Bohr–Van Leeuwen teoremasi sahifasining manbasini koʻrish

'''Bor-Van Leuven teoremasi''' shuni koʻrsatadiki, statistik mexanika va [[klassik mexanika]] izchil qoʻllanilganda, magnitlanishning [[Thermal average|termal oʻrtacha qiymati]] har doim nolga teng. <ref>[[John Hasbrouck van Vleck]] stated the Bohr-Van Leeuwen theorem as „At any finite temperature, and in all finite applied electrical or magnetical fields, the net magnetization of a collection of electrons in thermal equilibrium vanishes identically.“ (Van Vleck, 1932)</ref> Bu qattiq jismlardagi magnitlanishni faqat [[Kvant mexanika|kvant mexanik]] taʼsiriga aylantiradi va klassik fizika [[paramagnetizm]], [[diamagnetizm]] va [[Ferromagnetizm|ferromagnetizmni]] hisobga olmasligini anglatadi. Klassik fizikaning triboelektrni tushuntira olmasligi ham Bor-Van Leven teoremasidan kelib chiqadi. <ref>{{Cite journal|last=Alicki|first1=Robert|last2=Jenkins|first2=Alejandro|date=2020-10-30|title=Quantum Theory of Triboelectricity|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.125.186101|journal=Physical Review Letters|language=en|volume=125|issue=18|pages=186101|doi=10.1103/PhysRevLett.125.186101|pmid=33196235|issn=0031-9007|arxiv=1904.11997|bibcode=2020PhRvL.125r6101A}}</ref>

==Tarix==

Bugungi kunda Bor-Van Leven teoremasi deb nomlanuvchi narsa [[Niels Bohr|Niels Bor]] tomonidan 1911 yilda doktorlik dissertatsiyasida <ref>{{Kitob manbasi |last=Bohr |first=Niehls |chapter=The Doctor's Dissertation (Text and Translation) |year=1972 |origyear=originally published as "Studier over Metallernes Elektrontheori", Københavns Universitet (1911) |title=Early Works (1905-1911) |editor=Rosenfeld |publisher=[[Elsevier]] |series=Niels Bohr Collected Works |pages=163, 165–393 |doi=10.1016/S1876-0503(08)70015-X |isbn=978-0-7204-1801-9}}</ref> kashf etilgan va keyinchalik Hendrika Yoxanna van Leuven tomonidan 1919 yilda doktorlik dissertatsiyasida qayta kashf etilgan <ref>{{Cite journal|first1=Hendrika Johanna|last=Van Leeuwen|url=http://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00204299/en/|title=Problèmes de la théorie électronique du magnétisme|journal=[[Journal de Physique et le Radium]]|volume=2|issue=12|pages=361–377|year=1921|doi=10.1051/jphysrad:01921002012036100}}</ref> 1932 yilda [[John Hasbrouck Van Vleck|J. H. Van Vlek]] elektr va magnit sezuvchanlik haqida yozgan kitobida Borning dastlabki teoremasini rasmiylashtirdi va kengaytirdi. <ref name="vanVleck">{{Kitob manbasi |last=Van Vleck |first=J. H. |title=The theory of electric and magnetic susceptibilities |publisher=[[Clarendon Press]] |year=1932 |isbn=0-19-851243-0}}</ref>

Ushbu kashfiyotning ahamiyati shundaki, klassik fizika [[paramagnetizm]], [[diamagnetizm]] va [[ferromagnetizm]] kabi narsalarga yoʻl qoʻymaydi va shuning uchun magnit hodisalarni tushuntirish uchun [[Kvant mexanika|kvant fizikasi]] kerak. Ushbu natija, „ehtimol, barcha davrlarning eng deflyatsion nashri“ 1913 yilda Borning vodorod atomining kvaziklassik nazariyasini ishlab chiqishga hissa qoʻshgan boʻlishi mumkin.

== Isboti ==

=== Intuitiv dalil ===
Bor-Van Leven teoremasi aylana olmaydigan izolyatsiyalangan tizimga taalluqlidir. Agar izolyatsiya qilingan tizim tashqi qoʻllaniladigan magnit maydonga javoban aylanishiga ruxsat berilsa, bu teorema qoʻllanilmaydi. <ref name="Feynman">{{Kitob manbasi |last=Feynman |first=Richard P. |authorlink=Richard Feynman |archivedate=Matthew Sands |title=[[The Feynman Lectures on Physics]] |page=34-8 |year=2006 |isbn=978-0465024940}}</ref> Agar qoʻshimcha ravishda maʼlum bir harorat va maydonda [[Issiqlik muvozanati|termal muvozanatning]] faqat bitta holati mavjud boʻlsa va maydon qoʻllanilgandan soʻng tizimga muvozanatga qaytish uchun vaqt ajratilsa, u holda magnitlanish boʻlmaydi.

Tizimning maʼlum bir harakat holatida boʻlish ehtimoli [[Bolsman statistikasi|Maksvell-Boltzman statistikasi]] boʻyicha proportsional boʻladi. <math>\exp(-U/k_\text{B} T)</math>, qayerda <math>U</math> tizimning energiyasi, <math>k_\text{B}</math> [[Bolsman doimiysi|Boltsman doimiysi]] va <math>T</math> [[Termodinamik harorat|mutlaq haroratdir]] . Bu energiya [[kinetik energiya]] yigʻindisiga teng (<math>m v^2/2</math> massali zarracha uchun <math>m</math> va tezlik <math>v</math>) va [[Potensial energiya|potentsial energiya]].

Magnit maydon potentsial energiyaga hissa qoʻshmaydi. [[Elektr zaryad|Zaryadli]] [[Lorents kuchi|zarraga Lorents kuchi]] <math>q</math> va [[tezlik]] <math>\mathbf{v}</math> hisoblanadi:

: <math>\mathbf{F} = q \left(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\right),</math>

bu yerda <math>\mathbf{E}</math> [[Elektr maydon|elektr maydoni]] va <math>\mathbf{B}</math> [[Magnit maydon|magnit oqimining zichligi]] . Bajarilgan ish tezligi <math>\mathbf{F}\cdot\mathbf{v} = q\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}</math> va bogʻliq emas <math>\mathbf{B}</math> . Shuning uchun energiya magnit maydonga bogʻliq emas, shuning uchun harakatlarning taqsimlanishi magnit maydonga bogʻliq emas.

Nol maydonda zaryadlangan zarrachalarning aniq harakati boʻlmaydi, chunki tizim aylana olmaydi. Shunday qilib, oʻrtacha magnit moment nolga teng boʻladi. Harakatlarning taqsimlanishi magnit maydonga bogʻliq emasligi sababli, har qanday magnit maydonda termal muvozanatdagi moment nolga teng boʻlib qoladi.

=== Yana rasmiy dalil ===
Shunday qilib, dalil murakkabligini kamaytirish uchun, bir tizim bilan <math>N</math> elektronlardan foydalaniladi.

Bu oʻrinli, chunki qattiq jismdagi magnitlanishning koʻp qismi elektronlar tomonidan amalga oshiriladi va isbot bir nechta zaryadlangan zarrachalar uchun osonlik bilan umumlashtiriladi.

Har bir elektron manfiy zaryadga ega <math>e</math> va massa <math>m_\text{e}</math> .

Agar uning pozitsiyasi boʻlsa <math>\mathbf{r}</math> va tezlik <math>\mathbf{v}</math>, u [[Elektr toki|oqim]] hosil qiladi <math>\mathbf{j} = e\mathbf{v}</math> va [[magnit moment]]

: <math> \mathbf{\mu} = \frac{1}{2c}\mathbf{r}\times\mathbf{j} = \frac{e}{2c}\mathbf{r}\times\mathbf{v}.</math>

Yuqoridagi tenglama shuni koʻrsatadiki, magnit moment tezlik koordinatalarining chiziqli funktsiyasidir, shuning uchun berilgan yoʻnalishdagi umumiy magnit moment shaklning chiziqli funktsiyasi boʻlishi kerak.

: <math> \mu = \sum_{i=1}^N\mathbf{a}_i\cdot\dot{\mathbf{r}}_i,</math>

bu yerda nuqta vaqt hosilasini ifodalaydi va <math>\mathbf{a}_i</math> pozitsiya koordinatalariga qarab vektor koeffitsientlaridir <math>\{\mathbf{r}_i,i=1\ldots N\}</math>.

[[Bolsman statistikasi|Maksvell-Boltzman statistikasi]] n-zarraning impulsga ega boʻlish ehtimolini beradi <math>\mathbf{p}_n</math> va muvofiqlashtirish <math>\mathbf{r}_n</math> kabi

: <math> dP \propto \exp{\left[-\frac{\mathcal{H}(\mathbf{p}_1,\ldots,\mathbf{p}_N;\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_N)}{k_\text{B}T}\right]}d\mathbf{p}_1,\ldots,d\mathbf{p}_Nd\mathbf{r}_1,\ldots,d\mathbf{r}_N, </math>

bu yerda <math>\mathcal{H}</math> — Gamiltonian, tizimning umumiy energiyasi.

Har qanday funktsiyaning termal oʻrtacha qiymati <math>f(\mathbf{p}_1,\ldots,\mathbf{p}_N;\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_N)</math> bu umumlashtirilgan koordinatalardan keyin

: <math>\langle f\rangle =\frac{\int f dP}{\int dP}.</math>

Magnit maydon mavjud boʻlganda,

: <math> \mathcal{H} = \frac{1}{2m_\text{e}}\sum_{i=1}^N \left(\mathbf{p}_i - \frac{e}{c}\mathbf{A}_i \right)^2 + e\phi(\mathbf{q}),</math>

bu yerda <math>\mathbf{A}_i</math> magnit vektor potensiali va <math>\phi(\mathbf{q})</math> [[Elektrostatik potensial|elektr skalyar potentsialdir]] . Har bir zarracha uchun impulsning komponentlari <math>\mathbf{p}_i</math> va pozitsiyasi <math>\mathbf{r}_i</math> Gamilton mexanikasi tenglamalari bilan bogʻlangan:

: <math> \begin{align}
\dot{\mathbf{p}}_i &= -\partial \mathcal{H} / \partial \mathbf{r}_i\\
\dot{\mathbf{r}}_i &= \partial \mathcal{H} / \partial \mathbf{p}_i.
\end{align}</math>

Shuning uchun,

: <math> \dot{\mathbf{r}}_i \propto \mathbf{p}_i - \frac{e}{c}\mathbf{A}_i,</math>

shuning uchun moment <math>\mu</math> momentning chiziqli funksiyasidir <math>\mathbf{p}_i</math>.

Termal oʻrtacha moment,

: <math>\langle \mu \rangle = \frac{\int \mu dP}{\int dP},</math>

shaklning integrallariga proporsional hadlar yigʻindisidir

: <math> \int_{-\infty}^\infty (\mathbf{p}_i - \frac{e}{c}\mathbf{A}_i) dP, </math>

bu yerda <math>p</math> impuls koordinatalaridan birini ifodalaydi.

Integralning toq funksiyasi <math>p</math>, shuning uchun u yoʻqoladi.

Shuning uchun, <math>\langle\mu\rangle=0</math> .

== Ilovalar ==
Bor-Van Leven teoremasi bir qancha ilovalarda, shu jumladan [[Plazma|plazma fizikasida ham]] foydalidir: "Bu havolalarning barchasi Bor-Van Leven teoremasini muhokama qilish uchun Niels Borning jismoniy modeliga asoslanadi, bunda toʻrni toʻxtatuvchi oqimlarni taʼminlash uchun mukammal aks ettiruvchi devorlar zarur. plazma elementining ichki qismidan hissa qoʻshadi va plazma elementi uchun nol aniq diamagnetizmga olib keladi. <ref>{{Veb manbasi |url=https://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19670013534_1967013534.pdf |ism=Reece |muallif=Roth |sarlavha=Plasma Stability and the Bohr–Van Leeuwen Theorem |yil=1967 |nashriyot=NASA |qaralgan sana=2008-10-27}}</ref>

Plazmalarda sof klassik xarakterdagi diamagnetizm paydo boʻladi, lekin plazma zichligidagi gradient kabi termal muvozanatning natijasidir. Elektromexanika va [[elektrotexnika]] ham Bor-Van Leven teoremasidan amaliy foyda koʻradi.

{{Reflist}}

== Manbalar ==
* Aharoni, Amikam (1996). Introduction to the Theory of Ferromagnetism. Clarendon Press
* Feynman, Richard P.; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew (2006). The Feynman Lectures on Physics. Vol. 2. p

== Havolalar ==
* [https://web.archive.org/web/20141213123845/http://www.tcd.ie/Physics/Magnetism/Guide/understanding.php 20-asr boshlari: Nisbiylik va kvant mexanikasi nihoyat tushunishga olib keladi]

[[Turkum:Fizika]]
[[Turkum:Mexanika]]