Arifmetik ildiz sahifasining manbasini koʻrish

{{Arifmetik operatsiyalar}}
'''<math> x </math> sonining <math> n </math>- darajali arifmetik ildizi''' — <math> n </math>- darajasi <math> x</math> ga teng boʻlgan har qanday son <math> r </math> ga aytiladi, yaʼni <math>r^n  =  x</math>. Bu yerda ''n'' ildizning ''darajasi''dir. 2-darajali arifmetik ildiz ''[[kvadrat ildiz]]'' deb ataladx xvcccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc<ref name=":0" />i va bu ildizning darajasini koʻrsatmasdan yozish mumkin: <math>\sqrt{\ }</math>.<ref name=":0">G. Korn, T. Korn. Spravochnik po matematike (dlya nauchnix rabotnikov i injenerov). M., 1974 g., p. 1.2.1</ref> 3-darajali arifmetik ildiz ''[[kub ildiz]]'' yoki ''uchinchi darajali ildiz'' deb nomlanadi.<ref>M.&nbsp;I.&nbsp;Skanavi. Elementarnaya matematika. p.1.11, str.49.</ref> Boshqa darajalar nomlari uchun tegishli son ishlatiladi. Masalan, ''toʻrtinchi darajali ildiz'', ''beshinchi darajali ildiz'' va hokazo.

[[Haqiqiy sonlar]] toʻplamida ildizda ikkitagacha javobi boʻlishi mumkin. Manfiy sonning juft darajali ildizini olish kerak boʻlgan hollarda birorta ham javob mavjud boʻlmaydi. [[Kompleks sonlar]] toʻplamida <math> n </math>- darajali ildizda <math> n </math> ta javob boʻladi. 0 ning ildizlari alohida sonlardan iborat emas, yaʼni barchasi 0 ga teng. Har qanday haqiqiy yoki kompleks sonning ''n-'' darajali barcha ''n'' ildizlari esa individual sonlardan iborat.

Agar ''n'' juft boʻlsa va ildiz belgisi haqiqiy va musbat boʻlsa, uning ''n-'' darajali ildizlaridan biri musbat, biri manfiy va qolganlari kompleks ammo haqiqiy emas boʻladi. Agar ''n'' juft boʻlsa va ildiz belgisi haqiqiy va manfiy boʻlsa, ''n-'' darajali ildizlarning birortasi ham haqiqiy boʻlmaydi. Agar ''n'' toq boʻlsa va ildiz belgisi haqiqiy boʻlsa, bitta ''n-'' darajali ildiz haqiqiy boʻladi va uning belgisi ildizning belgisi bilan bir xil boʻladi, qolgan ildizlar boʻlsa haqiqiy boʻlmaydi.

Ildizlarni yozishda ''ildiz belgisi''dan qoʻllanadi. Bu belgini <math>\sqrt{\,\,}</math> yoki <math>\surd{}</math> kabi yozish mumkin. <math>\sqrt{x}\!\,</math> yoki <math>\surd x</math> kvadrat ildizni ifodalaydi, <math>\sqrt[3]{x}\!\,</math> kub ildizni ifodalaydi, <math>\sqrt[4]{x}</math> toʻrtinchi darajali ildizni ifodalaydi va hokazo.

[[Fayl:Structure of a root.svg|thumb|250px|Ildizning tuzilishi: 1) indeks; 2) ildiz belgisi; 3) ildiz ostidagi son.]]
<math>\sqrt[n]{x}</math> ifodasida ''n'' '''indeks''', <math>\sqrt{\,\,}</math> '''ildiz belgisi''' va ''x'' '''ildiz ostidagi son''' deb yuritiladi. Ildiz ostidagi son [[funksiya]] kabi faqat bitta javobga ega boʻlishi kerak, shuning uchun manfiy boʻlmagan ''asosiy n-ildiz'' deb atalgan haqiqiy ildiz boshqalaridan ustun koʻriladi. Javobi yoʻq ildiz odatda ''radikal'' deb nomlanadi.<ref name=silver>{{kitob manbasi|last=Silver|first=Howard A.|title=Algebra and trigonometry|url=https://archive.org/details/algebratrigonome00silv|year=1986|publisher=Prentice-Hall|location=Englewood Cliffs, N.J.|isbn=0-13-021270-9}}</ref>

[[Matematik analiz]]da ildizlar ''darajaga koʻtarish''ning maxsus holi deb qaraladi. Bu analizda ''daraja'' [[kasr]] deb qaraladi:
: <math>\sqrt[n]{x} \,=\, x^{1/n}</math>

Ildizlar [[son qator]]larini oʻrganishda juda muhim rol oʻynaydi. [[Ildiz testi]] orqali [[darajali qator]]ning ''mos tushish radiusi'' aniqlanadi. Kompleks sonlarning ham ildizini aniqlash mumkin. Birlikning ildizi yuqori matematikada keng oʻrganiladi. Qaysi algebraik sonlarni ildizlar bilan ifodalash mumkinligini [[galois nazariyasi]] yordamida aniqlash mumkin. Ildizlar yana [[Abel–Ruffini teoremasi]]ni isbotlash uchun kerak. Abel-Ruffini teoremasiga koʻra, [[koʻphad]]li beshinchi yoki undan yuqori darajali tenglamalarni faqat ildizlardan foydalanib yechish mumkin emas.

== Tarixi ==

Ildiz belgisining (√) kelib chiqishi nomaʼlum. Baʼzi manbalarga koʻra, bu belgini birinchi marta [[arablar|arab]] matematiklari ishlatishgan. Bu matematiklardan biri [[Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī]] (1421-1486) boʻlgan. Afsonaga koʻra bu belgi arabcha „جذر“ (''jadhir'' — „ildiz“) soʻzining birinchi harfi boʻlmish „ج“ (''jim'') harfidan olingan.<ref>{{veb manbasi|url=http://itre.cis.upenn.edu/~myl/languagelog/archives/002662.html |title=Language Log: ''Ab surd'' |accessdate=22-iyun 2012-yil}}</ref> Ammo boshqa olimlar, masalan [[Leonhard Euler]],<ref>{{kitob manbasi|title=''Institutiones calculi differentialis''|url=https://archive.org/details/bub_gb_sYE_AAAAcAAJ|author=Leonhard Euler|year=1755|language=Latin}}</ref> ildiz belgisi [[Lotin tili|lotincha]] „radix“ („ildiz“) soʻzining birinchi harfi „r“ harfidan kelib chiqqan deb hisoblashgan. Ildiz belgisi birinchi marta bosmada [[olmonlar|olmon]] matematigi [[Christoff Rudolff]]ning „Die Coss“ asarida 1525-yil ishlatilgan. Bu ildiz belgisida sonlar ustiga chiziladigan gorizontal chiziq boʻlmagan.

[[Ingliz tili|Inglizchada]] ishlatiladigan „surd“ ([[Irratsional sonlar|irratsional son]]) atamasi [[Al Xorazmiy]]ga borib taqaladi. U ratsional sonlarni ''eshitsa boʻladigan'', irratsional sonlarni boʻlsa ''eshitsa boʻlmaydigan'' deb atagan. Bu arab tilidagi irratsional son uchun ishlatilgan „أصم“ (''asamm'' — „kar“ yoki „soqov“) soʻzining lotinchaga „surdus“ („kar“ yoki „soqov“) deb tarjima qilinishiga olib kelgan. [[Gerard of Cremona]] (taxminan 1150), [[Fibonacci]] (1202) va keyin [[Robert Recorde]] (1551) barchasi yechilmaydigan irratsional ildizlarni „surdus“ deb atagan.<ref>{{veb manbasi|url=http://jeff560.tripod.com/s.html |title=Earliest Known Uses of Some of the Words of
 Mathematics|publisher=Mathematics Pages by Jeff Miller|accessdate=2008-11-30}}</ref>

== Taʼrifi va belgilanishi ==

[[Fayl:NegativeOne4Root.svg|thumb|-1 ning toʻrt 4-darajali ildizi. Bularning hech biri haqiqiy emas.]]
[[Fayl:NegativeOne3Root.svg|thumb|-1 ning uch 3-darajali ildizi. Bulardan bir manfiy haqiqiy ildizdir.]]

''x'' sonning '''''n''-darajali ildizi''' deb ''n-'' darajasi ''x'' ga teng ''r'' soniga aytiladi. Bu yerda ''n'' musbat butun sondir.

: <math>r^n = x.\!\,</math>

Har bir musbat haqiqiy son ''x'' da bitta musbat ''n-'' darajali ildiz bor va u <math>\sqrt[n]{x}</math> koʻrinishida yoziladi. ''n'' 2 ga teng boʻlsa ildiz [[kvadrat ildiz]] deb ataladi va bu holda odatda ''n'' yozilmaydi. ''n-'' darajali ildizni yana darajalar orqali ''x''<sup>1/n</sup> koʻrinishida ifodalash mumkin.

''n'' ning juft qiymatlari uchun musbat sonlarda manfiy ''n-'' darajali ildiz ham mavjud. Manfiy sonlarda boʻlsa haqiqiy ''n-'' darajali ildiz yoʻq. ''n'' ning toq qiymatlari uchun har bir manfiy son ''x'' da haqiqiy manfiy ''n-'' darajali ildiz mavjud. Masalan, -2 da haqiqiy 5-darajali manfiy ildiz bor va u <math>\sqrt[5]{-2} \,= -1.148698354\ldots</math> ga teng. Ammo -2 da 6-darajali haqiqiy ildizi yoʻq.

0 dan farqli har qanday haqiqiy yoki kompleks son ''x'' da ''n'' ta turli kompleks ''n-'' darajali ildizlari bor. Bularga ham manfiy, ham musbat ildizlar kiradi. 0 ning ''n-'' darajali ildizi 0 dir.

Koʻp sonlar uchun ''n-'' darajali ildiz [[irratsional son]]dir. Masalan,

: <math>\sqrt{2} = 1.414213562\ldots</math>

[[Butun son]]larning va har qanday algebraik sonning barcha ''n-'' darajali ildizlari algebraikdir.

Ildiz belgisi uchun [[dasturlash]]da ishlatiladigan belgi kodlari quyidagilardir:

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
! Read !! Character !! [[Unicode]] !! [[ASCII]] !! [[Uniform Resource Locator|URL]] !! [[HTML]] <small>(others)</small>
|-
|''Square root'' ||<nowiki>&#8730;</nowiki> || U+221A || <code>&amp;#8730;</code> || <code>%E2%88%9A</code> || <code>&amp;radic;</code>
|-
|''Cube root'' || <nowiki>&#8731;</nowiki> || U+221B || <code>&amp;#8731;</code> || <code>%E2%88%9B</code> ||
|-
|''Fourth root'' || <nowiki>&#8732;</nowiki> || U+221C || <code>&amp;#8732;</code> || <code>%E2%88%9C</code> ||
|}

=== Kvadrat ildiz ===

''x'' sonining '''kvadrat ildizi''' kvadrat darajaga koʻtarilganda ''x'' ga teng boʻladigan ''r'' sonidir:

: <math>r^2 = x.\!\,</math>

Har bir musbat haqiqiy sonda ikki kvadrat ildiz mavjud, biri manfiy, biri musbat. Masalan, 25 ning ikki kvadrat ildizi 5 va -5 dir. Musbat ildiz '''asosiy ildiz''' deb ham ataladi va ildiz belgisi bilan ifodalanadi:

: <math>\sqrt{25} = 5.\!\,</math>

Har bir haqiqiy sonning kvadrat ildizi musbat haqiqiy son boʻlgani uchun manfiy sonlarda haqiqiy kvadrat ildiz yoʻq. Ammo har bir manfiy sonda ikki xayoliy kvadrat ildiz mavjud. Masalan, -25 ning ikki kvadrat ildizi 5''i'' va -5''i'' dir. Bu yerda ''i'' (inglizcha „imaginary“ — „xayoliy“ soʻzidan olingan) -1 ning kvadrat ildizni ifodalaydi.

=== Kub ildiz ===

''x'' sonining '''kub ildizi''' kub darajaga koʻtarilganda ''x'' ga teng boʻladigan ''r'' sonidir:

: <math>r^3 = x.\!\,</math>

Har bir haqiqiy son ''x'' da faqat bitta haqiqiy kub ildiz bor va u <math>\sqrt[3]{x}</math> koʻrinishida yoziladi. Masalan,

: <math>\sqrt[3]{8}\,=\,2\quad\text{va}\quad\sqrt[3]{-8}\,= -2.</math>

Har bir haqiqiy sonda yana ikkita qoʻshimcha kompleks kub ildiz boʻladi.

== Ayniyatlar va ildizning xossalari ==

Haqiqiy [[musbat sonlar]] ustida ildiz amallarini bajarish qoidalari quyidagilardir:

* <math>
\sqrt[n]{0} = 0;
</math>

* <math>
\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b}, \qquad a, \ b \ge 0;</math>

* <math>\sqrt [n] {a^n}=a; a \geqslant 0</math>
* <math>\forall a\geqslant 0,b>0 \qquad \sqrt [n] {\frac {a} {b}}=\frac {\sqrt [n] {a}} {\sqrt [n] {b}}</math>
* <math>
\sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \left(a^{1/n}\right)^m = a^{m/n}.
</math>

* <math>\sqrt [nk] {a^{mk}}=\sqrt [n] {a^m}, \qquad a>0,n \in \mathbb N</math>
* <math>\forall a\geqslant 0,\qquad n,k \in \mathbb N \qquad \sqrt [n] {\sqrt [k] {a}}=\sqrt [nk] {a}</math>

Kompleks sonlarning ildizini topishda muammolar chiqadi. Masalan, asosiy ildizni topishda,

: <math>\sqrt{-1}\times\sqrt{-1} = -1</math>,

ammo,

: <math>\sqrt{-1 \times -1} = 1</math>.

== Ildiz ifodasini soddalashtirish ==

Agar quyidagi shartlar bajarilsa ildiz ifodasi ''sodda formada'' deyiladi:<ref>{{kitob manbasi|last=McKeague|first=Charles P.|title=Elementary algebra|page=470|year=2011|url=http://books.google.com/books?id=etTbP0rItQ4C&printsec=frontcover&dq=editions:q0hGn6PkOxsC&hl=sv&ei=52CsTqv9Go7sOZ_tldAP&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CDEQ6AEwAQ#v=onepage&q&f=false}}</ref>

# Ildiz ostidagi sonning indeksga teng yoki katta daraja qilib yozsa boʻladigan koʻpaytuvchisi boʻlmasa;
# Ildiz ostida kasrlar boʻlmasa;
# Maxrajda radikal son boʻlmasa

Masalan, <math>\sqrt{\tfrac{32}{5}}</math> ifodasini soddalashtirish uchun quyidagi amallar bajariladi. Birinchi, kvadrat ildiz ostida kvadrat ildizi bor sonni topib, ildiz belgisidan chiqaramiz.

: <math>\sqrt{\tfrac{32}{5}} = \sqrt{\tfrac{16 \cdot 2}{5}} = 4 \sqrt{\tfrac{2}{5}}</math>

Ildiz belgisi ostidagi kasrni yoʻq qilishi uchun quyidagi amallarni bajaramiz:

: <math>4 \sqrt{\tfrac{2}{5}} = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}}</math>

Endi maxrajdagi ildiz belgisini quyidagicha qilib almashtiramiz:

: <math>\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{10}}{5}</math>

Agar maxrajda radikal son boʻlsa suratni ham, maxrajni ham bir xil koʻpaytuvchiga koʻpaytirib, ifodani soddalashtirish mumkin. Masalan, ikki kubning yigʻindisini koʻpaytuvchilarga ajratish yoʻli bilan:

: <math>\frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} = \frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})} = \frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{a+b} \,.</math>

Ildiz ichida yana boshqa ildiz boʻlgan murakkab ildiz ifodalarini yechish oson boʻlmasligi mumkin. Masalan, mana bu javobni darhol anglab olish mushkul:

: <math>\sqrt{3+2\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2}\,</math>

== Cheksiz qator ==

Radikal ildizni [[cheksiz qator]] orqali ifodalash mumkin:

: <math>
(1+x)^{s/t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\prod_{k=0}^{n-1} (s-kt)}{n!t^n}x^n.
</math>

Bu yerda <math>|x|<1</math>. Bu ifodani [[binom seriyasi]]dan olish mumkin.

== Asosiy ildizlarni hisoblash ==

Butun sonning ''n-'' darajali ildizi har doim ham butun son emas va bu ildiz butun son boʻlmasa demak u ratsional son emas. Masalan, 34 ning 5-darajali ildizi

: <math> \sqrt[5]{34} = 2.024397458 \ldots, </math>

ga teng. Nuqtalar [[oʻnli kasr]] maʼlum bir xonada toʻxtamasligini anglatadi. Bu misolda kasr qism takrorlanmaydi, yaʼni bu kasr [[davriy kasr]] emas. Shu sababdan bu son irratsional sondir.

''A'' sonining ''n-'' darajali ildizini [[''n-'' darajali ildiz algoritmi]] bilan hisoblash mumkin. Bu algoritm [[Nyuton metodi]]ning maxsus holidir. Bu uslubda yechish uchun ''x''<sub>0</sub> taxminiy soni olinadi. Shu amal keyin quyidagi rekurrent nisbati orqali kerakli aniqlik erishilgunicha takrorlanadi:

: <math>x_{k+1} = \frac{1}{n} \left({(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right) </math>.

Baʼzan Nyutonning birinchi approksimatsiyasini ishlatish yetarli boʻladi:

: <math> \sqrt[n]{x^n+y} \approx x + \frac{y}{n x^{n-1}}. </math>

Masalan, 34 ning 5-darajali ildizini topish kerak boʻlsin. Maʼlumki 2<sup>5</sup> = 32. Demak yuqoridagi formulada ''x'' = 32 va ''y'' = 2 deb olinadi. Bundan quyidagi javobni olamiz:

: <math> \sqrt[5]{34} = \sqrt[5]{32 + 2} \approx 2 + \frac{2}{5 \cdot 16} = 2.025. </math>

Bu approksimatsiyadagi xatolik 0.03 %, xolos.

Nyuton metodini oʻzgartirib ''n-''darajali ildiz uchun umumlashtirilgan davomli kasr yozish mumkin. Bu kasrni yuqorida aytib oʻtilgandek turli yoʻl bilan oʻzgartirish mumkin. Masalan:

<math>
\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{x^n+y} = x+\cfrac{y} {nx^{n-1}+\cfrac{(n-1)y} {2x+\cfrac{(n+1)y} {3nx^{n-1}+\cfrac{(2n-1)y} {2x+\cfrac{(2n+1)y} {5nx^{n-1}+\cfrac{(3n-1)y} {2x+\ddots}}}}}};
</math>

<math>
\sqrt[n]{z}=x+\cfrac{2x\cdot y}{n(2z - y)-y-\cfrac{(1^2n^2-1)y^2}{3n(2z - y)-\cfrac{(2^2n^2-1)y^2}{5n(2z - y)-\cfrac{(3^2n^2-1)y^2}{7n(2z - y)-\ddots}}}}.
</math>

Bu holda 34 ning 5-darajali ildizi (baʼzi umumiy koʻpaytuvchilarni tanlab olib boʻlgandan keyin) quyidagiga tengdir:

<math>
\sqrt[5]{34} = 2+\cfrac{1} {40+\cfrac{4} {4+\cfrac{6} {120+\cfrac{9} {4+\cfrac{11} {200+\cfrac{14} {4+\ddots}}}}}}
=2+\cfrac{4\cdot 1}{165-1-\cfrac{4\cdot 6}{495-\cfrac{9\cdot 11}{825-\cfrac{14\cdot 16}{1155-\ddots}}}}.
</math>

== Kompleks ildizlar ==

0 dan boshqa har qanaqa [[kompleks son]]da ''n''ta ''n-''darajali ildiz mavjud.

=== Kvadrat ildizlar ===
[[Fayl:Imaginary2Root.svg|thumb|right|'''''i''''' ning kvadrat ildizlari]]

Kompleks sonning ikki kvadrat ildizi doim bir-birining negatividir. Masalan, −4 ning kvadrat ildizlari 2''i'' va −2''i'' dir. ''i'' ning kvadrat ildizlari boʻlsa

: <math>\frac{1 + i}{\sqrt{2}}\quad\text{va}\quad\frac{-1 - i}{\sqrt{2}}.</math>

dir.

Agar kompleks son qutbiy koʻrinishda ifoda qilinsa, kvadrat ildizni topish uchun [[radius]]ning kvadrat ildizi olinib, burchakning yarmi topiladi:

: <math>\sqrt{re^{i\theta}} \,=\, \pm\sqrt{r}\,e^{i\theta/2}.</math>

Kompleks sonning ''asosiy'' ildizini bir necha usulda tanlash mumkin. Masalan,

: <math>\sqrt{re^{i\theta}} \,=\, \sqrt{r}\,e^{i\theta/2}</math>.

ifodasi [[kompleks tekislik]]da musbat haqiqiy oʻq atrofida 0&nbsp;≤&nbsp;''θ''&nbsp;<&nbsp;2π sharti bilan yoki manfiy haqiqiy oʻq atrofida −π&nbsp;<&nbsp;''θ''&nbsp;≤&nbsp;π sharti bilan [[tarmoq kesimi]] oʻtkazadi.

Birinchi (oxirgi) tarmoq kesimidan foydalanib, <math>\sqrt z</math> asosiy kvadrat ildizi tekislikning manfiy boʻlmagan xayoliy (haqiqiy) qismida <math>z</math> ni chizadi.

=== Birlikning ildizlari ===
[[Fayl:3rd roots of unity.svg|thumb|right|1 ning uchta 3-darajali ildizi]]

Kompleks tekislikda 1 sonining ''n'' ta ''n-'' darajali ildiz bor:

:<math>1,\;\omega,\;\omega^2,\;\ldots,\;\omega^{n-1},</math>

Bu yerda

:<math>\omega \,=\, e^{2\pi i/n} \,=\, \cos\left(\frac{2\pi}{n}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)</math>

Bu ildizlar ''birlik aylanasi'' atrofida bir-biridan bir xil uzoqlikda <math>2\pi/n</math> ning karralisi boʻlgan burchaklarda joylashadi. Masalan, birlikning kvadrat ildizlari 1 va &minus;1 dir. Birlikning toʻrtinchi darajali ildizlari boʻlsa <math>i</math>, &minus;1 va <math>-i</math> dir.

=== ''n-'' darajali ildizlar ===

Har bir [[kompleks son]]da kompleks tekislikda ''n''ta ''n-''darajali ildiz mavjud. Bu ildizlar quyidagilardir:

:<math>\eta,\;\eta\omega,\;\eta\omega^2,\;\ldots,\;\eta\omega^{n-1},</math>.

Bu yerda ''η'' bitta ''n-'' darajali ildizdir va 1,&nbsp;''ω'',&nbsp;''ω''<sup>2</sup>,&nbsp;…&nbsp;''ω''<sup>''n''&minus;1</sup> birlikining ''n-'' darajali ildizlaridir. Masalan, 2 ning toʻrtta 4-darajali ildizlari mana bunga teng:

: <math>\sqrt[4]{2},\quad i\sqrt[4]{2},\quad -\sqrt[4]{2},\quad\text{va}\quad -i\sqrt[4]{2}.</math>

Qutbiy formada bitta ''n-'' darajali ildizni mana bu formula bilan topish mumkin:

: <math>\sqrt[n]{re^{i\theta}} \,=\, \sqrt[n]{r}\,e^{i\theta/n}.</math>

Bu yerda ''r'' ildizi olinishi kerak boʻlgan sonning modulidir ([[Absolyut qiymat|absolyut qiymati]] ham deyiladi). Agar sonni ''a+bi'' qilib yozish mumkin boʻlsa, unda <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math>. Yana, <math>\theta</math> tekislik boshidan musbat gorizontal oʻqdan songa qarab soat strelkasiga qarshi yurilganda hosil boʻlgan va songa qarab ketuvchi nurning burchagidir. Uning xossalari quyidagilardir: <math>\cos \theta = a/r,</math> <math> \sin \theta = b/r,</math> va <math> \tan \theta = b/a.</math>

Shu asnoda kompleks tekislikda ''n-''darajali ildizlarni topishni ikki qadamga boʻlish mumkin. Birinchi, barcha ''n-''darajali ildizlarning moduli boshida berilgan sonning modulining ''n-''darajali ildizidir. Ikkinchi, tekislik boshidan chiqib ''n-'' darajali ildizlarga ketgan nurning yoʻnalishi burchagi musbat gorizontal oʻqqa nisbatan <math>\theta / n</math> dir. Yaʼni, tekislik boshidan chiqib ilk songa ketgan nurning musbat gorizontal oʻqqa nisbatan boʻlgan burchagi <math>\theta</math> bilan 1/''n'' ning koʻpaytmasiga tengdir. Bundan tashqari, ''n-''darajali ildizlarning barchasi bir-biridan bir xil burchak masofada joylashadi.

== Koʻphadlarni yechish ==

Avvallari [[koʻphad]]larning barcha ildizlarini ildiz ifodasi va elementar amallar bilan ifodalash mumkin deb ishonilgan. Bu uchinchi darajali va toʻrtinchi darajali koʻphadlar uchun toʻgʻri keladi. Abel-Ruffini teoremasiga koʻra, bu qoidani darajasi 5 yoki undan yuqori boʻlgan koʻphadlarga umumlashtirib boʻlmaydi. Masalan,

: <math>x^5=x+1\,</math>

[[tenglama]]sining javoblarini ildiz bilan ifodalab boʻlmaydi.

== Manbalar ==
{{manbalar|colwidth=30em}}

== Havolalar ==
* [http://fizmatematikaby/math/square_root/root ''n-'' darajali ildiz]{{Oʻlikhavola|date=yanvar 2025 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}, ''FizMat'' {{ref-ru}}
* [http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg13.html Arifmetik ildiz] {{Webarxiv|url=https://web.archive.org/web/20130108130749/http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg13.html |date=2013-01-08 }}, ''Bymath'' {{ref-ru}}

{{Bu yaxshi maqola}}
{{Giperoperatsiyalar}}
[[Turkum:Algebra]]
[[Turkum:Matematika]]