boshqa qiymatlar <math>2ik\pi +\log z</math> orqali topiladi. Bunda, {{mvar|k}} – har qanday butun son<ref>{{kitob manbasi |title=Complex functions, single and multivalued |date=2007-03-27 |publisher=West Texas A&M University |page=6}}</ref>.

==== Hisoblash ====
<math>z^w</math>ning kanonik yoyilmasi <math>x+iy</math> hisoblanadi. Bunda {{mvar|x}} hamda {{mvar|y}} haqiqiy sonlardir.
* {{mvar|z}}ning [[logarifm]]i. Logarifmning asosiy qiymati quyidagicha boʻladi<ref name="Clausen1827">{{cite journal |author-last1=Steiner |author-first1=J. |author-last2=Clausen |author-first2=T. |author-last3=Abel |author-first3=Niels Henrik |author-link3=Niels Henrik Abel |title=Aufgaben und Lehrsätze, erstere aufzulösen, letztere zu beweisen |trans-title=Problems and propositions, the former to solve, the later to prove |journal=[[Crelle's Journal|Journal für die reine und angewandte Mathematik]] |volume=2 |date=1827 |pages=286–287 |url=https://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=PPN243919689_0002%7Clog33&physid=phys301#navi}}</ref>:
: <math>\log z=\ln \rho+i\theta,</math> bunda, <math>\ln</math> [[natural logarifm]]ni bildiradi.

== Irratsionallik va transsendentallik ==
Gelfond–Schneider nazariyasiga koʻra, agar {{mvar|b}} musbat haqiqiy son hamda {{mvar|x}} ratsional son boʻlsa, unda {{math|''b''<sup>''x''</sup>}} [[Algebraik sonlar|algebraik son]] boʻladi<ref>{{kitob manbasi |last1=F.R.Usmonov, R.D.Isomov, B.O.Xo'jayev |title=Matematikadan qo'llanma |date=2006 |publisher=Yangi asr avlodi |location=Toshkent |isbn=6-633-1943 |pages=162 |edition=0‘zbekiston Respublikasi Oliy va o ‘rta maxsus ta’lim vazirligi}}</ref><ref>{{yangiliklar manbasi |title=The Gelfond-Schneider Theorem and Some Related Result |url=https://people.math.sc.edu/filaseta/gradcourses/math785/math785notes8.pdf |accessdate=16-dekabr 2024-yil |agency=University of South Carolina}}</ref>.

Agar {{mvar|x}} irratsional boʻlsa hamda {{mvar|b}} va {{mvar|x}} [[Algebraik sonlar|algebraik son]] boʻlsa, {{math|''b''<sup>''x''</sup>}}ning barcha qiymatlari transsendental boʻladi<ref>{{kitob manbasi |last1=Michel Waldschmidt |title=Irrationality and transcendence of values of special functions1 |date=11.09.2016 |publisher=Annual Conference of Society for Special Functions and their Applications |url=https://webusers.imj-prg.fr/~michel.waldschmidt/articles/pdf/ValuesSpecialFunctionsICSFA2016.pdf}}</ref>.

== Algebrada butun sonli darajalar ==
Algebraik toʻplam, unga tegishli assotsiativ operatsiya hamda koʻpaytiruvchi birliklarning tuzilmasi monoid deb ataladi<ref group="sharh">Daraja assotsiativliligi deb ham ataladi</ref>. Bunday monoidda, {{Mvar|x}}ni darajaga koʻtarish quyidagicha amalga oshiriladi<ref>{{cite book |author-last=Bloom |author-first=David M. |title=Linear Algebra and Geometry |date=1979 |isbn=978-0-521-29324-2 |page=[https://archive.org/details/linearalgebrageo0000bloo/page/45 45] |publisher=Cambridge University Press |url=https://archive.org/details/linearalgebrageo0000bloo |url-access=registration}}</ref>:
* <math>x^0 = 1,</math>
* <math>x^{n+1} = x x^n</math>, bunda {{mvar|n}} – manfiy boʻlmagan istalgan son.

Agar {{mvar|n}} manfiy butun son boʻlsa, <math>x^n</math> ifodasi <math>\left(x^{-1}\right)^{-n}</math> shaklida yoziladi<ref>{{cite book |author-last=Bourbaki |author-first=Nicolas |title=Algèbre |date=1970 |publisher=Springer|at=I.2}}</ref>.

Daraja koʻrsatkichi butun son boʻlgan ifodalar quyidagi qonuniyatlarga asoslanib ishlanadi:
: <math>\begin{align}
x^0&=1\\
x^{m+n}&=x^m x^n\\
(x^m)^n&=x^{mn}\\
(xy)^n&=x^n y^n \quad \text{agar } xy=yx, \text{kommutativ boʻlsa.}
\end{align}</math>
Kvadrat matritsa deb, {{math|''A''}} sonining oʻziga necha marta koʻpaytirilishiga aytiladi. Shuningdek, <math>A^0</math> esa matritsaning ayniyati hisoblanadi<ref>Chapter 1, Elementary Linear Algebra, 8E, Howard Anton.</ref>. Teskari matritsa esa, quyidagi tenglikka asoslanadi:<math>A^{-n} = \left(A^{-1}\right)^n</math>.

== Takroriy darajalar ==
Natural sonlarni qayta-qayta darajaga koʻtarish giperoperatsiyalarning 4-darajasi yoxud tetratsiya deb nomlanadi. Ketma-ket darajaga koʻtarishni Akkerman funksiyasi orqali ifodalash mumkin<ref name="uwu">Neyrinck, Mark. [http://skysrv.pha.jhu.edu/~neyrinck/extessay.pdf An Investigation of Arithmetic Operations.] Retrieved 9 January 2019.</ref>. Misol uchun, {{mvar|3}} soni takroriy darajaga koʻtarilganda, {{val|7625597484987}} ({{math|1==3<sup>27</sup> = 3<sup>3<sup>3</sup></sup> = <sup>3</sup>3}}) natijasini beradi.

== Dasturlash tillarida ==
Darajaga koʻtarish amalini turli [[Dasturlash tili|dasturlash tillari]] turlicha amalga oshiradi. Daraja koʻrsatkichini ifodalash eng keng tarqalgan belgi „caret“ (<code>^</code>) hisoblanadi. 1967-yilda Amerika standartiga oʻzgartirish kiritilgan. Bunda, (<code>↑</code>) belgisi oʻrnida (<code>^</code>) belgisidan foydalanishga oʻtilgan<ref>{{cite book|author=Richard Gillam|title=Unicode Demystified: A Practical Programmer's Guide to the Encoding Standard|year=2003|isbn=0201700522|page=33|publisher=Addison-Wesley Professional }}</ref>. Hozirgi kunda daraja belgisini quyidagicha belgilashlar mavjud:

* <code>x ^ y</code>: [[AWK]], [[BASIC]], [[J dasturlash tili|J]], [[MATLAB]], [[Wolfram (dasturlash tili)]], [[R (dasturlash tili)|R]], [[Microsoft Excel]], [[Analytica]], [[TeX]], [[TI-BASIC]], [[Haskell (dasturlash tili)|Haskell]], [[Lua (dasturlash tili)|Lua]] hamda [[Kompyuter algebrasi|kompyuter algebrasi tizimlari]]<ref>{{citation|author1=Brice Carnahan|author2=James O. Wilkes|title=Introduction to Digital Computing and FORTRAN IV with MTS Applications|year=1968|pages=2-2, 2-6}}</ref>.
* <code>x ** y</code>: [[Ada]], [[Z shell]], [[KornShell]], [[Bash (Unix shell)|Bash]], [[COBOL]], [[CoffeeScript]], [[Fortran]], [[FoxPro]], [[Gnuplot]], [[Apache Groovy|Groovy]], [[JavaScript]], [[OCaml]], [[Object REXX]], [[F Sharp]], [[Perl]], [[PHP]], [[PL/I]], [[Python]], [[Rexx]], [[Ruby]], [[SAS]], [[Seed7]], [[Tcl]], [[ABAP]], [[Mercury|Mercury]], [[Turing]]<ref name="InfoWorld_1982">{{cite news |title=BASCOM - A BASIC compiler for TRS-80 I and II |author-last=Daneliuk |author-first=Timothy "Tim" A. |date=1982-08-09 |newspaper=[[InfoWorld]] |series=Software Reviews |publisher=[[Popular Computing, Inc.]] |volume=4 |number=31 |pages=41–42 |url=https://books.google.com/books?id=NDAEAAAAMBAJ&pg=PA42 |access-date=2020-02-06 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20200207104336/https://books.google.de/books?id=NDAEAAAAMBAJ&pg=PA42&focus=viewport#v=onepage&q=TRS-80%20exponention |archive-date=2020-02-07}}</ref><ref name="80Micro_1983">{{cite journal |title=80 Contents |journal=[[80 Micro]] |publisher=[[1001001, Inc.]] |issn=0744-7868 |date=October 1983 |issue=45 |page=5 |url=https://archive.org/details/80-microcomputing-magazine-1983-10 |access-date=2020-02-06}}</ref>.
* <code>x ↑ y</code>: [[Algol]], [[Commodore BASIC]], [[TRS-80]]<ref name="InfoWorld_1982">{{cite news |title=BASCOM - A BASIC compiler for TRS-80 I and II |author-last=Daneliuk |author-first=Timothy "Tim" A. |date=1982-08-09 |newspaper=[[InfoWorld]] |series=Software Reviews |publisher=[[Popular Computing, Inc.]] |volume=4 |number=31 |pages=41–42 |url=https://books.google.com/books?id=NDAEAAAAMBAJ&pg=PA42 |access-date=2020-02-06 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20200207104336/https://books.google.de/books?id=NDAEAAAAMBAJ&pg=PA42&focus=viewport#v=onepage&q=TRS-80%20exponention |archive-date=2020-02-07}}</ref><ref name="80Micro_1983">{{cite journal |title=80 Contents |journal=[[80 Micro]] |publisher=[[1001001, Inc.]] |issn=0744-7868 |date=October 1983 |issue=45 |page=5 |url=https://archive.org/details/80-microcomputing-magazine-1983-10 |access-date=2020-02-06}}</ref>
* <code>x ^^ y</code>: [[Haskell]], [[D (dasturlash tili)|D]]<ref>{{cite book|author=Robert W. Sebesta|title=Concepts of Programming Languages|year=2010|isbn=978-0136073475|pages=130, 324|publisher=Addison-Wesley }}</ref>.
* <code>x⋆y</code>: [[APL dasturlash tili|APL]].

== Yana qarang ==
{{Portal|Matematika}}
* [[Muavr formulasi]]
* [[Koʻrsatkichli funksiya]]
* [[Arifmetik ildiz]]
* [[Koʻp qiymatli funksiya]]

== Izohlar ==
{{manbalar|group="sharh"}}

== Manbalar ==
{{manbalar}}
== Adabiyotlar ==
{{Refbegin|colwidth=30em}}
===Ilmiy adabiyotlar===
* {{kitob manbasi |last1=ҚАЮМОВ Ш |title=ОЛИЙ МАТЕМАТИКА |date=2019 |publisher=Toshkent|location=ИСЛОМ КАРИМОВ НОМИДАГИ ТОШКЕНТ ДАВЛАТ ТЕХНИКА УНИВЕРСИТЕТИ|page=129}}
* {{kitob manbasi |last1=Б.И.Исломов, П.И.Шарипова |title=АЛГEБРА, МАТEМАТИКА |date=2003 |publisher=Toshkent|location=АЛГEБРА, МАТEМАТИКА|page=224}}
* {{kitob manbasi |last1=P. H. НАЗАРОВ, Б. Т. ТОШПУЛАТОВ, А. Д. ДУСУМБЕТОВ |title=АЛГЕБРА ВА СОНЛАР НАЗАРИЯСИ |date=1993|publisher=|location=АЛГEБРА, МАТEМАТИКА|page=320}}
* {{kitob manbasi |last1=Карим Муҳаммедов |title=Элементар математикадан қўлланма |date=1976 |publisher=Ўқитувчи нашриёти|location=СССР Олий ва махсус ўрта таълим министрлиги|page=416}}
* {{kitob manbasi |last1=A.U.Abduhamidov, H. A. Nasimov, U. M . Nosirov, H. Husanov |title= Algebra va matematik analiz asoslari |date=2007 |publisher="O'qituvchi" nashriyoti|location=Akademik litseylar uchun darslik|page=400}}
* {{kitob manbasi |last1=N. M. JABBOROV, Е. О. ALIQULOV, Q. S. AXMEDOVA |title= Oliy matematika |date=2010 |publisher=Qarshi davlat universiteti|location=Qarshi|page=423}}
* {{kitob manbasi |last1=F.R.Usmonov, R.D.Isomov, B.O.Xo'jayev |title= Matematikadan qo'llanma |date=2006 |publisher=0‘zbekiston Respublikasi Oliy va o ‘rta maxsus ta’lim vazirligi|location=Yangi asr avlodi|page=464}}
===Maqolalar===
* {{Статья|автор=Нуралиев Ф.М., Анарова Ш.А|заглавие= Муҳаммад ал - Хоразмий асарлари, алгоритм тушунчаси ва алгоритмлаш назарияси асослари|издание=|год=2019|ref=}}
{{Refend}}

== Havolalar ==
{{Spoken Wikipedia|date=2024-12-15|Darajaga ko‘tarish (uzwiki).ogg}}

*„[[Khan Academy]]“ platformasida mavzuga oid [https://uz.khanacademy.org/math/precalculus/imaginary-and-complex-numbers/multiplying-and-dividing-complex-numbers-in-polar-form/v/powers-of-complex-numbers videodarslik]
{{Giperoperatsiyalar}}
{{Natural sonlarning sinflari}}
{{Tashqi havolalar}}
[[Turkum:Matematika]]
[[Turkum:Matematik tushunchalar]]
[[Turkum:Giperoperatsiyalar]]
[[Turkum:Asosiy giperoperatsiyalar]]