DSA sahifasining manbasini koʻrish

'''DSA''' — [[Elektron raqamli imzo|elektron imzo]] yaratish uchun shaxsiy kalitdan [[Kriptografiya|kriptografik]] [[algoritm]], lekin [[shifrlash]] uchun emas . Imzo yashirincha (maxfiy kalit bilan) yaratiladi, lekin uni ommaviy ravishda tekshirish mumkin (ommaviy kalit bilan). Bu shuni anglatadiki, faqat bitta [[subyekt|subyekt]] xabar imzosini yaratishi mumkin, ammo har kim uning toʻgʻriligini tekshirishi mumkin. Algoritm chekli sohalarda logarifmlarni olishning hisoblash murakkabligiga asoslangan. Algoritm 1991-yil avgust oyida Milliy standartlar va texnologiyalar instituti ([[Amerika Qoʻshma Shtatlari|AQSh]]) tomonidan taklif qilingan va [[patent]]langan {{Sfn|Patent US 5231668 A}} , NIST ushbu patentni royaltisiz foydalanish uchun taqdim etgan. DSA <nowiki><b id="mwGg">DSS</b></nowiki> [[Ingliz tili|ning]] bir qismidir Raqamli imzo standarti – birinchi marta 1998-yil 15-dekabrda nashr etilgan raqamli imzo standarti. Standart bir necha marta yangilangan {{Sfn|FIPS 186-2}} {{Sfn|FIPS 186-3}}, eng oxirgi versiyasi FIPS-186-4 {{Sfn|FIPS 186-4}} (2013-yil iyul).

== Algoritmning tavsifi ==
[[Fayl:Dsa_workflow_rus.png|thumb| DSA operatsiyasining tasviri]]
DSA ikkita algoritmni (S, V) oʻz ichiga oladi: xabar imzosini yaratish (S) va uni tekshirish uchun (V) iborat. Yana bir qancha qoʻshimchalar mavjud. Ikkala algoritm ham birinchi navbatda kriptografik hash funktsiyasidan foydalangan holda xabarning xeshini hisoblab chiqadi. Algoritm S imzo yaratish uchun xesh va shaxsiy kalitdan foydalanadi, V algoritmi imzoni tekshirish uchun xabar xeshi, imzo va ochiq kalitdan foydalanadi. Yaʼni barchasi umumlashgan holda ishlaydi. Shuni taʼkidlash kerakki, aslida imzolangan xabar emas, balki uning xeshi (160 – 256 bit), shuning uchun toʻqnashuvlar muqarrar va bitta imzo, umuman olganda, bir xil xeshli bir nechta xabarlar uchun amal qiladi. . Shuning uchun, etarlicha „yaxshi“ hash funktsiyasini tanlash butun tizim uchun juda muhimdir. Standartning birinchi versiyasida SHA-1 xesh funktsiyasi ishlatilgan {{Sfn|FIPS 180-4}} {{Sfn|FIPS 186-1}} , soʻnggi versiyada siz [[SHA-2]] oilasining istalgan algoritmidan ham foydalanishingiz mumkin {{Sfn|FIPS 180-4}} {{Sfn|FIPS 186-4}} . 2015-yil avgust oyida yangi SHA-3 xesh funksiyasini tavsiflovchi FIPS-202 {{Sfn|FIPS 202}} nashr etildi. Tizim ishlashi uchun muallifning haqiqiy maʼlumotlari (bu jismoniy shaxs yoki tashkilot boʻlishi mumkin) va ochiq kalitlar, shuningdek elektron raqamli imzo sxemasining barcha kerakli parametrlari .

== Raqamli imzo sxemasi imkoniyatlari ==
Elektron raqamli imzo tizimini yaratish uchun siz quyidagi bosqichlarni bajarishingiz kerak. Albatta ketma ketlikda:

# H(x) kriptografik xesh funksiyasini tanlash.
# Bitlardagi ''N'' oʻlchami H(x) xesh funktsiyasining bitlardagi oʻlchamiga toʻgʻri keladigan ''q'' tub sonini tanlash.
# ''(p-1)'' ''q'' ga boʻlinadigan ''p'' tub sonni tanlash. ''p ning'' bit uzunligi ''L'' bilan belgilanadi.
# ''g'' raqamini tanlash (<math> g \neq 1 </math>) shundayki, uning koʻpaytma tartibi moduli ''p'' ''q'' ga teng. Uni hisoblash uchun siz formuladan foydalanishingiz mumkin <math>g = h^{(p-1)/q}\mod p</math>, bu yerda ''h'' – ixtiyoriy son, <math>h \in (1; p - 1)</math> shu kabi <math> g \neq 1 </math> . Aksariyat hollarda ''h'' = 2 qiymati bu talabni qondiradi. {{Sfn|FIPS 186-4}}

Yuqorida aytib oʻtilganidek, raqamli imzo sxemasining birinchi parametri kriptografik xesh funktsiyasidan foydalaniladi, bu xabar matnini imzo hisoblangan [[Son|raqamga]] aylantirish uchun zarurdir. DSS standartining birinchi versiyasi SHA-1 funksiyasini {{Sfn|FIPS 186-1}} tavsiya qildi va shunga mos ravishda imzolangan raqamning bit uzunligi 160 bit {{Sfn|Finding Collisions in the Full SHA-1}} {{Sfn|Freestart collision for full SHA-1}} . Standart ''L'' va ''N'' raqamlari uchun quyidagi mumkin boʻlgan qiymat juftlarini belgilaydi:

# L = 1024, N = 160
# L = 2048, N = 224
# L = 2048, N = 256
# L = 3072, N = 256

Ushbu standart [[SHA-2]] xesh funktsiyalari oilasini tavsiya qiladi. AQSh hukumati tashkilotlari dastlabki uchta variantdan birini qoʻllashi kerak; CAlar abonentlar ishlatadigan juftlikka teng yoki undan yuqori boʻlgan juftlikdan foydalanishlari kerak {{Sfn|FIPS 186-4}} . Tizim dizayneri istalgan yaroqli xesh funksiyasini tanlashi mumkin. DSA-ga asoslangan kriptotizimning kuchi ishlatiladigan xesh funktsiyasining kuchidan va juftlikning (L, N) kuchidan oshmaydi, ularning kuchi alohida raqamlarning har birining kuchidan katta emas. Hozirgi vaqtda [[2010|2010 yilgacha]] ([[2030|2030 yilgacha]]) chidamli boʻlishi kerak boʻlgan tizimlar uchun tavsiya etilgan uzunlik 2048 (3072) bitni tashkil qiladi. {{Sfn|FIPS 186-4}} {{Sfn|NIST Special Publication 800-57}}

=== Umumiy va shaxsiy kalitlar ===

# Yashirin kalit – bu raqam <math>x \in (0, q)</math>
# Ochiq kalit formuladan foydalanib hisoblanadi <math>y=g^x \mod p</math>

Umumiy parametrlar raqamlardir ''(p, q, g, y)'' . Faqat bitta shaxsiy parametr mavjud – ''x'' raqami. Bunday holda, raqamlar ''(p, q, g)'' foydalanuvchilar guruhi uchun umumiy boʻlishi mumkin va ''x'' va ''y'' raqamlari mos ravishda maʼlum bir foydalanuvchining shaxsiy va ochiq kalitlari hisoblanadi. Xabarga imzo qoʻyishda ''x'' va ''k'' maxfiy raqamlari qoʻllanadi. ''(p, q, g)'' bir nechta foydalanuvchilar uchun ishlatilishi mumkinligi sababli, baʼzi bir mezonlarga koʻra bir xil ''(p, q, g)'' guruhlarga boʻlinadi.

== Xabar imzosi ==
''Xabar quyidagi algoritm'' {{Sfn|FIPS 186-4}} yordamida imzolanadi '':''

# Tasodifiy raqamni tanlash <math>k \in (0,q)</math>
# Hisoblash <math>r=(g^k \mod p)\mod q</math>
# Agar boshqa k ni tanlash <math>r = 0</math>
# Hisoblash <math>s=k^{-1}(H(m)+x\cdot r)\mod q</math>
# Agar boshqa k ni tanlash <math>s=0</math>
# Imzo juftlikdir <math>(r,s)</math> umumiy uzunligi <math>2N</math>

Hisoblash jihatidan murakkab operatsiyalar koʻrsatkich moduli (hisoblash <math>g^k\bmod p</math>), ular uchun tezkor algoritmlar mavjud, xeshni hisoblash <math>H(x)</math>, bu yerda murakkablik tanlangan xesh algoritmiga va kirish xabarining oʻlchamiga va teskari elementni topishga bogʻliq.

== Imzoni tekshirish ==
''Imzoni tekshirish algoritmga muvofiq amalga oshiriladi'' {{Sfn|FIPS 186-4}} '':''
 1 Funksiyani hisoblashda <math>w=s^{-1} \mod q</math> formulada
 2 Funksiyani Hisoblashda <math>u_1 = H(m)\cdot w \mod q</math> formulada
 3 Funksiyani  Hisoblashda <math>u_2 = r\cdot w \mod q</math> formulada
 4 Funksiyani Hisoblash <math>v = (g^{u_1}\cdot y^{u_2} \mod p) \mod q </math> formuladan ko`pincha foydalaniladi.
 5 Imzo to'g'ri bo'lsa <math>v = r </math>
Hisoblab chiqish jihatidan murakkab funksiyalarni tekshirganda, bu ikkita eksponentatsiya <math>g^{u_1} y^{u_2} </math>, xeshni hisoblash <math>H(x)</math> va teskari qismni topish <math>s^{-1} \bmod q</math> . Bu funksiyalar oʻzi muhim.

== Sxemaning toʻgʻriligi ==
Ushbu elektron raqamli imzo sxemasi shu darajada toʻgʻri boʻladiki, imzoning haqiqiyligini tekshirishni istagan har bir kishi haqiqiylik holatida har doim ijobiy natija oladi. Bunda chiqishi mumkin emas. Chunki bular shaxsiydir. Keling, buni koʻrsatamiz:Birinchidan, agar <math>g=h^{(p-1)/q} \mod p</math>, <math>g^q=h^{p-1}=1 \mod p</math> . ''g'' >1 va ''q'' tub son ekan, u holda ''g'' ''q'' moduli ''p'' ning koʻpaytma tartibida. Xabar imzosi uchun u hisoblanadi

: <math>s=k^{-1}(H(m)+x \cdot r) \mod{q}.</math>

Shuning uchun

: <math>k=H(m) \cdot s^{-1}+x \cdot r \cdot s^{-1}=H(m) \cdot w + x \cdot r \cdot w \mod{q}.</math>

''g'' ''q'' tartibli boʻlgani uchun biz olamiz

: <math>g^k=g^{H(m) \cdot w \mod q}g^{x \cdot r \cdot w \mod q}=g^{H(m) \cdot w \mod q}y^{r \cdot w \mod q}=g^{u1}y^{u2} \mod{p}.</math>

Nihoyat, DSA sxemasining toʻgʻriligi shundan kelib chiqadi

: <math>r=(g^k \mod p) \mod q=(g^{u1}y^{u2} \mod p) \mod q=v.</math>{{Sfn|FIPS 186-4}}

== Ishga misol ==
Xesh qiymati bizning xabarimizning funktsiyasi boʻlsin <math>H = 9</math> .

=== Parametrlarni yaratish ===

# <math>H = 9_{10} = 1001_2</math>
# hash uzunligi <math>4</math>, bu siz tanlashingiz mumkin degan maʼnoni anglatadi <math>q = 11_{10} = 1011_2</math>
# tanlaylik <math>p = 23</math>, chunki <math>23-1 = 22 = 2*q</math>
# tanlaylik <math>g = 2^2 = 4</math>

=== Kalitlarni yaratish ===

# maxfiy kalit sifatida biz tanlaymiz <math>x = 7</math>
# keyin umumiy kalit <math>y=g^x \bmod p = 4^7 \bmod 23 = 16384 \bmod 23 = (712 \cdot 23 + 8) \bmod 23 = 8</math>

=== Xabar imzosi ===

# tanlaylik <math>k = 3</math>
# Keyin <math>r=(g^k \bmod p)\bmod q = (4^3 \bmod 23) \bmod 11 = 7</math>
# <math>r \ne 0</math>, davom etishga ruxsat
# <math>s=k^{-1}(H(m)+x\cdot r)\bmod q = 4(9+7\cdot 7)\bmod 11 = 1</math>, bu hisobga olinadi <math>3^{-1} \bmod 11 = 4</math>
# <math>s \ne 0</math>, davom etishga ruxsat
# imzo juft raqamlardan iborat <math>(r,s) = (7,1)</math>

# <math>w=s^{-1} \bmod q = 1^{-1} \bmod 11 = 1</math>
# <math>u_1 = H(m)\cdot w \bmod q = 9\cdot1 \bmod 11 = 9</math>
# <math>u_2 = r\cdot w \bmod q = 7\cdot1 \bmod 11 = 7</math>
# <math>v = (g^{u_1}\cdot y^{u_2} \bmod p) \bmod q = (4^9\cdot8^7 \bmod 23) \bmod 11 = 7</math>
# tushundim <math>v = r</math>, keyin imzo toʻgʻri.

== Analoglar ==
DSA algoritmi diskret logarifmlarni hisoblash qiyinligiga asoslanadi va klassik El-Gamal sxemasining {{Sfn|Elgamal|1985}} modifikatsiyasi boʻlib, bu yerda xabar xeshlash qoʻshiladi va barcha logarifmlar quyidagi tarzda hisoblanadi. <math>mod~q </math>, bu sizga analoglarga nisbatan imzoni qisqartirish imkonini beradi . U GOST R 34.10-2012 standarti bilan almashtirildi [13], bu elliptik egri nuqtalar guruhidan foydalanadi. Shunga oʻxshash modifikatsiya, yaʼni. Koʻpaytma guruhi modulidan tub sondan elliptik egri chiziqning nuqtalar guruhiga oʻtish DSA – ECDSA {{Sfn|The Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA)}} uchun ham mavjud . U, masalan, [[bitcoin]] [[kriptovalyuta]]sida tranzaktsiyalarni tasdiqlash uchun ishlatiladi. Ushbu tarjima xavfsizlikni buzmasdan kalitlarning hajmini qisqartirish imkonini beradi – bitkoin tizimida shaxsiy kalitning oʻlchami 256 bit, mos keladigan ochiq kalit esa 512 bit. Yana bir umumiy ochiq kalit algoritmi, RSA (mualliflar nomi bilan atalgan: Rivest, Shamir, Adleman) katta raqamlarni faktoring qilish qiyinligiga asoslangan.

== Kriptografik kuch ==
Algoritmga qilingan har qanday hujumni quyidagicha taʼriflash mumkin: buzgʻunchi barcha ochiq imzo parametrlarini va maʼlum bir juftlik toʻplamini oladi va ushbu toʻplamdan foydalanib, yangi imzo yaratishga urinadi. Ushbu hujumlarni ikki guruhga boʻlish mumkin – birinchidan, tajovuzkor maxfiy kalitni tiklashga harakat qilishi mumkin <math>x</math>, va keyin u darhol istalgan xabarni imzolash imkoniyatini qoʻlga kiritadi, ikkinchidan, u maxfiy kalitni toʻgʻridan-toʻgʻri tiklamasdan yangi xabar uchun haqiqiy imzo yaratishga harakat qilishi mumkin. Bu havfsizlik parametrlarini buzadi. Imzonoi buzib kirish imkoni paydo boʻladi.

=== Tasodifiy parametrni bashorat qilish ===
<math>k</math> tizim xavfsizligi uchun juda muhim. Agar bir nechta ketma-ket parametr bitlari maʼlum boʻlsa <math>k</math> bir qator imzolar uchun, keyin maxfiy kalit yuqori koeffitsiyent bilan tiklanishi mumkin. {{Sfn|The Insecurity of the Digital Signature Algorithm with Partially Known Nonces}} Kalit yoʻqolgan taqdirda tiklash imkonini beradi. Ikkita xabar uchun parametrni takrorlash tizimni oddiy buzishga olib keladi. [[Android]] uchun bitcoin tizimining baʼzi ilovalarida tajovuzkor hamyonga kirish huquqiga ega boʻlishi mumkin. {{Sfn|ECDSA - Application and Implementation Failures}} {{Sfn|Elliptic Curve Cryptography in Practice}} Ikkala misolda ham ECDSA tizimi {{Sfn|The Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA)}} ishlatilgan. Agar ikkita xabar uchun <math>m_1, m_2</math> Xuddi shu parametr ishlatilgan <math>k</math>, keyin ularning imzolari <math>(r,s)</math> xuddi shunday boʻladi <math>r</math>, lekin boshqacha <math>s</math>, keling, ularni chaqiramiz <math>s_1,s_2</math> . Algaritmlarda toʻgʻri foydalana bilish kerak. Uning s1 , s2 funksidan foydalanish

uchun ifodasidan <math>s</math> umumiy ifodalanishi mumkin <math>k</math> :

<math>k = (H(m)+xr)s^{-1} \mod q</math> .

Va umumiy miqdorni tenglashtiring <math>k</math> turli xabarlar uchun:

<math>(H(m_1)+xr)s_1^{-1} \mod q = (H(m_2)+xr)s_2^{-1} \mod q</math>

Bu yerdan maxfiy kalitni ifodalash oson <math>x</math> :

<math>x = \frac{H(m_1)s_1^{-1} - H(m_2)s_2^{-1}}{r(s_2^{-1}-s_1^{-1})}</math>

=== Ekzistensial soxtalashtirish ===
Baʼzi raqamli imzo algoritmlari mavjud [[:en:Digital signature forgery|soxtalik]] bilan hujum qilishi mumkin. Gap shundaki, imzo uchun faqat umumiy parametrlardan foydalangan holda toʻgʻri xabarni yaratish mumkin (ammo bu odatda mantiqiy emas). DSA sxemasi imzosi uchun <math>r = g^ey\mod p \mod q</math>, <math>s = r</math> har qanday vaqtda <math>e</math> xash bilan xabar uchun toʻgʻri <math>H(m) = es</math> . Mos kelishi mumkin. Agar xesh funktsiyasi toʻgʻri tanlangan boʻlsa, DSA algoritmi ushbu hujumdan himoyalangan, chunki kriptografik xesh funktsiyasi teskari <math>k</math> topish <math>m</math> shu kabi <math>H(m) = k</math>) hisoblash jihatidan murakkab masala. {{Sfn|Security Arguments for Digital Signatures and Blind Signatures}}

=== Kalitni tiklash ===
Imzoning amal qilish sharti boshqa shaklda qayta yozilishi mumkin<math>g^{ks}\mod p\mod q = g^{H(m)+xr}\mod p\mod q</math> bu tenglama ekvivalent

<math>H(m) \mod q= ks - xr \mod q</math> Bu shuni anglatadiki, kalitni tiklash uchun buzuvchi shakldagi tenglamalar tizimini hal qilishi kerak deb taxmin qilishimiz mumkin. <math>H(m_i) \mod q= k_is_i - xr_i \mod q</math> lekin bu tizimda nomaʼlum <math>x</math> va tamom <math>k_i</math>, yaʼni nomaʼlumlar soni tenglamalardan bitta koʻp va har qanday uchun <math>x</math> boʻladi <math>k_i</math>, tizimni qondirish. q katta tub son boʻlgani uchun tiklash uchun <math>x \mod q</math> eksponensial sonli juftlik ''(xabar, imzo) talab qilinadi.'' {{Sfn|Patent US 5231668 A}} Juftliklar boʻlmagan taqdirda tizimga kirish uchun qayta tiklash parametrlari mos kelmaydi. Shuning uchun bularga katta eʼtibor qaratish kerak.

=== Imzoni qalbakilashtirish ===
Siz maxfiy kalitni bilmasdan imzo soxtalashtirishga harakat qilishingiz mumkin.<math>r^{s}\mod p\mod q = g^{H(m)}y^r\mod p\mod q</math> nisbatan <math>r</math> Va <math>s</math> . Har bir oʻzgarmas uchun <math>r</math> tenglama diskret logarifmni hisoblashga teng. {{Sfn|Patent US 5231668 A}} Huddi s kabi hisoblash.

== Algoritmni amalga oshirishni tekshirish tizimi ==
Litsenziya shartlari algoritmni dasturiy va apparat vositalarida amalga oshirish imkonini beradi. NIST [[DSAVS]] ni yaratdi {{Sfn|The Digital Signature Algorithm Validation System}}. DSAVS har bir tizim komponentini boshqalardan mustaqil ravishda tekshiradigan bir nechta muvofiqlik test modullaridan iborat. Sinov qilingan amalga oshirish komponentlari:

# Domen parametrlarini yaratish
# Domen parametrlari tekshirilmoqda
# Ommaviy-xususiy kalitlar juftligini yaratish
# Imzo yaratish
# Imzoni tekshirish

Amalga oshirishni tekshirish uchun ishlab chiquvchi CMT laboratoriyasida uning bajarilishini sinab koʻrish uchun ariza topshirishi kerak [[Ingliz tili|.]]

== Bosh sonlarni hosil qilish ==
DSA algoritmi ikkita tub sonni talab qiladi (𝑝 Va 𝑞), shuning uchun tub yoki psevdo tub sonlar generatori kerak.tub sonlarni hosil qilish uchun [[Шо-Тейлора|Shou-Teylor]] algoritmidan foydalaniladi {{Sfn|Generating strong primes}} . Psevdoprimalar xesh funksiyasi yordamida yaratiladi va birlamchilikni tekshirish uchun Miller-Rabin probabilistik testidan foydalaniladi. {{Sfn|FIPS 186-4}} Kerakli takrorlashlar soni ishlatilgan raqamlarning uzunligiga va tekshirish algoritmiga bogʻliq {{Sfn|FIPS 186-4}} . Yaʼni barcha algoritmlar bir biriga bogʻliq:
{| class="wikitable" style="width: 40%; height: 200px;"
!variantlari
! Faqat M-R testi
! MR testi + Luka testi
|-
| p: 1024 bit
q: 160 bit

xatolik ehtimoli <math>2^{-80}</math>
| 40
| p: 3
s: 19
|-
| p: 2048 bit
q: 224 bit

xatolik ehtimoli <math>2^{-112}</math>
| 56
| p: 3
s: 24
|-
| p: 2048 bit
q: 256 bit

xatolik ehtimoli <math>2^{-112}</math>
| 56
| p: 3
s: 27
|-
| p: 3072 bit
q: 256 bit

xatolik ehtimoli <math>2^{-128}</math>
| 64
| p: 2
s: 27
|}

== Tasodifiy raqamlarni yaratish ==
Algoritm tasodifiy yoki psevdo-tasodifiy raqamlar generatorini ham talab qiladi. Ushbu generator shaxsiy foydalanuvchi kalitini yaratish uchun kerak boʻladi ''x'' va s ''.'' Standart blokli shifrlar yoki xesh funksiyalari yordamida psevdor tasodifiy raqamlarni yaratishning turli usullarini taklif qiladi. {{Sfn|FIPS 186-4}} {{Sfn|Random Number Generation}} Har bir usul universal boʻlishi mumkin.

== Manbalar ==
{{Manbalar|2|refs=}}

== Adabiyot ==

=== Standartlar va patentlar ===

* FIPS. PUB 186-1 (angl.).
* FIPS. PUB 186-2 (angl.).
* FIPS. PUB 186-3 (angl.).
* FIPS. PUB 186-4 (angl.).
* FIPS. PUB 180-4 (angl.). Arxivirovano 26 noyabrya 2016 goda.
* FIPS. PUB 202 (angl.).
* FIPS. PUB 202 (angl.).
* David W. Kravitz. Digital signature algorithm 5231668 A (angl.).
* NIST Special Publication 800-57 Part 1Revision 4. Recommendation for Key Management (angl.).
* GOST R 34.10-2012. Informatsionnie texnologii. Kriptograficheskaya zaщita informatsii. Protsessi formirovaniya i proverki elektronnoy sifrovoy podpisi (rus.).
* The Digital Signature Algorithm Validation System (angl.).

=== Maqolalar ===

* Marc Stevens, Pierre Karpman, Thomas Peyrin. Freestart collision for full SHA-1 (angl.).
* NIST Special Publication 800-90A Recommendation for Random Number Generation Using Deterministic Random Bit Generators (angl.).
* J. Shawe-Taylor. Generating strong primes (angl.).
* Xiaoyun Wang, Yiqun Lisa, Hongbo Yu. Finding Collisions in the Full SHA-1 (angl.).
* Phong Q. Nguyen, Igor E. Shparlinski. The Insecurity of the Digital Signature Algorithm with Partially Known Nonces (angl.).
* David Pointcheval, Jacques Stern. Security Arguments for Digital Signatures and Blind Signatures (angl.).
* Markus Schmid. ECDSA – Application and Implementation Failures (angl.).
* Don Johnson, Alfred Menezes, Scott Vanstone. The Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA) 
* Joppe W. Bos, J. Alex Halderman, Nadia Heninger, Jonathan Moore, Michael Naehrig, Eric Wustrow. Elliptic Curve Cryptography in Practice (angl.).

 {{Turkumsiz|date=Aprel 2024}}